石牌中学中考专题复习导学案：特殊四边形(含答案)

1、学习必备欢迎下载20xx 年中考数学专题练习23特殊四边形【知识归纳】一、矩形1.定义：有一个角是的平行四边形叫做矩形2.性质(1)矩形的四个角都是；(2)矩形的对角线互相平分并且(3)矩形是一个轴对称图形，它有条对称轴3.判定(1)根据矩形的定义；(2)有个角是直角的平行四边形是矩形；(3)对角线的平行四边形是矩形二菱形1.定义有一组邻边相等的平行四边形是菱形2.性质(1)菱形的四条边；(2)菱形的对角线互相平分；(3)每条对角线平分(4)菱形是对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴，菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点3.判定(1)根据菱形的定义；(2)四条边的四边形是菱

2、形；(3)对角线互相的平行四边形是菱形三正方形1.定义有一组邻边相等，且有一个角是直角的叫做正方形学习必备欢迎下载2.性质正方形对边平行；正方形四边；正方形四个角都是；正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分；正方形既是轴对称图形也是图形，对称轴有条，对称中心是对角线的交点3.判定(1)根据正方形的定义；(2)有一组邻边相等的是正方形；(3)有一个角是直角的是正方形【基础检测】1 （ 2016? 舟 山 ） 如 图 ， 矩 形 abcd中 ， ad=2， ab=3 ， 过 点 a ， c 作 相 距 为2 的 平 行 线 段 ae ， cf ， 分 别 交 cd ， ab 于 点 e，

3、f， 则 de 的 长 是 （）abc 1 d 2 （ 2016? 兰 州 ）如 图 ，矩 形 abcd的 对 角 线 ac与 bd 相 交 于 点 o，ce bd ，de ac ， ad=2， de=2 ， 则 四 边 形 oced的 面 积 （）a 2b 4 c 4d 8 3. （2016 云南昆明）如图，在正方形abcd 中， ac 为对角线， e 为 ab 上一点，过点e作 efad ，与 ac 、dc 分别交于点g，f，h 为 cg 的中点，连接de，eh，dh，fh下列结论：eg=df ； aeh+ adh=180 ； ehf dhc；若=，则 3sedh=13sdhc，其中结论正

4、确的有（）学习必备欢迎下载a1 个 b2 个 c3 个 d4 个4（ 2016 黑龙江齐齐哈尔）如图，平行四边形abcd 的对角线ac， bd 相交于点o，请你添加一个适当的条件使其成为菱形（只填一个即可）5. (2013 山东烟台 )如图， abcd 的周长为36对角线ac ，bd相交于点o点 e 是 cd 的中点 bo=12则 doe 的周长为_. 6. （2013 四川雅安）在 abcd中，点 e、f 分别在 ab 、cd 上，且 aecf(1)求证： ade cbf；(2)若 dfbf，求证：四边形debf 为菱形7.（2016 贵州安顺 10 分）如图，在 ?abcd 中， bc=2

5、ab=4 ，点 e、f 分别是 bc、ad 的中点（1）求证： abe cdf；（2）当四边形aecf 为菱形时，求出该菱形的面积学习必备欢迎下载8（ 2016 广西南宁）已知四边形abcd 是菱形， ab=4， abc=60， eaf 的两边分别与射线 cb，dc 相交于点 e，f，且 eaf=60 （1）如图 1，当点 e 是线段 cb 的中点时，直接写出线段ae ，ef， af 之间的数量关系；（2）如图 2，当点 e 是线段 cb 上任意一点时（点e 不与 b、c 重合），求证：be=cf；（3）如图 3，当点 e 在线段 cb 的延长线上，且eab=15 时，求点f 到 bc 的距离

6、【达标检测】一选择题1.如图，在正方形abcd 的外侧，作等边三角形ade. ac ， be 相交于点 f， 则 bfc 为 ( ) a45b55c60d 752（2016 四川攀枝花）下列关于矩形的说法中正确的是（）a对角线相等的四边形是矩形b矩形的对角线相等且互相平分c对角线互相平分的四边形是矩形d矩形的对角线互相垂直且平分3.（2016 四川内江）下列命题中，真命题是( ) a对角线相等的四边形是矩形b对角线互相垂直的四边形是菱形c对角线互相平分的四边形是平行四边形学习必备欢迎下载d对角线互相垂直平分的四边形是正方形4（2016 四川南充）如图，对折矩形纸片abcd ，使 ab 与 dc

