高中数学常考题型三角函数(教师版)

1、学习好资料欢迎下载高中数学常考题型 - 三角函数题型 1、判断角的终边所在的象限【1】若 是第二象限角，试分别确定2 ，2，3的终边所在位置解： 因为 是第二象限角，所以90 k360 180 k360( kz)(1) 因为 180 2k360 2 360 2k360( k z) ，故 2的终边在第三或第四象限或y 轴的负半轴上(2)因为 45 k180290k180( kz) ，当 k2n( nz) 时， 45 n360290 n360，当 k2n1(n z) 时， 225 n3602 270 n360，所以2的终边在第一或第三象限(3) 因为 30 k1203 60k120 ( kz) ，

2、当 k3n( nz) 时， 30 n360360 n360，当 k3n1(n z) 时， 150 n3603 180 n360，当 k3n2(n z) 时， 270 n3603300 n360， 所以3的终边在第一或第二或第四象限【2】若 sin cos 0，则角 是 ( ) a第一或第二象限角b第二或第三象限角c第三或第四象限角d第二或第四象限角解： 因为 sin cos 0，cos 0或sin 0.所以角 是第二或第四象限角故选 d.题型 2、扇形的弧长、周长、面积【3】如图所示，已知扇形aob 的圆心角 aob120，半径r6，求：(1)ab的长； (2) 弓形 acb 的面积解： (1

3、) 因为 aob12023，r6，所以2364 .(2) s弓形acbs扇形oabsoab12r12r2sinaob124 612623212 93. 【4】若一扇形的周长为60cm，那么当它的半径和圆心角各为_cm 和_rad 时，扇形的面积最大解： 设该扇形的半径为r，圆心角为 ，弧长为l ，面积为 s，则 l 2r60，所以 l 602r.所以 s12l r12(60 2r) r r230r (r 15)2225.学习好资料欢迎下载所以当 r15 时， s最大，最大值为225cm2. 此时， lr30152rad.题型 3、利用三角函数线解不等式【5】求证：当 0，2时， sin tan

4、 . 证明： 如图所示，设角的终边与单位圆相交于点p，单位圆与x 轴正半轴的交点为a，过点 a 作圆的切线交 op 的延长线于t，过 p 作 pmoa 于 m，连接 ap，则在 rtpom 中， sin mp，在 rtaot 中，tan at，又根据弧度制的定义，有 ap op ，易知 spoas扇形poasaot，即12oa mp12apoa12oaat，即 sin 0，又 cos 35，所以 sin 1cos2 135245， tan sincos43. 解： (1) sin 13， 且 是第二象限角， 所以 cos 1sin2 1132223. 所以 tan sincos24.(2) 因

5、为 sin 13，所以 是第一或第二象限角当是第一象限角时，cos 1sin2 1132223，所以 tan sincos24；当 是第二象限角时，tan 24.学习好资料欢迎下载题型 6、利用诱导公式求三角函数值【11】化简sin（2 ） cos（ ） cos()2 cos()112cos（ ） sin（ 3 ） sin（ ）sin()92 . 解： 原式（ sin ）（ cos ）（ sin ）（ sin ）（ cos ）sin sin cos tan . 题型 7、配角法求三角函数值【12】已知 是第四象限角，且sin 435，则 tan 4_. 解： 由题意知， 4是第一象限角，得co

6、s 445，根据同角三角函数关系式可得tan 434. 所以 tan 4tan 421tan 443. 故填43.【13】已知 tan633，则 tan56 _. 解： 因为656 ，所以 tan56 tan 56 tan633. 故填33. 【14】已知 tan 2，tan( ) 17，则 tan的值为 _解： tan tan( ) tan（ ） tan1tan（ ）tan1721273. 故填 3.【15】设 为锐角，若cos 645，则 sin 2 12的值为 _解： cos 645，为锐角，则 6为锐角， sin 635，由二倍角公式得sin2 62425，cos2 6725，所以 s

7、in2 12sin 2 64sin2 6cos4cos2 6sin42425227252217250. 故填17250.【16】已知 tan( ) 1，tan( ) 12，则sin2sin2的值为 ( ) 解：sin2sin2sin （ ）（ ） sin （ ）（ ） sin（ ）cos（ ） cos（ ）sin（ ）sin（ ）cos（ ） cos（ ）sin（ ）tan（ ） tan（ ）tan（ ） tan（ ）13. 【17】已知 cos 13，cos( ) 13，且 ， 0，2，则 cos( ) 的值等于 ( ) 学习好资料欢迎下载解： 因为 0，2， 2 (0 ， ) ，cos 1

