导数知识点各种题型归纳方法总结(浦仕国)

1、学习必备精品知识点导数知识点和各种题型归纳方法总结一导数的定义：0000000()()( )() |lim()( )( )( )limxxxxf xxf xyf xxxfxyxf xxf xyf xfxyx1.(1).函数在处的导数 : (2).函数的导数 :2.利用定义求导数的步骤：求函数的增量：()( )yf xxf x；求平均变化率：()( )yf xxf xxx；取极限得导数：00()( )( )limlimxxyf xxfxfxxx（下面内容必记）二、导数的运算：（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：0()cc为常数；1()nnxnx；11()()nnnxnxx；1()()

2、mmnnnmmxxxn(sin)cosxx； (cos )sinxx()xxee()ln(0,1)xxaaa aa且；1(ln)xx；1(log)(0,1)lnaxaaxa且法则 1：( )( )( )( )f xg xfxg x；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 法则 2：( )( )( )( )( )( )f xg xfxg xf xgx(口诀：前导后不导相乘+后导前不导相乘) 法则 3：2( )( )( )( )( )( ( )0)( ) ( )f xfxg xf xgxg xg xg x(口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号) （2）复合函数( )y

3、f g x的导数求法：换元，令( )ug x，则( )yf u分别求导再相乘( ) ( ) yg xf u回代( )ug x题型一、导数定义的理解1.已知xfxfxxfx)2()2(lim,1)(0则的值是（）a. 41b. 2 c. 41d. 2 变式 1：为则设hfhffh233lim,430（）a 2 c 3 d1 变式 2：00003,limxfxxfxxfxxx设在可导 则等于（）a02xfb0 xfc03xfd04xf题型二：导数运算1、已知22sinfxxx，则0f2、若sinxfxex，则fx3.)(xf=ax3+3x2+2 ，4) 1(f，则 a=（）319.316.313.

4、310.dcba三导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻0t时的瞬时速度0v就是物体运动规律sft在0tt时的导数0ft，即有00vft。2.vs/(t)表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。 （了解）四导数的几何意义：函数fx在0 x处导数的几何意义，曲线yfx在点00,p xfx处切线的斜率是0kfx。于是相应的切线方程是：000yyfxxx。题型三用导数求曲线的切线注意两种情况：（ 1 ） 曲 线yfx在 点00,p xfx处 切 线 ： 性 质 ：0kfx切线。 相 应 的 切 线 方 程 是 ：000yyfxxx（2）曲线yfx过点00,p xy处切线： 先设切点， 切点为(

5、, )q a b,则斜率 k=( )fa，切点( , )q a b在曲线yfx上，切点( , )q a b在切线00yyfaxx上，切点( , )q a b坐标代入方程得关于a,b 的方程组， 解方程组来确定切点，最后求斜率 k=( )fa，确定切线方程。学习必备精品知识点例：在曲线 y=x3+3x2+6x-10 的切线中，求斜率最小的切线方程；解析： （1）3) 1x(36x62x3| yk2000 xx0当 x0=-1 时， k 有最小值3，此时 p 的坐标为（ -1，-14）故所求切线的方程为3x-y-11=0 五函数的单调性： 设函数( )yf x在某个区间内可导，（1）( )0fx(

6、 )f x该区间内为增函数；（2）( )0fx( )f x该区间内为减函数；注意：当( )fx在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，( )f x在这个区间上仍是递增（或递减）的。（3）( )f x在该区间内单调递增( )0fx在该区间内恒成立；（4）( )f x在该区间内单调递减( )0fx在该区间内恒成立；题型一、利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性：解题模板：（1）求导数)(xfy(2)判断导函数)(xfy在区间上的符号(3)下结论( )0fx( )f x该区间内为增函数；( )0fx( )f x该区间内为减函数；题型二、利用导数求单调区间求函数)(xfy单调

7、区间的步骤为：（1）分析)(xfy的定义域；（2）求导数)(xfy（3）解不等式0)(xf，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式0)(xf，解集在定义域内的部分为减区间题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）思路一：（1）( )f x在该区间内单调递增( )0fx在该区间内恒成立；（2）( )f x在该区间内单调递减( )0fx在该区间内恒成立；思路二：先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。注意：若函数f（x）在（ a，c）上为减函数，在（c，b）上为增函数，则 x=c 两侧使函数f （x）变号，即x=c 为函数的一