7、 重合得到折痕ef，将纸片展平；再一次折叠，使点d 落到 ef 上点 g 处，并使折痕经过点a，展平纸片后dag的大小为（）a30b45c60d755 （2016 四 川 泸 州 ） 如 图 ， 矩 形 abcd的 边 长 ad=3 ， ab=2 ， e 为 ab 的 中点 ， f 在 边 bc 上 ， 且 bf=2fc ， af 分 别 与 de 、 db 相 交 于 点 m ， n ， 则 mn的 长 为 （）abcd 6（2016 湖北荆门） 如图， 在矩形 abcd 中（ad ab） ，点 e 是 bc 上一点， 且 de=da ，afde，垂足为点f，在下列结论中，不一定正确的是（）

8、aafddce baf=ad cab=af dbe=addf 二填空题7. （2016内蒙古包头）如图，在矩形abcd 中，对角线ac 与 bd 相交于点o，过点 a 作aebd ，垂足为点e，若 eac=2 cad ，则 bae=度学习必备欢迎下载8. （2016 陕西）如图，在菱形abcd 中， abc=60，ab=2 ，点 p是这个菱形内部或边上的一点，若以点p、 b、c 为顶点的三角形是等腰三角形，则p、d（p、 d 两点不重合）两点间的最短距离为9. 如图， 在菱形 abcd 中，点 a 在 x 轴上， 点 b 的坐标为 （ 8，2） ，点 d 的坐标为 （0，2） ，则点 c 的坐

9、标为10. 如图，矩形abcd 中， ad=5 ，ab=7. 点 e 为 dc 上一个动点，把ade 沿 ae 折叠，当点 d 的对应点d落在 abc 的角平分线上时，de 的长为. 11. 如图，正方形abcd 的边长为a，在 ab、bc、cd、da 边上分别取点a1、b1、c1、d1，使 aa1=bb1=cc1=dd1=13a，在边 a1b1、 b1c1、c1d1、d1a1上分别取点a2、b2、c2、d2，使 a1a2=b1b2=c1c2=d1d2=13a1b2，依次规律继续下去，则正方形anbncndn的面积为学习必备欢迎下载三解答题12.（2016黑龙江哈尔滨）已知：如图，在正方形ab

10、cd 中，点 e 在边 cd 上，aq be 于点 q，dpaq 于点 p（1）求证： ap=bq ；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于pq 的长13（ 2016 广西南宁）已知四边形abcd 是菱形， ab=4 ， abc=60， eaf 的两边分别与射线 cb ，dc 相交于点e，f，且 eaf=60 （1）如图 1，当点 e 是线段 cb 的中点时，直接写出线段ae ，ef， af 之间的数量关系；（2）如图 2，当点 e 是线段 cb 上任意一点时（点e 不与 b、c 重合），求证：be=cf；（3）如图3，当点e在线段cb

11、的延长线上，且eab=15 时，求点f到bc的距离14（ 2016 河南）如图，在rt abc 中， abc=90，点 m 是 ac 的中点，以ab 为直径作 o 分别交 ac ，bm 于点 d，e学习必备欢迎下载（1）求证： md=me ；（2）填空：若 ab=6 ，当 ad=2dm时， de=；连接 od，oe，当 a 的度数为时，四边形odme 是菱形15（ 2016陕西）问题提出（1）如图，已知abc ，请画出 abc 关于直线ac 对称的三角形问题探究（2）如图，在矩形abcd 中， ab=4 ，ad=6 ，ae=4，af=2 ，是否在边bc、cd 上分别存在点 g、h，使得四边形e

12、fgh 的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由问题解决（3）如图，有一矩形板材abcd ，ab=3 米，ad=6 米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形efgh 部件，使 efg=90 ，ef=fg=米， ehg=45 ，经研究，只有当点 e、 f、g 分别在边ad 、ab 、bc 上，且 afbf，并满足点h 在矩形 abcd 内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形efgh 部件？若能，求出裁得的四边形efgh 部件的面积；若不能，请说明理由【知识归纳答案】一、矩形1.定义学习必备欢迎下载有一个角是直角的平行四边形叫