8、3，所以cos2 2cos2 179，sin2 1cos22 429.而 ， 0，2，所以 (0 ， ) ，所以sin( ) 1 cos2（ ）223. 所以 cos( ) cos2 ( ) cos2 cos( ) sin2 sin( ) 79 134292232327.题型 8、关于sin ，cos的齐次式问题【18】已知tantan 1 1，求下列各式的值(1)sin 3cossin cos；(2) sin2 sin cos 2. 解： 由已知得 tan 12.(1)sin 3cossin costan 3tan 153.(2) sin2 sin cos 2sin2 sin cossin2

9、 cos22tan2 tantan2 121221212212135.题型 9、求三角函数的值域【19】函数 y 3sin2x4cosx4，x3，23的值域是 _解： 原式 3cos2x4cosx13 cosx23213，因为 x3，23，所以 cosx 12，12. 所以当 cosx12，即 x23时， y 有最大值154；当 cosx12，即 x3时， y 有最小值14. 所以值域为14，154. 故填 14，154.【20】已知函数f( x) 2cos 2x4，求函数f( x) 在区间2，0 上的最大值和最小值解： 因为2x0，所以34 2x44，所以当 2x434 ，即 x2时， f(

10、 x) 有最小值， f( x)min 1；当 2x40，即 x8时，f( x) 有最大值， f( x)max2，即 f( x) 在2， 0上的最小值为1，最大值为2. 【21】求函数 ysinxcosxsinxcosx 的值域设 tsinxcosx，则 t212sinxcosx，sinxcosx1t22，且2t2.所以 yt22t1212( t1)21. 当 t1 时， ymax1；当 t2时， ymin122.所以函数ysinxcosxsinxcosx 的值域为122，1 . 三角函数值域的求法学习好资料欢迎下载求三角函数的值域常见的有以下几种类型：(1) 形如 yasinxbcosx c

11、的三角函数化为yasin( x ) k 的形式，再求值域；(2) 形如 yasin2xbsinxc 的三角函数，可先设sinxt，化为关于t 的二次函数求值域；(3) 形如 yasinxcosxb( sinxcosx) c 的三角函数， 可先设 tsinxcosx，化为关于t 的二次函数求值域题型 10、三角函数的定义域【22】函数 ylg( sinxcosx) 的定义域是 _ 解： 要使函数有意义，必须使sinx cosx0.解法一： 利用图象在同一坐标系中画出0 ，2 上 ysinx 和 ycosx 的图象，如图所示：在0 ，2 内，满足 sinxcosx 的 x 为4，54，在4，54内

12、 sinxcosx，再结合正弦、余弦函数的周期是2 ，所以定义域为 x42k x542k ，kz解法二： 利用三角函数线如图， mn 为正弦线， om 为余弦线，要使 sinxcosx，只须4x54( 在0 ，2 内) 所以定义域为x|42k x54 2k ，kz解法三： sinxcosx2sin x40，由正弦函数ysinx 的图象和性质可知2k x4 2k ，解得2k 4 x54 2k ，kz. 所以定义域为x42k x54 2k ，kz.故填x|42k x542k ，kz. 题型 11、三角函数的周期【23】在函数 ycos|2x|， y|cosx|， ycos2x6， ytan2x4中

13、，最小正周期为 的所有函数为 ( ) abcd解： 可分别求出各个函数的最小正周期ycos|2x| cos2x，t22 ；由图象知，函数的最小正周期t ；学习好资料欢迎下载t22 ；t2.综上知，最小正周期为的所有函数为. 故选 c.【24】函数 f( x) (3sinx cosx)(3cosxsinx) 的最小正周期是( ) a.2b c.32d2解： f(x) 2sin x62cos x6 2sin 2x3，故最小正周期t22 . 故选 b.题型 12、三角函数的奇偶性【25】已知函数f( x) 2sin x 3 2，2是偶函数，则 的值为 ( ) a0 b.6c.4d.3解：因为函数f(

