三角形顶点绕着图形的一点旋转

1、 无锡市华庄中学九年级第二轮专题训练讲学稿 主备：李维明三角形顶点绕着图形的一点旋转三角形绕着矩形的对称中心旋转原型题1：一次数学兴趣活动，小明提出这样三个问题，请你解决：（1）把正方形abcd与等腰rtpaq如图（a）所示重叠在一起，其中paq90°，点q在边bc上，连接pd，求证：adpabq（2）如图（b），o为正方形abcd对角线的交点，将一直角三角板fpq的直角顶点f与点o重合，转动三角板使两直角边始终与bc、ab相交于点m、n，求证：omon（3）试探究四边形onbm的面积是一个定值，并求出这个定值变式1：某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点

2、绕着矩形abcd的对角线交点o旋转（如图所示）已知ab8，bc10，图中m、n分别为直角三角板的直角边与矩形abcd的边cd、bc的交点问：是否存在某一旋转位置，使得cm+cn等于？若存在，请求出此时dm的长；若不存在，请说明理由变式2：如图所示，o为矩形abcd的对称中心，将直角三角板的指教顶点与o点重合，转动三角板使两直角边始终与bc、ab相交，交点分别为m、n如果ab6，ad8，omx，ony，则y与x的关系是 （不填x的取值范围）变式3：矩形abcd的对角线ac与bd相交于点o，ad2ab4，现有一直角三角板的直角顶点放在点o处，直角三角板的两边与矩形abcd的边交于点e，f，如果oe

3、a，用a的代数式表示出所有可能的of的值 三角形的顶点在矩形对角线交点上移动原型题2如图，正方形abcd中，ac是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点b，直角顶点p在射线ac上移动，另一边交dc于q（1）如图，当点q在dc边上时，猜想并写出pb与pq所满足的数量关系；并加以证明；（2）如图，当点q落在dc的延长线上时，猜想并写出pb与pq满足的数量关系，请证明你的猜想变式1：如图1，直角epf的顶点和正方形abcd的顶点c重合，两直角边pe，pf分别和ab，ad所在的直线交于点e和f易得pbepdf，故结论“pepf”成立；（1）如图2，若点p在正方形abcd的对角线ac上，其他条件不

4、变，（1）中的结论是否仍然成立？说明理由；（2）如图3将（2）中正方形abcd改为矩形abcd其他条件不变，若ab=m，bc=n，直接写出的值变式2：在矩形abcd中，ab3，ad4，将一个足够大的直角三角板roq的直角顶点o放在对角线ac上（除a、c两点外），将三角板绕点o旋转，两直角边oq、or与矩形两邻边分别交于e、f两点（1）如图1，若两直角边与边ab、bc相交，当三角板的直角顶点o与ac的中点重合时，请直接写出oe与of的数量关系；（2）如图2，若两直角边与边ab、bc相交，当aom时，请写出oe与of的数量关系，并证明你的结论；（3）请你在图3中画出当直角三角板roq的直角顶点o在

5、对角线ac上滑动时，但oe与of的数量关系不随之改变的某一时刻的图形变式3：某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形abcd（abbc）的对角线的交点o旋转（），图中的m、n分别为直角三角形的直角边与矩形abcd的边cd、bc的交点（1）该学习小组成员意外的发现图（三角板一直角边与od重合）中，bn2cd2+cn2，在图中（三角板一边与oc重合），cn2bn2+cd2，请你对这名成员在图和图中发现的结论选择其一说明理由（2）试探究图中bn、cn、cm、dn这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由（3）将矩形abcd改为边长为1的正方形abcd，直角三角

6、板的直角顶点绕o点旋转到图，两直角边与ab、bc分别交于m、n，直接写出bn、cn、cm、dm这四条线段之间所满足的数量关系（不需要证明）三角形顶点在矩形的边上移动原型题3如图，有一块塑料矩形模板abcd，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板phf的直角顶点p落在ad边上（不与a、d重合），在ad上适当移动三角板顶点p（1）能否使你的三角板两直角边分别通过点b与点c？若能，请你求出这时ap的长；若不能，请说明理由；（2）再次移动三角板位置，使三角板顶点p在ad上移动，直角边ph始终通过点b，另一直角边pf与dc延长线交于点q，与bc交于点e，能否使ce2cm？若能，请你求出这时

7、ap的长；若不能，请你说明理由变式：如图，在矩形abcd中，ab4，bc6，当直角三角板mpn的直角顶点p在bc边上移动时，直角边mp始终经过点a，设直角三角板的另一直角边pn与cd相交于点qbpx，cqy，那么y与x之间的函数关系是 三角形顶点绕着定角的顶点旋转如图1，点o为直线ab上一点，过点o作射线oc，使aoc60°将一直角三角板的直角顶点放在点o处，一边om在射线ob上，另一边on在直线ab的下方（1）将图1中的三角板绕点o顺时针旋转至图2，使一边om在boc的内部，且恰好平分boc，求con的度数；（2）将图1中的三角板绕点o按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一

8、周，在旋转的过程中，第t秒时，直线on恰好平分锐角aoc，则t的值为 秒（直接写出结果）；（3）将图1中的三角板绕点o顺时针旋转至图3，使on在aoc的内部，请探究aom与noc之间的数量关系，并说明理由三角形顶点绕着四边形的顶点旋转已知：在四边形abcd中，abad，bad60°，bcdc，bcd120°，将直角三角板pmn的30°角的顶点p与点a重合，旋转三角板pmn，在旋转过程中，三角板pmn的直角边pm与直线bc交于点e，斜边pn与直线dc交于点f，连接ef（1）当e、f分别在线段bc、cd上时，（如图），求证：efbe+df；（2）当e、f分别在直线bc

9、、cd上时，（如图、图），线段ef、be、df之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论三角形顶点绕着圆心旋转如图，已知半圆的半径oa=1，将一个三角板的直角顶点固定在圆心上，当三角板绕着圆心转动时，三角板的两条直角与半圆分别交于c、d两点，连接ad、bc交于点e（1）求证：acebde；（2）当三角板旋转至aoc30°时，求ae与be的长（3）在旋转的过程中，db始终等于某一条线段的长度，请你写出这条线段并加以说明三角形的顶点绕着坐标原点旋转小明喜欢研究问题，他将一把三角板的直角顶点放在平面直角坐标系的原点o处，两条直角边与抛物线yax2（a0）交于a、b两点（1）如图1，当oaob2时，则a=