13、做矩形2.性质(1)矩形的四个角都是直角；(2)矩形的对角线互相平分并且相等(3)矩形是一个轴对称图形，它有2 条对称轴3.判定(1)根据矩形的定义；(2)有1 个角是直角的平行四边形是矩形；(3)对角线相等的平行四边形是矩形二菱形1.定义有一组邻边相等的平行四边形是菱形2.性质(1)菱形的四条边相等；(2)菱形的对角线互相垂直平分；(3)每条对角线平分一组对角(4)菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴，菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点3.判定(1)根据菱形的定义；(2)四条边相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形三正方形1.定义有一组邻边相

14、等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2.性质正方形对边平行；正方形四边相等；正方形四个角都是直角；正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；学习必备欢迎下载正方形既是轴对称图形也是中心图形，对称轴有四条，对称中心是对角线的交点3.判定(1)根据正方形的定义；(2)有一组邻边相等的矩形是正方形；(3)有一个角是直角的菱形是正方形【基础检测答案】1 （ 2016? 舟 山 ） 如 图 ， 矩 形 abcd中 ， ad=2， ab=3 ， 过 点 a ， c 作 相 距 为2 的 平 行 线 段 ae ， cf ， 分 别 交 cd ， ab 于 点 e， f， 则 de 的 长

15、 是 （）abc 1 d 【 分 析 】 过 f 作 fh ae 于 h， 根 据 矩 形 的 性 质 得 到 ab=cd， ab cd ， 推出 四 边 形 aecf是 平 行 四 边 形 ， 根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 得 到 af=ce， 根 据 相似 三 角 形 的 性 质 得 到， 于 是 得 到 ae=af， 列 方 程 即 可 得 到 结 论 【 解 答 】 解 ： 过 f 作 fh ae 于 h ， 四 边 形 abcd是 矩 形 ， ab=cd， ab cd ， ae cf ， 四 边 形 aecf是 平 行 四 边 形 ， af=ce， de=bf， af=3

16、de ， ae=， fha= d= daf=90 ， afh+ haf= dae+ fah=90 ， dae= afh ， ade afh ，学习必备欢迎下载， ae=af，=3 de ， de=，故 选 d 【 点 评 】 本 题 考 查 了 矩 形 的 性 质 ， 相 似 三 角 形 的 判 定 和 性 质 ， 勾 股 定 理 ， 平行 四 边 形 的 判 定 和 性 质 ， 熟 练 掌 握 平 行 四 边 形 的 判 定 定 理 是 解 题 的 关 键 2 （ 2016? 兰 州 ）如 图 ，矩 形 abcd的 对 角 线 ac与 bd 相 交 于 点 o，ce bd ，de ac ，

17、ad=2， de=2 ， 则 四 边 形 oced的 面 积 （）a 2b 4 c 4d 8 【 分 析 】 连 接 oe ， 与 dc 交 于 点 f， 由 四 边 形 abcd为 矩 形 得 到 对 角 线 互 相平 分 且 相 等 ，进 而 得 到 od=oc，再 由 两 组 对 边 分 别 平 行 的 四 边 形 为 平 行 四 边形 得 到 odec为 平 行 四 边 形 ， 根 据 邻 边 相 等 的 平 行 四 边 形 为 菱 形 得 到 四 边 形odec为 菱 形 ， 得 到 对 角 线 互 相 平 分 且 垂 直 ， 求 出 菱 形 ocef的 面 积 即 可 【 解 答

18、】 解 ： 连 接 oe ， 与 dc 交 于 点 f， 四 边 形 abcd为 矩 形 ， oa=oc， ob=od， 且 ac=bd， 即 oa=ob=oc=od， od ce ， oc de ， 四 边 形 odec为 平 行 四 边 形 ， od=oc ， 四 边 形 odec为 菱 形 ， df=cf ， of=ef ， dc oe ，学习必备欢迎下载 de oa ， 且 de=oa， 四 边 形 adeo为 平 行 四 边 形 ， ad=2， de=2 ， oe=2， 即 of=ef=，在 rt def 中 ， 根 据 勾 股 定 理 得 ： df=1 ， 即 dc=2 ，则 s菱

19、 形o de c=oe?dc=2 2=2故 选 a 【 点 评 】 此 题 考 查 了 矩 形 的 性 质 ， 菱 形 的 判 定 与 性 质 ， 以 及 勾 股 定 理 ， 熟 练掌 握 矩 形 的 性 质 是 解 本 题 的 关 键 3. （2016云南省昆明市 4 分）如图，在正方形abcd 中， ac 为对角线， e 为 ab 上一点，过点 e 作 efad ，与 ac、dc 分别交于点g， f，h 为 cg 的中点，连接de，eh，dh ，fh下列结论：eg=df ； aeh+ adh=180 ； ehf dhc；若=，则 3sedh=13sdhc，其中结论正确的有（）a1 个 b2