14、 x) 为偶函数， 所以 3k 2( kz) 又因为 2，2，所以 32，解得 6，经检验符合题意故选 b.题型 13、三角函数的单调性【26】求函数 ysin32x的单调递减区间；【27】求 y3tan6x4的最小正周期及单调区间解： (1) ysin3 2x sin2x3，故由 2k 22x32k 2，解得 k 12xk 512 ( kz) 所以函数的单调递减区间为k 12，k 512( kz) (2) y 3tan6x4 3tanx46， t| |14 4 . 由 k 2x46k 2，解得4k 43x4k 83 ( kz) 所以函数的单调递减区间为4k 43 ，4k 83( kz) 题型

15、 14、三角函数的对称性【28】函数 y2sin2x41 的图象的一个对称中心的坐标是( ) 学习好资料欢迎下载a.38， 0b.38，1c.8，1d.8， 1解： 对称中心的横坐标满足2x4k ，解得 x8k2，k z. 当 k1 时， x38，y 1. 故选 b.题型 15、求三角函数的解析式【29】函数 yasin( x )的部分图象如图所示，则( ) ay2sin2x6by2sin2x3cy2sin x6d y2sin x3解： 由图可知， t236 ，所以 2，由五点作图法结合各选项可知23 2，所以 6，所以函数的解析式为y2sin2x6. 故选 a.点拨：已知 f( x) asi

16、n( x )( a0， 0) 的部分图象求其解析式，常用如下两种方法：(1) 升降零点法，由 2t，即可求出 ；求 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升( 或下降 ) 的“零点”横坐标x0，则令 x0 0( 或 x0 ) ，即可求出 ；(2) 代入最值法，将最值点( 最高点、最低点) 坐标代入解析式，再结合图形解出和 . 根据 y asin( x ) ，xr 的图象求解析式的步骤：(1) 首先确定振幅和周期，从而得到a 与 . ( )a 为离开平衡位置的最大距离，即最大值与最小值的差的一半( )由周期得到：函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期；

17、函数图象与x 轴的交点是其对称中心，相邻两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；一条对称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的14个周期 ( 借助图象很好理解记忆) (2) 求 的值时最好选用最值点求峰点： x 22k ；谷点： x 22k . 也可用零点求，但要区分该零点是升零点，还是降零点升零点 ( 图象上升时与x 轴的交点 ) ： x 2k ；降零点 ( 图象下降时与x 轴的交点 ) ： x 2k ( 以上 kz) 题型 16、三角函数的图像变换【30】说明由函数ysinx 的图象经过怎样的变换就能得到下列函数的图象学习好资料欢迎下载(1) ysin x3；(2) ysin 2x23；

18、 (3)y|sinx ；(4) ysin| |x . 解： (1) 将 ysinx 的图象向左平移3个单位长度，得到ysin x3的图象(2) 解法一： 将 ysinx 的图象向右平移23个单位长度， 得到 ysin x23的图象， 再把 y sin x23图象上所有点的横坐标缩短到原来的12( 纵坐标不变 ) ，就得到ysin 2x23的图象解法二：先把ysinx 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12( 纵坐标不变 ) ，得到 y sin2x 的图象，再将 ysin2x 的图象向右平移3个单位长度，就得到ysin 2x23的图象(3) 将 ysinx 的图象的x 轴下方部分翻折到x 轴上方

19、，去掉x 轴下方图象，即可得到y|sinx 的图象(4) 先去掉 y 轴左边的ysinx 的图象，再将y 轴右边的图象翻折到y 轴左边，保留y 轴右边的图象，即可得到 ysin| |x 的图象题型 17、三角函数的图像【31】函数 f( x) sin(2 x ) acos(2 x ) ，其中 a 为正常数且0 0，得 a3.于是 f( x) sin(2 x )3cos(2x ) 2sin2x3.又 f( x) 的图象关于直线x6对称，所以当x6时， f( x) 取得最值，即26 3k 2，得 k 223k 6( kz) 又 0 ，所以 56.(2) 由(1) 可知 f( x) 2sin 2x7