8、个极值点，所以( )0fc例题若函数xxxfln)(，若)5(),4(),3(fcfbfa则( ) a. a b c b. c b a c. c a b d. b a 0,=0,0）第二种： 变更主元（即关于某字母的一次函数）（已知谁的范围就把谁作为主元）；例题欣赏 1：设函数( )yf x在区间 d 上的导数为( )fx，( )fx在区间 d 上的导数为( )g x，若在区间 d上 ，()0g x恒 成 立 ， 则 称 函 数( )yf x在 区 间d上 为 “ 凸 函 数 ” ， 已 知 实 数m是 常 数 ，4323( )1262xmxxf x（1）若( )yf x在区间0,3上为 “

9、凸函数 ” ，求 m 的取值范围；（2）若对满足2m的任何一个实数m，函数( )f x在区间,a b上都为 “ 凸函数 ” ，求ba的最大值 . 解:由函数4323( )1262xmxxf x得32( )332xmxfxx2( )3g xxmx（1）( )yf x在区间0,3上为“凸函数” ，则2( )30g xxmx在区间 0,3上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max( )0gx( 0 )0302( 3)09330gmgm解法二：分离变量法： 当0 x时, 2( )330g xxmx恒成立 , 当03x时, 2( )30g xxmx恒成立等价于233xmxxx的最大值（03x

10、）恒成立，而3( )h xxx（03x）是增函数，则max( )(3)2hxh2m(2)当2m时( )f x在区间,a b上都为“凸函数”则等价于当2m时2( )30g xxmx恒成立解法三：变更主元法2( )30g xxmx在区间 0,3上恒成立2()30f mmxx在2m恒成立（视为关于 m 的一次函数最值问题）22(2 )023011(2)0230fxxxfxx2ba例题欣赏 2：（二次函数区间最值的例子）设函数), 10(3231)(223rbabxaaxxxf（）求函数f（x）的单调区间和极值；（）若对任意的,2, 1aax不等式( )fxa恒成立，求a 的取值范围 .解： （）22

11、( )433fxxaxaxaxa01a-2 2 3a a ( )f xa 3a 学习必备精品知识点令,0)(xf得)(xf的单调递增区间为（a,3a）令,0)(xf得)(xf的单调递减区间为（，a）和（ 3a，+）当 x=a 时，)(xf极小值=;433ba当 x=3a 时，)(xf极大值=b.（）由 |)(xf| a，得：对任意的,2, 1aax2243axaxaa恒成立则等价于( )g x这个二次函数maxmin( )( )gxagxa22( )43g xxaxa的对称轴2xa01,a12aaaa（放缩法）即定义域在对称轴的右边，( )g x这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。2

12、2( )431,2g xxaxaaa在上是增函数 . （9 分）maxmin( )(2)21.( )(1)44.g xg aag xg aa于是，对任意2, 1aax，不等式恒成立，等价于(2)44,41.(1)215g aaaag aaa解得又,10a.154a点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系第三种： 构造函数求最值题型特征：)()(xgxf恒成立0)()()(xgxfxh恒成立；从而转化为第一、二种题型例题欣赏 3 已知函数32( )fxxax图象上一点( 1,)pb处的切线斜率为3，326( )(1)3(0)2tg xxxtxt（）求,a b的值；（）

13、当 1,4x时，求( )f x的值域；（）当1,4x时，不等式( )( )f xg x恒成立，求实数t 的取值范围。解： （）/2( )32fxxax/(1)31fba，解得32ab（）由（）知，( )f x在 1,0上单调递增，在0,2上单调递减，在2,4上单调递减又( 1)4,(0)0,(2)4,(4)16ffff( )f x的值域是 4,16（）令2( )( )( )(1)31,42th xf xg xxtxx思路 1：要使( )( )f xg x恒成立，只需( )0h x，即2(2 )26t xxx（分离变量）思路 2：二次函数区间最值题型二、已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围（