20、 个 c3 个 d4 个【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质【分析】根据题意可知acd=45 ，则 gf=fc ，则 eg=efgf=cd fc=df；由 sas 证明 ehf dhc ，得到 hef=hdc ，从而aeh+ adh= aef+ hef+adf hdc=180 ；同证明 ehf dhc 即可；学习必备欢迎下载若=，则 ae=2be ，可以证明 egh dfh ，则 ehg=dhf 且 eh=dh ，则dhe=90 ，ehd 为等腰直角三角形，过h 点作 hm 垂直于 cd 于 m 点，设 hm=x ，则dm=5x ，dh=x，cd=6x ，则 sdhc= hm cd=3

21、x2，sedh= dh2=13x2【解答】解：四边形abcd 为正方形， efad ，ef=ad=cd ， acd=45 ， gfc=90 ， cfg 为等腰直角三角形，gf=fc，eg=efgf，df=cd fc，eg=df ，故正确； cfg 为等腰直角三角形，h 为 cg 的中点，fh=ch ， gfh= gfc=45 =hcd ，在 ehf 和 dhc 中， ehf dhc （sas） ， hef=hdc ， aeh+ adh= aef+ hef+ adf hdc= aef+ adf=180 ，故正确； cfg 为等腰直角三角形，h 为 cg 的中点，fh=ch ， gfh= gfc=

22、45 =hcd ，在 ehf 和 dhc 中，ehfdhc（sas） ，故正确；=，ae=2be， cfg 为等腰直角三角形，h 为 cg 的中点，fh=gh ， fhg=90 ， egh=fhg+ hfg=90 +hfg= hfd ，在 egh 和 dfh 中，学习必备欢迎下载 egh dfh （sas） ， ehg=dhf，eh=dh ， dhe= ehg+ dhg= dhf+ dhg= fhg=90 ， ehd 为等腰直角三角形，过 h 点作 hm 垂直于 cd 于 m 点，如图所示：设 hm=x ，则 dm=5x ，dh=x，cd=6x ，则 sdhc= hm cd=3x2，sedh=

23、 dh2=13x2，3sedh=13sdhc，故正确；故选： d4（2016黑龙江齐齐哈尔 3 分）如图，平行四边形abcd 的对角线ac，bd 相交于点o，请你添加一个适当的条件ac bc 或 aob=90 或 ab=bc使其成为菱形（只填一个即可） 【考点】菱形的判定；平行四边形的性质【分析】利用菱形的判定方法确定出适当的条件即可【解答】解：如图，平行四边形abcd的对角线ac，bd相交于点o，添加一个适当的条件为： acbc 或 aob=90 或 ab=bc 使其成为菱形故答案为： ac bc 或 aob=90 或 ab=bc 5. (2013 山东烟台 )如图， abcd 的周长为36

24、对角线ac ，bd相交于点o点 e 是 cd 的中点 bo=12则 doe 的周长为_. 【答案】 15 【解题思路】根据平行四边形的性质，对角线互相平分，两组对边分别相等，可以分别求出学习必备欢迎下载od、oe+de 的长，即可求解. abcd 的周长为36， bc+cd=18 ， 四边形abcd 为平行四边形， o 是 bd 的中点，od=6, 又 e 是 cd 的中点， oe 是 bcd 的中位线，oe+de=9 ， doe 的周长=od+oe+de =6+9 =15 【方法指导】本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理以及整体思想的运用.求三角形的周长可以分别求出三边的长，但是本

25、题较新颖， 根据对角线的交点是对角线的中点，可以求出其中一边的长，而另外两边运用整体思想，求出这两边的长度和后即可求解.在平行四边形中， 由于对角线的交点即为中点，再加上另一中点， 所以中位线定理是我们的首选. 6. （2013 四川雅安） 在 abcd中，点 e、f 分别在 ab、 cd 上，且 aecf(1)求证： ade cbf；(2)若 dfbf，求证：四边形debf 为菱形【答案】(1)证明：四边形abcd 是平行四边形，ad bc， a c，又 aecf， ade cbf(2)证明：四边形abcd 是平行四边形，abcd，abcdaecf， bedf，bedf，四边形debf 是平

