高中数学培优——解三角形

1、学习好资料欢迎下载解三角形常州二中徐金雅课题：正弦定理（两课时）教学目的：使学生掌握正弦定理能应用解斜三角形，解决实际问题。教学过程 ：一、引言： 在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角。那么斜三角形怎么办？（创设情景）早在1671 年，两个法国天文学家就测出了地球与月亮之间的距离大约是385400 公里，你能设计一种近似的测量方法吗？ 提出课题：正弦定理二、讲解新课：正弦定理 ：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即aas i n=bbsin=ccsin=2r（ r 为abc 外接圆半径）1直角三角形中：sina=ca，sin

2、b=cb， sinc=1 即c=aasin， c=bbsin，c=ccsinaasin=bbsin=ccsin2斜三角形中证明一：（等积法）在任意斜abc 当中s abc=abcbaccabsin21sin21sin21两边同除以abc21即得：aasin=bbsin=ccsin证明二：（外接圆法）如图所示，rcddaaa2sinsin同理bbsin=2r，ccsin2r 证明三：（向量法）过 a 作单位向量j垂直于acabcobcad学习好资料欢迎下载由ac+cb=ab两边同乘以单位向量j得j?(ac+cb)=j?ab则j?ac+j?cb=j?ab|j|?|ac|cos90 +|j|?|cb

3、|cos(90c)=|j|?|ab|cos(90a) accasinsinaasin=ccsin同理，若过c 作j垂直于cb得：ccsin=bbsinaasin=bbsin=ccsin正弦定理的应用从理论上正弦定理可解决两类问题：1两角和任意一边，求其它两边和一角；2两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。（见图示）已知a, b 和a, 用正弦定理求b 时的各种情况: 若 a 为锐角时 : )(ba),(babsina)(bsina asin锐角一解一钝一锐二解直角一解无解abababababaa已知边 a,b和a仅有一个解有两个解仅有一个解无解a bch=bsinaaba=

4、ch=bsinaach=bsinaacbacb1abacb2chhh若 a 为直角或钝角时:)(ba锐角一解无解ba三、讲解范例：例 1 已知在bbacacabc和求中，,30,45,1000解：0030,45,10cac00105)(180cab学习好资料欢迎下载由ccaasinsin得21030sin45sin10sinsin00caca由ccbbsinsin得25654262075sin2030sin105sin10sinsin000cbcb例 2 在caacbbabc, 1,60,30和求中，解：21360sin1sinsin,sinsin0bbccccbb00090,30,60,bc

5、cbcbcb为锐角，222cba例 3cbbaacabc,2,45,60和求中，解：23245sin6sinsin,sinsin0aaccccaa0012060,sin或ccaac1360sin75sin6sinsin,75600000cbcbbc时，当，1360sin15sin6sinsin,151200000cbcbbc时，当或0060,75,13cbb00120,15, 13cbb例 4 已知 abc， b为 b 的平分线，求证：ab bcac分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而b 的平分线bd 将abc 分成了两个三角形：abd 与cbd，故要证结论成立，可证

6、明它的等价形式：abad bcdc，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为dbcdcbdcbcabdadabdabsinsin,sinsin，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论. 证明：在 abd 内，利用正弦定理得：abdadbadababdadadbabsinsinsinsin即在 bcd 内，利用正弦定理得：学习好资料欢迎下载.sinsin,sinsindbcbdcdcbcdbcdcbdcbc即bd 是 b 的平分线 . abd dbcsinabdsindbc. adb bdc180sinadbsin（

7、180 bdc） sincdbcdbcbdcabdadbadabsinsinsinsindcadbcab评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用.四、课堂练习：1.在abc 中，kccbbaasinsinsin,则 k 为a.2r b.r c.4r d.r21(r 为abc 外接圆半径 ) 2.abc 中， sin2a=sin2b+sin2c，则 abc 为a.直角三角形等腰直角三角形等边三角形d.等腰三角形3在 abc 中，求证：2222112cos2cosbabbaa参考答案： 1.a ，3.bbaasinsinbbaasi

8、nsin22)sin()sin(bbaa2222sinsinbbaa222cos12cos1bbaa2222112cos2cosbabbaa五、小结正弦定理，两种应用（重点：判断解的情况，利用三角形的边与角的关系，判断三角形形状）几何画板：验证正弦定理第 1 步，启动几何画板， 单击工具箱上的 “直尺” 工具，在操作区作出任意三角形abc。单击工具箱上的“选择箭头”工具，选中三角形的三条边，依次单击“度量”“长度”菜单命令，度量3 条边的长度值，度量值显示在操作区里，第 2 步，单击操作区空白处，释放所选对象，然后依次选中点a、点 b 和点 c，依次单击“度量”“角度”菜单命令，角abc 的度