14、逆向考查，正向思考）解法 1：转化为0)(0)(xfxf或在给定区间上恒成立，回归基础题型；解法 2：利用子区间（即子集思想） ；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“ 在（ m,n）上是减函数” 与 “ 函数的单调减区间是（a,b）” ，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集例题欣赏 4：已知ra，函数xaxaxxf) 14(21121)(23（）如果函数)()(xfxg是偶函数，求)(xf的极大值和极小值；（）如果函数)(xf是),(上的单调函数，求a的取值范围解：)14()1(41)(2axaxxf. （）( )fx是偶函数，1a. 此时

15、xxxf3121)(3，341)(2xxf，令0)(xf，解得：32x.列表如下：x(, 23) 23(23,23) 23(23,+ )(xf+ 0 0 + )(xf递增极大值递减极小值递增可知：( )f x的极大值为34)32(f，( )f x的极小值为34)32(f. （）函数)(xf是),(上的单调函数，2xa1,2aa学习必备精品知识点21( )(1)(41)04fxxaxa，在给定区间r上恒成立（判别式法）则221(1)4(41)204aaaa，解得：02a. 综上，a的取值范围是20aa. 例题欣赏 5、已知函数3211( )(2)(1) (0).32f xxa xa x a（ i

16、）求( )f x的单调区间；（ ii）若( )f x在 0，1上单调递增，求a 的取值范围。 （子集思想）解析：（i）2( )(2)1(1)(1).fxxa xaxxa1、20,( )(1)0,afxx当时恒成立当且仅当1x时取 “ =”号，( )(,)f x 在单调递增。2、12120,( )0,1,1,afxxxaxx当时 由得且单调增区间：(, 1),(1,)a单调增区间：( 1,1)a（ii ）当( )0,1,f x 在上单调递增则0,1是上述增区间的子集：1、0a时，( )(,)fx 在单调递增符合题意2、0,11,a，10a1a综上， a 的取值范围是0，1。题型三：根的个数问题类

17、型一：函数 f(x)与 g(x)（或与 x 轴）的交点方程的根函数的零点解题步骤第一步： 画出两个图像即“ 穿线图 ” （即解导数不等式）和“ 趋势图 ” 即三次函数的大致趋势“ 是先增后减再增”还是 “ 先减后增再减 ” ；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0 的关系；第三步：解不等式（组）即可；例题欣赏 6、已知函数232)1(31)(xkxxf，kxxg31)(，且)(xf在区间),2(上为增函数（1）求实数k的取值范围；（2）若函数)(xf与)(xg的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围解： （ 1）由题意xkxxf)1()(2)(xf在区

18、间),2(上为增函数，0)1()(2xkxxf在区间),2(上恒成立（分离变量法）即xk1恒成立，又2x，21k，故1kk的取值范围为1k（2）设312) 1(3)()()(23kxxkxxgxfxh，) 1)()1()(2xkxkxkxxh令0)(xh得kx或1x由（ 1）知1k，当1k时，0)1()(2xxh，)(xh在 r上递增，显然不合题意当1k时，)(xh，)(xh随x的变化情况如下表：x),(kk)1 ,(k1), 1 ()(xh00)(xh极大值312623kk极小值21k由于021k，欲使)(xf与)(xg的图象有三个不同的交点，即方程0)(xh有三个不同的实根，故需03126

19、23kk，即0)22)(1(2kkk02212kkk，解得31k综上，所求k的取值范围为31k类型二：根的个数知道，部分根可求或已知。例题欣赏 7、已知函数321( )22f xaxxxc（1）若1x是( )f x的极值点且( )f x的图像过原点，求( )f x的极值；（2）若21( )2g xbxxd，在（ 1）的条件下，是否存在实数b，使得函数( )g x的图像与函数( )f x的图像恒有含1x的三个不同交点？若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由；解： （1）( )f x的图像过原点，则(0)00fc2()32fxa xx，又1x是( )f x的极值点，则( 1)31201faaa