26、行四边形，dfbf， debf是菱形【解析】（1）首先根据平行四边形的性质可得ad bc， a c，再加上条件aecf可利用 sas 证明 ade cbf；（2）首先证明dfbe，再加上条件ab cd 可得四边形debf 是平行四边形，又dffb，可根据邻边相等的平行四边形为菱形证出结论【方法指导】 此题主要考查了全等三角形的判定，以及菱形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理，以及菱形的判定定理，平行四边形的性质7.（2016 贵州安顺）如图，在?abcd 中， bc=2ab=4 ，点 e、 f 分别是 bc、ad 的中点学习必备欢迎下载（1）求证： abe cdf；（2）当四边形aecf

27、为菱形时，求出该菱形的面积【分析】第（ 1）问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用sas 证全等第（ 2）要求菱形的面积，在第（1）问的基础上很快知道abe 为等边三角形这样菱形的高就可求了，用面积公式可求得【解答】（1）证明：在?abcd 中， ab=cd ，bc=ad ， abc= cda 又 be=ec=bc，af=df=ad ， be=df abe cdf（2）解：四边形aecf 为菱形时， ae=ec 又点 e 是边 bc 的中点，be=ec ，即 be=ae 又 bc=2ab=4 ， ab=bc=be ，ab=be=ae ，即 abe 为等边三角形， （6 分）?abcd

28、 的 bc 边上的高为2 sin60 =， （7 分）菱形 aecf 的面积为2 （8 分）【点评】考查了全等三角形，四边形的知识以及逻辑推理能力（1）用 sas 证全等；（2）若四边形aecf 为菱形，则ae=ec=be=ab ，所以 abe 为等边三角形8（ 2016 广西南宁）已知四边形abcd 是菱形， ab=4， abc=60， eaf 的两边分别与射线 cb，dc 相交于点 e，f，且 eaf=60 （1）如图 1，当点 e 是线段 cb 的中点时，直接写出线段ae ，ef， af 之间的数量关系；（2）如图 2，当点 e 是线段 cb 上任意一点时（点e 不与 b、c 重合），求

29、证：be=cf；学习必备欢迎下载（3）如图 3，当点 e 在线段 cb 的延长线上，且eab=15 时，求点f 到 bc 的距离【考点】四边形综合题【分析】（ 1）结论 ae=ef=af 只要证明ae=af 即可证明 aef 是等边三角形（2）欲证明be=cf，只要证明bae caf 即可（3） 过点 a 作 agbc 于点 g， 过点 f作 fhec 于点 h， 根据 fh=cf?cos30 ， 因为 cf=be，只要求出 be 即可解决问题【解答】（ 1）解：结论ae=ef=af 理由：如图1 中，连接ac ，四边形 abcd 是菱形， b=60 ，ab=bc=cd=ad， b= d=60

30、 ， abc ， adc 是等边三角形， bac= dac=60 be=ec ， bae= cae=30 ，aebc， eaf=60 ， caf= daf=30 ，afcd，ae=af （菱形的高相等）， aef 是等边三角形，ae=ef=af （2）证明：如图2 中， bac= eaf=60 ， bae= cae ，在 bae 和 caf 中， bae caf ，学习必备欢迎下载be=cf （3）解：过点a 作 agbc 于点 g，过点 f 作 fhec 于点 h， eab=15 ， abc=60 ， aeb=45 ，在 rtagb 中， abc=60 ab=4 ，bg=2 ，ag=2，在

31、rtaeg 中， aeg= eag=45 ，ag=ge=2，eb=eg bg=22， aeb afc ，ae=af ，eb=cf=22， aeb= afc=45 ， eaf=60 ，ae=af ， aef 是等边三角形， aef= afe=60 aeb=45 ， aef=60 ， cef= aef aeb=15 ，在 rtefh 中， cef=15 ， efh=75 ， afe=60 ， afh= efh afe=15 ， afc=45 ， cfh= afc afh=30 ，在 rtchf 中， cfh=30 ，cf=22，fh=cf?cos30 = （2 2）?=3点 f 到 bc 的距离为

32、3学习必备欢迎下载【点评】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识， 解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题【达标检测答案】一选择题（每小题4 分，满分40 分）1.如图，在正方形abcd 的外侧，作等边三角形ade. ac ， be 相交于点 f， 则 bfc 为 ( ) a45b55c60d 75【答案】 c【解析】 四边形 abcd 是正方形， ab= ad ， abc= bad=90 ，bac= bca=45 ade 是等边三角形，ae=ad ， bca=45 bce=135 ，ab=ad. abe=15 cbf