9、量值出现在操作区。同样方法，度量角bca 和角 cab 的角度。然后同时选中3 组角度度量值，按住鼠标左键不放，当光标变成一个黑色箭头时，拖动光标，使3 组数据移动到合适位置。第 3 步，单击操作区空白处，释放所选对象，然后选中操作区中线段ab 的度量值和角bca 的度量值，依次选择“度量”“计算”菜单命令，弹出对话框，单击“数值”列表下的“ mab ” 、计算器上的“” ，然后单击“函数”下拉列表，选择“sin” ，再单击“数值”下拉列表下的“mbca” ，单击“确定”按钮，操作区中出现正弦定理的学习好资料欢迎下载一个比值。同样方法，计算出另外两条边和所对角的正弦比值。然后选中3 个比值，拖

10、动到适当位置，第 4 步，同时选中3 个比值，依次单击“图表”“制表”菜单命令，在操作区制作出一个表格，如图93 所示。拖动三角形的任意一个顶点，可看到操作区的数值变化，但表格中的比值始终相等第 5 步，单击工具箱上“选择箭头”工具，选中表格，然后双击表格，可在表格中添加一行纪录。依次单击“文件”“保存”菜单命令，保存文件。余弦定理（两课时）教学目的（1） 使学生掌握余弦定理及其证明方法（2） 使学生初步掌握余弦定理的应用教学重点与难点教学重点是余弦定理及其应用；教学难点是用解析法证明余弦定理教学过程设计一、复习师：直角 abc 中有如下的边角关系（设c=90）：（1）角的关系 a+b+c=1

11、80 a+b=90 （2）边的关系 c2=a2+b2学习好资料欢迎下载二、创设情境为了测定河的宽度，在一岸边选定两点a、b，望对岸标记物c，测得cab=30 ,cba=75 ,ab=120m ，则河的宽度为-引入：在 abc 中，当 c=90时，有 c2=a2+b2若 a，b 边的长短不变，变换c 的大小时， c2与 a2+b2有什么关系呢？请同学们思考如图 1，若 c90时，由于 ac 与 bc 的长度不变，所以ab 的长度变短，即 c2a2+b2如图 2，若c90时，由于 ac 与 bc 的长度不变，所以ab 长度变长，即 c2a2+b2经过议论学生已得到当 c90时，c2a2+b2，那么

12、 c2与 a2+b2到底相差多少呢？请同学们继续思考学习好资料欢迎下载如图 3，当c 为锐角时，作 bdac 于 d，bd 把abc 分成两个直角三角形：在 rtabd 中，ab2=ad2+bd2；在 rtbdc 中，bd=bc sinc=asinc ，dc=bccosc=acosc 所以， ab2=ad2+bd2化为c2=（b-acosc ）2+（asinc）2，c2=b2-2abcosc+a2cos2c+a2sin2c，c2=a2+b2-2abcosc 我们可以看出 c 为锐角时，abc 的三边 a， b， c 具有 c2=a2+b2-2abcosc的关系学习好资料欢迎下载从以上分析过程，

13、 我们对 c 是锐角的情况有了清楚认识 我们不仅要认识到， c 为锐角时有 c2=a2+b2-2abcosc ，还要体会出怎样把一个斜三角形转化成两个直角三角形的这种未知向已知的转化在数学中经常碰到下面请同学们自己动手推导结论如图 4，当 c 为钝角时，作 bdac，交 ac 的延长线于 dacb 是两个直角三角形之差在 rtabd 中，ab2=ad2+bd2在 rtbcd 中， bcd=-cbd=bcsin（-c），cd=bc cos（-c）所以 ab2=ad2+bd2化为c2=（ac+cd ）2+bd2=b+acos （-c）2+asin （-c）2=b2+2abcos （-c）+a2co

14、s2（-c）+a2sin2（-c）=b2+2abcos （-c）+a2因为 cos（-c）=-cosc ，所以 c2=b2+a2-2abcosc 学习好资料欢迎下载这里 c 为钝角， cosc 为负值， -2abcosc 为正值，所以 b2+a2-2abcosc a2+b2，即 c2a2+b2从以上我们可以看出，无论c 是锐角还是钝角， abc 的三边都满足c2=a2+b2-2abcosc 这就是余弦定理我们轮换a，b，c 的位置可以得到a2=b2+c2-2bccosa b2=c2+a2-2accosb 三、证明余弦定理在引入过程中，我们不仅找到了斜三角形的边角关系，而且还给出了证明，这个证明