20、-1 -1 ( )f x学习必备精品知识点2( )32(32)(1)0fxxxxx3( )( 1)2fxf极大值22 2()()37fxf极小值（2） 设函数( )g x的图像与函数( )f x的图像恒存在含1x的三个不同交点，等价于( )( )f xg x有含1x的三个根，即：1( 1)( 1)(1)2fgdb3221112(1)222xxxbxxb整理得：即：3211(1)(1)022xbxxb恒有含1x的三个不等实根（计算难点来了：）3211( )(1)(1)022h xxbxxb有含1x的根，则( )h x必可分解为(1)()0 x二次式，故用添项配凑法因式分解，3x22xx211(1

21、)(1)022bxxb2211(1)(1)(1)022xxbxxb221(1)(1)2(1)02xxbxxb十字相乘法分解：21(1 )(1 )(1 )102xxbxbx211(1)(1)(1)022xxbxb3211(1)(1)022xbxxb恒有含1x的三个不等实根等价于211(1)(1)022xbxb有两个不等于-1 的不等实根。2211(1)4(1)04211( 1)(1)(1)022bbbb(, 1)( 1,3)(3,)b类型三：切线的条数问题以切点0 x为未知数的方程的根的个数例题欣赏 8例 8、已知函数32( )f xaxbxcx在点0 x处取得极小值4，使其导数( )0fx的x

22、的取值范围为(1,3)，求：（1）( )f x的解析式；（2）若过点( 1,)pm可作曲线( )yf x的三条切线，求实数m的取值范围解析：（1）由题意得：2( )323 (1)(3),(0)fxaxbxca xxa在(,1)上( )0fx；在(1,3)上( )0fx；在(3,)上( )0fx因此( )f x在01x处取得极小值44abc ，(1)320fabc ，(3)2760fabc由联立得：169abc，32( )69f xxxx（2）设切点q( ,( )t f t，,( )( )()yf tftxt232( 3129)()(69 )yttxtttt222( 3129)(3129)(69

23、)ttxtttt tt22( 3129)(26 )ttxttt过( 1,)m232( 3129)( 1)26mtttt32( )221290g ttttm令22( )66126(2)0g ttttt，求得：1,2tt，方程( )0g t有三个根。需：( 1)0(2)0gg23 129016 122490mm1611mm故：1116m；因此所求实数m的范围为：( 11,16)类型四已知( )f x在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数解法：根分布或判别式法例题欣赏 9 例 9、解：函数的定义域为r（）当m4 时， f (x)13x372x2 10 x，( )fxx27x10，令( )0

24、fx， 解得5,x或2x. 23-1 ( )f x学习必备精品知识点令( )0fx， 解得25x可知函数f(x)的单调递增区间为(,2)和（ 5，），单调递减区间为2,5（）( )fxx2 (m3)xm6, 要使函数yf (x)在（ 1，）有两个极值点,( )fxx2(m3)xm6=0 的根在（ 1，）根分布问题：则2(3)4(6)0;(1)1(3)60;31.2mmfmmm， 解得 m3 例题欣赏 10 例 10、已知函数23213)(xxaxf，)0,(ara（1）求)(xf的单调区间；（2）令( )g x14x4f（ x） （x r）有且仅有3 个极值点，求a 的取值范围解： （ 1）)

25、 1()(2axxxaxxf当0a时，令0)(xf解得01xax或，令0)(xf解得01xa，所以)(xf的递增区间为),0()1,(a，递减区间为)0,1(a. 当0a时，同理可得)(xf的递增区间为)10(a，递减区间为),1()0 ,(a. （2）432113)42(gaxxxx有且仅有3 个极值点223(1( )axxxxxxagx=0 有 3 个根，则0 x或210 xax，2a方程210 xax有两个非零实根，所以240,a2a或2a而当2a或2a时可证函数( )yg x有且仅有3 个极值点请你欣赏典型题解析1、（最值问题与主元变更法的典例）已知定义在r上的函数32( )2f xa