33、=75 bfc=60 故选 c2（2016 四川攀枝花）下列关于矩形的说法中正确的是（）a对角线相等的四边形是矩形b矩形的对角线相等且互相平分c对角线互相平分的四边形是矩形d矩形的对角线互相垂直且平分【考点】矩形的判定与性质【分析】根据矩形的性质和判定定理逐个判断即可【解答】解： a、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；b、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；c、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；d、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；学习必备欢迎下载故选 b【点评】 本题考查了矩形的性质和判定的应用，能熟记矩形的性质和判定定理是

34、解此题的关键3.（2016 四川内江）下列命题中，真命题是( ) a对角线相等的四边形是矩形b对角线互相垂直的四边形是菱形c对角线互相平分的四边形是平行四边形d对角线互相垂直平分的四边形是正方形答案 c 考点 特殊四边形的判定。解析 满足选项a 或选项b 中的条件时，不能推出四边形是平行四边形，因此它们都是假命题由选项d 中的条件只能推出四边形是菱形，因此也是假例题只有选项c 中的命题是真命题故选 c4（2016 四川南充）如图，对折矩形纸片abcd ，使 ab 与 dc 重合得到折痕ef，将纸片展平；再一次折叠，使点d 落到 ef 上点 g 处，并使折痕经过点a，展平纸片后dag的大小为（）

35、a30b45c60d75【分析】直接利用翻折变换的性质以及直角三角形的性质得出2=4，再利用平行线的性质得出 1=2= 3，进而得出答案【解答】解：如图所示：由题意可得：1=2，an=mn ， mga=90 ，则 ng=am ，故 an=ng ，则 2=4，efab， 4=3， 1=2=3=1/3 90 =30 ， dag=60 学习必备欢迎下载故选： c【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及平行线的性质，正确得出 2=4 是解题关键5 （2016 四 川 泸 州 ） 如 图 ， 矩 形 abcd的 边 长 ad=3 ， ab=2 ， e 为 ab 的 中点 ， f 在 边 bc 上 ， 且

36、 bf=2fc ， af 分 别 与 de 、 db 相 交 于 点 m ， n ， 则 mn的 长 为 （）abcd 【 考 点 】 相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质 ； 矩 形 的 性 质 【 分 析 】 过 f 作 fh ad于 h ， 交 ed 于 o， 于 是 得 到 fh=ab=2， 根 据 勾 股定 理 得 到 af=2， 根 据 平 行 线 分 线 段 成 比 例 定 理 得 到oh=ae=， 由 相 似 三 角 形 的 性 质 得 到=， 求 得 am=af=，根 据 相 似 三 角 形 的 性 质 得 到=，求 得 an=af=，即 可 得 到 结 论 【 解 答

37、 】 解 ： 过 f 作 fh ad 于 h ， 交 ed 于 o， 则 fh=ab=2 bf=2fc， bc=ad=3， bf=ah=2， fc=hd=1， af=2， oh ae ，=， oh=ae=， of=fh oh=2 =， ae fo ，学习必备欢迎下载 ame fmo ，=， am=af=， ad bf ， and fnb ，=， an=af=， mn=an am=，故 选 b6（2016 湖北荆门 3 分） 如图，在矩形 abcd 中 （ad ab ） ， 点 e 是 bc 上一点，且 de=da ，afde，垂足为点f，在下列结论中，不一定正确的是（）a afd dce b

38、af=ad c ab=af d be=ad df 【考点】矩形的性质；全等三角形的判定【分析】先根据已知条件判定判定afd dce（aas ） ，再根据矩形的对边相等，以及全等三角形的对应边相等进行判断即可【解答】解： （a）由矩形 abcd ，afde 可得 c=afd=90 ，ad bc， adf= dec又 de=ad ， afd dce （aas ） ，故（ a）正确；学习必备欢迎下载（b） adf 不一定等于30 ，直角三角形adf 中， af 不一定等于ad 的一半，故（ b）错误；（c）由 afd dce ，可得 af=cd ，由矩形 abcd ，可得 ab=cd ，ab=af