15、是依据分类讨论的方法，把斜三角形化归为两个直角三角形的和或差，再利用勾股定理和锐角三角函数证明的这是证明余弦定理的一个好方法，但比较麻烦现在我们已学完了三角函数，无论是锐角、直角或钝角，我们都有统一的定义， 借用三角函数和两定点间的距离来证明余弦定理，我们就可避开分类讨论我们仍就以 c 为主进行证明如图 5，我们把顶点 c 置于原点， ca 落在 x 轴的正半轴上，由于 abc 的ac=b，cb=a，ab=c，则 a，b，c 点的坐标分别为a（b，0），b（acosc，asinc ），c（0，0）学习好资料欢迎下载请同学们分析 b 点坐标是怎样得来的生： acb=c，cb 为acb 的终边，

16、b 为 cb 上一点，设 b x=acosc ，y=asinc 师：回答很准确， a，b 两点间的距离如何求？生：|ab|2=（acosc-b ）2+（asinc-0 ）2=a2cos2c-2abcosc+b2+a2sin2c =a2+b2-2abcosc ，即 c2=a2+b2-2abcosc 大家请看，我们这里也导出了余弦定理，这个证明方法是解析法 这种方法以后还要详细学习余弦定理用语言可以这样叙述， 三角形一边的平方等于另两边的平方和再减去这两边与夹角余弦的乘积的2 倍即：a2=b2+c2-2bccosa c2=a2+b2-2abcosc b2=a2+c2-2accosb 若用三边表示角

17、，余弦定理可以写为学习好资料欢迎下载四、余弦定理的作用（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边由三角形中大边对大角可知：a 为最大的角由余弦定理所以 a=120解由余弦定理可知bc2=ab2+ac2-2abaccosa 所以 bc=7以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用学习好资料欢迎下载五、余弦定理与勾股定理的关系、余弦定理与锐角三角函数的关系在abc 中，c2=a2+b2-2abcosc 若 c=90，则 cosc=0，于是c2=a2+b2-2ab0=a2+b2说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广这与 rtabc 中，c=90

18、的锐角三角函数一致， 即直角三角形中的锐角三角函数是余弦定理的特例六、应用举例例 1 在abc 中，求证 c=bcosa+acosb 师：请同学们先做几分钟生甲：如图 6，作 cdab 于 d在 rtacd 中，ad=bcosa；在 rtcbd 中，db=acosb而 c=ad+db ，所以学习好资料欢迎下载c=bcosa+acosb 师：这位学生的证法是否完备，请大家讨论生乙：他的证法有问题，因为作cdab 时垂足 d 不一定落在 ab 上若落在 ab 的延长线上时， cad+db ，而 c=ad-db 师：学生乙的问题提得好，我们如果把学生乙所说的情况补充上是否就完备了呢？生丙：还不够因为

19、作cdab 时，垂足 d 还可以落在 b 处师：其实垂足 d 有五种落法，如落在ab 上；ab 的延长线上； ba 的延长线上； a 点或 b 点处我们要分这么多种情况证明未免有些太麻烦了请大家借用余弦定理证明所以c=acosb+bcosa 师：这种证法显然简单， 它避开了分类讨论 你们知道为什么这种证法不用分类讨论吗？生：因为余弦定理本身适用于各种三角形例 2 三角形 abc 中，ab=2，ac=3，bc=4 ，求 abc 的面积学习好资料欢迎下载师：我们通常求三角形的面积要用公式这个题目，我们应该如何下手呢？生：可以用余弦定理由三边求出一个内角的余弦值，再用同角公式导出这个角的正弦后，最后

20、代入三角形面积公式解因为 a=4，b=3，c=2，所以由 sin2a+cos2a=1，且 a 为abc 内角，得例 3 在三角形 abc 中，若 cb=7，ac=8，ab=9 ，求 ab 边的中线长请同学们先设计解题方案生甲： 我想在 abc 中， 已知三边的长可求出cosb 在bcd 中， 由 bc=7，bd=4.5 及 cosb 的值，再用一次余弦定理便可求出cd学习好资料欢迎下载师：这个方案很好请同学很快计算出结果解设 d 为 ab 中点，连 cd在acb 中，由 ac=8，bc=7 ，ab=9，得生乙：我们在初中碰到中线时， 经常延长中线，所以我想延长中线cd 到 e，使 de=cd，

21、想在 bce 中解决已知 bc=7，be=ac=8 ，若再知道 coscbe，便可解决，但我不知怎样求coscbe师：这个问题提得很有价值，请大家一起帮助学生乙解决这个难点（学生开始议论）生丙：连接 ae，由于 ad=db ，cd=de ，所以四边形 acbe 为平行四边形，可得 acbe，cbe 与acb 互补我能利用余弦定理求出cosbca，再利用互补关系解出coscbe学习好资料欢迎下载师：大家看看他讲得好不好请大家用第二套方案解题解延长 cd 至 e，使 de=cd因为 cd=de，ad=db ，所以四边形 acbe 是平行四边形所以be=ac=8 ，acb+cbe=180 在acb

