2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1第2课时圆的一般方程学案苏教版必修2

1、第 2 课时圆的一般方程【学习目标】1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小3 能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程ET问题导学-知识点 圆的一般方程、.2 2 2 2 _ . _ .思考 1 方程x+y- 2x+ 4y+ 1 = 0,x+y- 2x+4y+ 6= 0 分别表示什么图形?思考 2 方程x2+y2+Dx+Ey+F= 0 是否表示圆？梳理方程条件图形+E2-4F0DE1表示以（一2，-2）为圆心，以 2寸DU E2-4F为半径的圆题型探究类型一圆的一般方程 命题角度 i 圆的一般方程的概念例 1 若方程x2+

2、y2+ 2mx-2y+ni+ 5m= 0 表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标 和半径.反思与感悟形如x2+y2+Dx+Ey+F= 0 的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法由圆的一般方程的定义，若D2+E2-4F0 成立，则表示圆，否则不表示圆.(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解2应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F= 0 这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解跟踪训练 1 (1)已知a R,方程a2x2+ (a+ 2)y2+ 4x+ 8y+ 5a= 0 表示圆，则圆心坐标为，半径为_.(2)点M N在圆x2+y2+kx+ 2y

3、 4 = 0 上，且点M N关于直线x-y+ 1 = 0 对称，则该圆的 面积为_ .命题角度 2 求圆的一般方程)例 2 已知A(2,2) ,B(5,3) ,C(3 , 1).(1)求厶ABC的外接圆的方程；若点Ma,2)在厶ABC的外接圆上，求a的值.引申探究若本例中将条件改为“圆C过A,B两点且圆C关于直线y= x对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？反思与感悟应用待定系数法求圆的方程时应注意(1) 如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a,b,r.(2) 如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，

4、再用待定系数法求出 常数D E,F.跟踪训练 2 已知一圆过 R4 , 2) , Q 1,3)两点，且在 y 轴上截得的线段长为4 .3，求圆的方程类型二圆的方程在实际生活中的应用例 3 如图所示，一座圆拱桥，当水面在I位置时，拱顶离水面 2 米，水面宽 12 米，当水面下降 1 米后，水面宽多少米？3反思与感悟本类题一般是用解析法解决实际问题解析法解决实际问题的步骤：建系、设点、列式、计算、总结跟踪训练 3 已知隧道的截面是半径为4m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为 3 m,高为 3.5 m 的货车能不能驶入这个隧道？类型三求动点的轨迹问题例 4 已知动点M到点A(2,0)的

5、距离是它到点B(8,0)的距离的一半(1)求动点M的轨迹方程；若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹.反思与感悟求轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的直角坐标系，用有序实数对(x，y)表示动点P的坐标.写出适合条件的点P的集合 M= P|M(P).用坐标表示条件M P)，列出方程f(x,y) = 0.(4) 化方程f(x,y) = 0 为最简形式.(5) 证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点跟踪训练 4 在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得的线段长为2 .2,在y轴上截得的线段长为 2 ,3.(1)求圆心P的轨迹方程；J2若P点到直线y=x的距离为帀，求圆P的方程.4当堂训练2

6、 21. 圆 2x+ 2y+ 6x 4y 3 = 0 的圆心坐标和半径分别为 _ .2. 若方程x2+y2x+y+ m= 0 表示圆，则实数m的取值范围是 _ .3.M(3,0)是圆x2+y2 8x 2y+ 10= 0 内一点，过点M的最长弦所在的直线方程是 _ .4. 若圆x2+y2+ 2x 4y+m= 0 的直径为 3,贝U m的值为_ .5点 R4 , 2)与圆x2+y2= 4 上任一点连线的中点的轨迹方程是 _ .厂规律与方法 -11. 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F= 0,来源于圆的标准方程(xa)2+ (yb)2=r2.在应用 时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件2.