39、，故（ c）正确；（d）由 afd dce，可得 ce=df ，由矩形 abcd ，可得 bc=ad ，又 be=bc ec，be=ad df，故（ d）正确；故选（ b）二填空题7. （2016内蒙古包头）如图，在矩形abcd 中，对角线ac 与 bd 相交于点o，过点 a 作aebd，垂足为点e，若eac=2cad，则bae=22.5度【考点】矩形的性质【分析】首先证明aeo 是等腰直角三角形，求出oab ， oae 即可【解答】解：四边形abcd 是矩形，ac=bd ，oa=oc ，ob=od ，oa=oboc， oac= oda ， oab= oba ， aoe= oac+ oca=2

40、 oac， eac=2 cad ， eao= aoe，aebd ， aeo=90 ，学习必备欢迎下载 aoe=45 ， oab= oba=67.5 ， bae= oab oae=22.5 故答案为22.5 8. （2016 陕西）如图，在菱形abcd 中， abc=60，ab=2 ，点 p是这个菱形内部或边上的一点，若以点p、 b、c 为顶点的三角形是等腰三角形，则p、d（p、 d 两点不重合）两点间的最短距离为22【考点】菱形的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的性质【分析】如图连接ac、bd 交于点 o，以 b 为圆心 bc 为半径画圆交bd 于 p此时 pbc是等腰三角形，线段pd 最短

41、，求出bd 即可解决问题【解答】解：如图连接ac 、bd 交于点 o，以 b 为圆心 bc 为半径画圆交bd 于 p此时 pbc 是等腰三角形，线段pd 最短，四边形 abcd 是菱形， abc=60 ，ab=bc=cd=ad， abc= adc=60 ， abc ， adc 是等边三角形，bo=do= 2=，bd=2bo=2，pd 最小值 =bdbp=22故答案为22学习必备欢迎下载9. 如图， 在菱形 abcd 中，点 a 在 x 轴上， 点 b 的坐标为 （ 8，2） ，点 d 的坐标为 （0，2） ，则点 c 的坐标为【答案】（4，4） 【解析】连接ac 、bd交于点e，如图所示：四边

42、形abcd是菱形，ac bd ，ae=ce=12ac，be=de=12bd ，点 b 的坐标为 （8，2） ，点 d 的坐标为 （0，2） ，od=2 ，bd=8 ， ae=od=2 ， de=4， ac=4 ，点 c 的坐标为：（ 4，4） ；故答案为： （4， 4） 10. 如图，矩形abcd 中， ad=5 ，ab=7. 点 e 为 dc 上一个动点，把ade 沿 ae 折叠，当点 d 的对应点d落在 abc 的角平分线上时，de 的长为. 【答案】52或53. 学习必备欢迎下载【解析】如答图，连接 b d ， 过 d作 mn ab ， 交 ab 于点 n， 交 dc 于点 m， 过 d

43、作 dgbc于点 g，点 d落在 abc 的角平分线上，dn= dg. 又 nbg=900，四边形dnbg 是正方形，dnb 是等腰直角三角形. 设 bn=dn=x ，则ad=5 ，ab=7 ， ade 是 ade 沿 ae 折叠得到，ad=5 ，an7x. 在 rtdna 中，由勾股定理得2225x7x，即2x7x120，解得12x3, x4. 易证， em d dna ，eddmdaan. 当 bn=dn=3 时，an4, da5, dm2，ed25ed542；当 bn=dn=4 时，an3, da5, dm1，ed15ed533. de= de ， de 的长为52或53. 11. 如图

44、，正方形abcd 的边长为a，在 ab、bc、cd、da 边上分别取点a1、b1、c1、d1，使 aa1=bb1=cc1=dd1=13a，在边 a1b1、 b1c1、c1d1、d1a1上分别取点a2、b2、c2、d2，使 a1a2=b1b2=c1c2=d1d2=13a1b2，依次规律继续下去，则正方形anbncndn的面积为【答案】25( )9na学习必备欢迎下载【解析】 在 rta1bb1中，由勾股定理可知；2221111a ba bb b=2221()()33aa=259a，即 正 方 形a1b1c1d1的 面 积 =259a； 在rta2b1b2中 ， 由 勾 股 定 理 可 知 ：22

45、2222121a ba bb b=222515()()3333aa=225( )9a；即正方形a2b2c2d2的面积=225( )9a，正方形anbncndn的面积 =25( )9na故答案为：25( )9na三解答题12.（2016黑龙江哈尔滨）已知：如图，在正方形abcd 中，点 e 在边 cd 上，aq be 于点 q，dpaq 于点 p（1）求证： ap=bq ；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于pq 的长【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质【分析】（1）根据正方形的性质得出ad=ba ， baq= adp ，再根据