22、中，cb=7 ，ac=8，ab=9 ，由余弦定理可得在cbe 中，这两种解法都是两次用到余弦定理，可见掌握余弦定理是十分必要的七、总结学习好资料欢迎下载本节课我们研究了三角形的一种边角关系，即余弦定理，它的证明我们可以用解析法 它的形式有两种， 一种是用两边及夹角的余弦表示第三边，另一种是三边表示角余弦定理适用于各种三角形，当一个三角形的一个内角为90时，余弦定理就自然化为勾股定理或锐角三角函数余弦定理的作用如同它的两种形式，一是已知两边及夹角解决第三边问题；另一个是已知三边解决三内角问题注意在（0，）范围内余弦值和角的一一对应性若 cosa0则 a 为锐角；若 cosa=0 ，则 a 为直角

23、；若 cosa0，则a 为钝角另外本节课我们所涉及的内容有两处用到分类讨论的思想方法请大家解决问题时要考虑全面 如果能回避分类讨论的， 应尽可能回避， 如用解析法证明余弦定理、用余弦定理证明例1 等等八、作业5已知 abc 中，acosb=bcosa ，请判断三角形的形状课堂教学设计说明1余弦定理是解三角形的重要依据，要给予足够重视本内容安排两节课适宜第一节，余弦定理的引出、证明和简单应用；第二节复习定理内容，加强定理的应用2当已知两边及一边对角需要求第三边时，可利用方程的思想，引出含第三边为未知量的方程，间接利用余弦定理解决问题，此时应注意解的不唯一性学习好资料欢迎下载几何画板：验证余弦定理

24、第 1 步，启动几何画板， 单击工具箱上的 “直尺” 工具，在操作区作出任意三角形abc。单击工具箱上的“选择箭头”工具，选中三角形的三条边，依次单击“度量”“长度”菜单命令，度量3 条边的长度值，度量值显示在操作区里第 2 步，单击操作区空白处，释放所选对象，然后依次选中点a、点 b 和点 c，依次单击“度量”“角度”菜单命令，角abc 的度量值出现在操作区。同样方法，度量角bca 和角 cab 的角度。然后同时选中3 组角度度量值，按住鼠标左键不放，当光标变成一个黑色箭头时，拖动光标，使3 组数据移动到合适位置，第 3 步，单击操作区空白处，释放所选对象，然后依次选中线段ab 的度量值，依

25、次单击“度量”“计算”菜单命令，弹出对话框，单击“数值”列表中的mab 、计算器上的平方号“” ，然后选择数字“2” ，单击“确定”按钮，在操作区得到线段ab 的平方值，拖动到适当位置。第 4 步，选中操作区中显示的线段ac 的度量值、线段bc 的度量值和角bca 的度量值，依次单击“度量”“计算”菜单命令，弹出对话框，按照上述方法照图95 所示的式子计算，然后单击“确定”按钮，在操作区中出现计算值，如图97 所示。第 5 步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，同时选中两个度量值，然后单击“图表”“制表”菜单命令，在操作区绘制出表格。第 6 步，拖动三角形的任意一个顶点，可看到操作区中的数值变化

26、，可是表格中的数值始终相等。 选中表格， 双击表格， 在表格中添加一行纪录，如图98 所示。 依次单击 “文件”“保存”菜单命令，保存文件。正、余弦定理的应用一、解三角形例 1 abc 中， a=2,b=22,c=15o ,解此三角形 .解（分别从正弦、余弦定理出发）例2abc 中，cbacba333=c2 ,a cosb=b cosa, 判断三角形的形状。解（如何选正弦、余弦定理解题）例 3 abc 中， sina=2sinb cosc , acbcba=ab3判断三角形的形状。解（根据条件运用正弦、余弦定理解题）二、距离与高度的测量例 1 在离海岸不远处的海面上有两个航标p, q ，现要测量他们之间的距离，在岸边取两点a, b 测 得 ： ab=50m, pab=105o, qab=30o , pba=45oqba=135o 学习好资料欢迎下载例 2 海中有岛a，已知 a 岛四周 8 海里内有暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见岛在北偏东 750，行 202海里后见此岛在北偏东300，如货轮不改变航行方向继续前进，有无触礁的危险？例3在 200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为300和 600，求塔高。例4甲、乙两楼相距20 米 ，从乙楼底望甲楼