26、xaxb）（0a在区间2,1上的最大值是5，最小值是11. （）求函数( )f x的解析式；（）若1 , 1t时，0(txxf）恒成立，求实数x的取值范围 . 解： （）322( )2,( )34(34)f xaxaxbfxaxaxaxx令( )fx=0,得1240,2,13xx因为0a，所以可得下表：x2,00 0,1( )fx+ 0 - ( )f x极大因此)0(f必为最大值 ,50 ）（f因此5b，( 2)165, (1)5,(1)( 2)fafaff，即11516)2(af，1a，.52(23xxxf）（）xxxf43)(2，0(txxf）等价于0432txxx，令xxxttg43)(

27、2，则问题就是0)(g t在1 , 1t上恒成立时，求实数x的取值范围，为此只需0)10)1(（gg，即005322xxxx，解得10 x，所以所求实数x的取值范围是0，1. 2、（根分布与线性规划例子）已知函数322( )3f xxaxbxc() 若函数( )f x在1x时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线30 xy平行 , 求)(xf的解析式；() 当( )f x在(0,1)x取得极大值且在(1,2)x取得极小值时, 设点(2,1)m ba所在平面区域为 s, 经过原点的直线l 将 s分为面积比为1:3 的两部分 , 求直线 l 的方程 . 解： (). 由2( )22fxx

28、axb, 函数( )f x在1x时有极值, 220ab1 学习必备精品知识点(0)1f1c又( )f x在(0,1)处的切线与直线30 xy平行 , (0)3fb故12a3221( )3132f xxxx. 7 分() 解法一 : 由2( )22fxxaxb及( )f x在(0,1)x取得极大值且在(1,2)x取得极小值 , (0)0(1)0(2)0fff即0220480babab令(,)mxy, 则21xbya12aybx20220460 xyxyx故点m所在平面区域s 为如图 abc, 易得( 2,0)a, ( 2,1)b, (2,2)c, (0,1)d, 3(0,)2e, 2abcs同时

29、 de 为abc 的中位线 , 13decabedss四边形所求一条直线l 的方程为 : 0 x另一种情况设不垂直于x 轴的直线 l 也将 s 分为面积比为1:3 的两部分 , 设直线 l 方程为ykx,它与ac,bc 分别交于f、g, 则0k, 1s四边形 degf由220ykxyx得点 f 的横坐标为 : 221fxk由460ykxyx得点 g 的横坐标为 : 641gxkogeofdsss四边形 degf61311222214121kk即216250kk解得 : 12k或58k(舍去 ) 故这时直线方程为: 12yx综上 ,所求直线方程为: 0 x或12yx. . .12分() 解法二

30、: 由2( )22fxxaxb及( )f x在(0,1)x取得极大值且在(1,2)x取得极小值 , (0)0(1)0(2)0fff即0220480babab令(,)mxy, 则21xbya12aybx20220460 xyxyx故点m所在平面区域s为如图 abc, 易得( 2,0)a, ( 2,1)b, (2,2)c, (0,1)d, 3(0,)2e, 2abcs同时 de 为abc 的中位线 , 13decabedss四边形所求一条直线l 的方程为 : 0 x另一种情况由于直线bo 方程为 : 12yx, 设直线 bo 与 ac 交于 h , 由12220yxyx得直线 l 与 ac 交点为

31、 : 1( 1,)2h2abcs, 1112222decs, 11222211122haboaohsssab 所求直线方程为: 0 x或12yx3、（根的个数问题）已知函数32f(x)axbx(c3a2b)xd (a0)的图象如图所示。（）求cd、的值；（） 若函数f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线方程为3xy110，求函数 f ( x )的解析式；（）若0 x5,方程f(x)8a有三个不同的根，求实数a 的取值范围。解：由题知：2f (x)3ax2bx+c-3a-2b（）由图可知函数 f ( x )的图像过点 ( 0 , 3 )，且1f= 0 得332c320dabab03cd学习必备精品知识点（）依题意2f= 3 且 f ( 2 ) = 5 124323846435abababab解得 a = 1 , b = 6 所以 f ( x ) = x3 6x2 + 9x + 3 （）依题意f ( x ) = ax3 + bx2 ( 3a + 2b )x + 3 ( a0 ) xf= 3ax2 + 2bx 3a 2b由5f= 0b = 9a若方程 f ( x ) = 8a 有