46、已知条件得到aqb= dpa，判定 aqb dpa 并得出结论；（2）根据 aq ap=pq 和全等三角形的对应边相等进行判断分析【解答】解： （1）正方形abcd ad=ba ， bad=90 ，即 baq+ dap=90 dpaq adp+ dap=90 baq= adp aq be 于点 q，dpaq 于点 p aqb= dpa=90 aqb dpa（aas）ap=bq （2） aqap=pq 学习必备欢迎下载aq bq=pq dpap=pq dpbq=pq 13（ 2016 广西南宁）已知四边形abcd 是菱形， ab=4 ， abc=60， eaf 的两边分别与射线 cb ，dc 相

47、交于点e，f，且 eaf=60 （1）如图 1，当点 e 是线段 cb 的中点时，直接写出线段ae ，ef， af 之间的数量关系；（2）如图 2，当点 e 是线段 cb 上任意一点时（点e 不与 b、c 重合），求证：be=cf；（3）如图 3，当点 e 在线段 cb 的延长线上，且eab=15 时，求点f 到 bc 的距离【考点】四边形综合题【分析】（ 1）结论 ae=ef=af 只要证明ae=af 即可证明 aef 是等边三角形（2）欲证明be=cf，只要证明bae caf 即可（3） 过点 a 作 agbc 于点 g， 过点 f作 fhec 于点 h， 根据 fh=cf?cos30 ，

48、 因为 cf=be，只要求出 be 即可解决问题【解答】（ 1）解：结论ae=ef=af 理由：如图1 中，连接ac ，四边形 abcd 是菱形， b=60 ，ab=bc=cd=ad， b= d=60 ， abc ， adc 是等边三角形， bac= dac=60 be=ec ， bae= cae=30 ，aebc， eaf=60 ，学习必备欢迎下载 caf= daf=30 ，afcd，ae=af （菱形的高相等）， aef 是等边三角形，ae=ef=af （2）证明：如图2 中， bac= eaf=60 ， bae= cae ，在 bae 和 caf 中， bae caf ，be=cf （3

49、）解：过点a 作 agbc 于点 g，过点 f 作 fhec 于点 h， eab=15 ， abc=60 ， aeb=45 ，在 rtagb 中， abc=60 ab=4 ，bg=2 ，ag=2，在 rtaeg 中， aeg= eag=45 ，ag=ge=2，eb=eg bg=22， aeb afc ，ae=af ，eb=cf=22， aeb= afc=45 ， eaf=60 ，ae=af ， aef 是等边三角形， aef= afe=60 aeb=45 ， aef=60 ， cef= aef aeb=15 ，在 rtefh 中， cef=15 ， efh=75 ， afe=60 ，学习必备欢

50、迎下载 afh= efh afe=15 ， afc=45 ， cfh= afc afh=30 ，在 rtchf 中， cfh=30 ，cf=22，fh=cf?cos30 = （2 2）?=3点 f 到 bc 的距离为3【点评】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识， 解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题14（2016河南）如图，在rtabc中，abc=90，点m是ac的中点，以ab为直径作 o 分别交 ac ，bm 于点 d，e（1）求证： md=me ；（2）填空：若 ab=6 ，当 ad=2dm时， de=2；连

51、接 od，oe，当 a 的度数为60 时，四边形odme 是菱形学习必备欢迎下载【考点】菱形的判定【分析】（ 1）先证明 a= abm ，再证明 mde= mba ， med= a 即可解决问题（2）由 deab ，得=即可解决问题当 a=60 时，四边形odme 是菱形，只要证明ode， dem 都是等边三角形即可【解答】（ 1）证明：abc=90 ，am=mc ，bm=am=mc， a=abm ，四边形 abed 是圆内接四边形， ade+ abe=180 ，又 ade+ mde=180 ， mde= mba ，同理证明： med= a， mde= med ，md=me （2）由（ 1）可知， a= mde ，deab ，=，ad=2dm ，dm ：ma=1 ：3，de=ab= 6=2故答案为2当 a=60 时，四边形odme 是菱形理由：连接od、oe，oa=od ， a=60 ， aod 是等边三角形，学习必备欢迎下载 aod=60 ，deab ， ode=aod=60 ， mde= med= a=60 ， ode， dem 都是等边三角形，od=oe=em=dm，四边形 oemd 是菱形故答案为60 【点评】本题考查圆内接四边形性质、直角三角形斜边中线性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用这些知