7、圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出恰当的方程，以便简化解题过程.3. 对于曲线的轨迹问题，要作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤.5合案精析问题导学知识点思考 1 对方程x+y 2x+ 4y+ 1 = 0 配方，得(x 1) + (y+ 2) = 4,表示以(1 , 心，2为半径的圆，2 2一2 2对方程X+y-2x+ 4y+ 6 = 0 配方，得(X 1) + (y+ 2) = 1,不表示任何图形. 思考 2 对方程x2+y2+Dx+Ey+F= 0 配方并移项，得D2E2D?+E2 4F(x+2)2+ (y+扩=41当D+E 4F

8、 0 时，方程表示以(一D,E)为圆心，20 ,1解得 n-,51即实数n的取值范围为(一a, n .5圆心坐标为(一m,1)，半径为 1 5m跟踪训练 1(1)( 2, 4)5(2)9n例 2 解(1)设厶ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F= 0, 由题意，得2 22 + 2 + 2D+ 2E+F= 0,52+ 32+ 5D+ 3E+F= 0,32+-12+ 3D-E+F= 0,Q=8,解得E= 2,F= 12.22即厶ABC的外接圆的方程为x+y 8x 2y+ 12= 0.2)为圆6由(1)知，ABO的外接圆的方程为x2+y2 8x 2y+12= 0,7点Ma,2)在厶ABC勺

9、外接圆上， a1 2+228a2X2+12=0,即a 8a+ 12 = 0，解得a= 2 或 6.引申探究3 2 17 5解/kAB=-,AB的中点坐标为 匕,),5 2 32 2AB的垂直平分线方程为57y 2= 3(x2).y=x，联上y-2=-：X713x=T，得y=3702 ，138将P, Q的坐标分别代入上式,得件2E+F+20=0，D- 3EF10 = 0.2 _ _令x= 0，得y+Ey+F= 0,由已知得|y y2| = 4 ,3，其中 Iy1y2|2= (y1y2)2= (y+y2)2 4y1y2=吕一 4F= 48.联立解得D=2,|D=10,E= 0,或E= 8,F=12

10、F=4.2 2 2 2故圆的方程为x+y 2x 12= 0 或x+y 10 x 8y+ 4 = 0.即圆心C的坐标为1313(2，- y)，跟踪训练 2 解设圆的方程为2+Dx+Ey+F= 0,y1,y2是方程的根,9例 3 解以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为 所示.则C(0，-r),即圆的方程为x2+ (y+r)2=r2.将点A的坐标(6 , - 2)代入方程， 得 36+ (r 2)2=r2，二r= 10.22圆的方程为x+ (y+ 10) = 100.当水面下降 1 米后，可设点 A的坐标为（xo, 3）（X00）,将 A的坐标（X。，一 3）代入方程,得Xo=叮 51 ,当

11、水面下降 1 米后, 水面宽为 2X0= 2 51 米.跟踪训练 3 解 如图，以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径L-AO将x= 3 代入得y= .;16 3?= 30),102 2平方后再整理，得X+y= 16.可以验证，这就是动点M的轨迹方程.设动点N的坐标为(x,y),M的坐标为(xi,yi).由于A(2,0)，且N为线段AM的中点,所以Xi= 2x 2,yi= 2y.2 2由知，M是圆x+y= i6 上的点， 所以点M的坐标(xi,yi)满足xi+yi= i6.将代入整理，得(x i)3+y2= 4.所以N的轨迹是以(i,0)为圆心，2 为半径的圆.跟踪训练 4 解设P(x,y)，圆P的半径为r. 由题设得y2+ 2 =r2,x2+ 3=r2,从而y2+ 2=x2+ 3.故圆心P的轨迹方程为y2x2= i.3 25.(x 2) + (y+ i) = i所以x=2 +Xi0+yi(2)设P(xo,yo)，由已知得|xoyo|/2厂亍11又P在曲线y2x2= i 上,|xoyo| = i,从而得yOx0=i,xoyo=