20、6，所以函数f( x) 的振幅为2，周期 t22 ，初相为76.题型 18、辅助角公式辅助角公式asin bcos a2b2sin( )( 由 tan ba确定 ) 的应用是高考的热点，应予以重视【32】已知函数y3sinx2cosx2( xr) 求它的振幅、周期及初相；解： (1) y3sinx2 cosx2232sinx212cosx22sinx26. 根据解析式，振幅 a2，周期 t 4 ，初相 6.学习好资料欢迎下载题型 19、三角恒等变换求三角函数值【33】求值： (1) sin18 cos36； (2)2cos10 sin20cos20. 解： (1) 原式2sin18cos18c

21、os362cos182sin36cos364cos18sin724cos1814.(2) 原式2cos（30 20） sin20cos202cos30cos20 2sin30sin20 sin20cos202cos30cos20cos203. （3）sin20cos10 cos160sin10 ( ) a32b.32c12d.12解： 原式 sin20cos10 cos20sin10 sin3012. 故选 d.题型 20、正弦定理【34】在 abc 中，内角 a，b，c 所对的边分别是a，b，c. 若 3a2b，则2sin2bsin2asin2a的值为 ( ) a19b.13c1 d.72解

22、： 由正弦定理得2sin2b sin2asin2a2sin2bsin2a12ba212322172. 故选 d.题型 21、余弦定理【35】在 abc 中， a 1，b2，cosc14，则 sina _. 解：由余弦定理得c2 a2b2 2abcosc1 4212144，即 c2，cosab2c2a22bc44122278，所以 sina158. 故填158.在 abc 中， b4，bc 边上的高等于13bc，则 cosa ( ) a.31010b.1010c1010d31010解： 由题意可得13acsin422c，则 a322c. 在abc 中，由余弦定理可得b2a2c22ac92c2c2

23、3c252c2，则 b102c. 由余弦定理，可得cosab2c2a22bc52c2c292c22102cc1010. 故选 c.学习好资料欢迎下载题型 22、解三角形中的面积问题【36】在 abc 中， a， b，c 分别是角a，b，c 的对边，且cosbcoscb2ac. (1) 求 b 的大小； (2) 若 b13，ac 4，求 abc 的面积解： (1) 由余弦定理知，cosba2c2b22ac，cosca2b2c22ab，将上式代入cosbcoscb2ac得a2c2b22ac2aba2b2c2b2ac，整理得a2c2b2 ac. 所以 cosba2c2b22acac2ac12.因为

24、b 为三角形的内角，所以b23 .(2) 将 b13，ac4，b23 代入 b2a2c22accosb，得 13422ac2accos23 ，解得 ac3. 所以 sabc12acsinb334. 【37】 abc 的内角 a，b，c 的对边分别为a，b，c，已知 abcosccsinb. (1) 求 b；(2) 若 b2，求 abc 面积的最大值解： (1) 由已知及正弦定理得sinasinbcosc sincsinb. 因为 a ( bc) ，所以 sinasin( bc) sinbcosccosbsinc. 由 ，和 c(0 ， ) 得 sinbcosb. 又 b(0 ， ) ，所以 b

25、4.(2) abc 的面积 s12acsinb24ac. 由已知及余弦定理得b2a2c22accosb，即 4a2 c22accos4，又 a2c22ac，所以 ac422，当且仅当ac 时，等号成立因此 abc 面积的最大值为21.题型 23、判断三角形的形状【38】在三角形abc 中，若 tanatanba2b2，试判断三角形abc 的形状解法一： 由正弦定理，得a2b2sin2asin2b，所以tanatanbsin2asin2b，所以sinacosbcosasinbsin2asin2b，即 sin2asin2b.所以 2a2b，或 2a 2b ，因此 ab 或 ab2，从而 abc 是

26、等腰三角形或直角三角形解法二： 由正弦定理，得a2b2sin2asin2b，所以tanatanbsin2asin2b，所以cosbcosasinasinb，再由正、余弦定理，得a2c2b22acb2c2a22bcab，化简得 ( a2b2)( c2a2b2) 0，即 a2b2或 c2a2b2. 从而 abc 是等腰三角形或直角三角形【39】在 abc 中，内角 a，b，c 对边的边长分别为a，b，c，a 为锐角， lgblg1c lgsina lg2，则 abc 为( ) a锐角三角形b等边三角形c钝角三角形d等腰直角三角形解： 由 lgblg1clgbc lg2 lg22，得bc22，即 c2b.学习好资料欢