同余式基本性质的推广及其在教学中的探讨

1、    同余式基本性质的推广及其在教学中的探讨    古丽沙旦木·玉奴斯 吾甫尔·卡德尔摘           要  给出同余式的一个简单的性质及其证明.我们知道，如果ab（modm），则有anbn（modm），这里nn.也就是说，同余式的两边同时可乘n次方幂.给出ab（modm）的两边可乘不同方幂的有关结论.关    键   词  同余式;整除;正因数;n次方幂  g642    &#

2、160;         文獻标志码  a              2096-0603（2020）10-0096-02初等数论是研究整数最基本的性质，是一门十分重要的数学基础课。整除理论是初等数论的基础，它是在带余数除法的基础上建立起来的.数学上，若两个整数除以同一个整数后得相同的余数，则称这两个整数为同余.同余理论是初等数论的核心，它是数论所特有的思想、概念与方法.最先引用同余的概念与符号者为德国数学家高斯.同余理论是研究整数问题的重要工具之一，利用同余来论证某些整除性的

3、问题是很简单的.一、基本性质在文献中给出同余的许多性质.若ab（modm），则有anbn（modm），这里nn.这就是说，同余式的两边同时可乘n次方幂.本文给出ab（modm）的两边可乘不同方幂的有关结论.定义12：设a，bz，mn，如果m|a-b，则称a和b对m模同余，记作ab（modm）.根据定义下面四个命题是等价的：1.ab（modm），即a和b对m模同余;2.m|a-b，即a和b的差被m整除;3.用m除a和b的余数相同;4.a=mk+b，kz或b=ml+alz.同余式有很多性质，下面是其中几个：性质1 若ab（modm），cd（modm），则（1）a±cb±d（mo

4、dm）;（2）acbd（modm）.性质2 若ab（modm），则anbn（modm），其中nn.这就是说，同余式ab（modm）的两边同时可乘n次方幂.性质3 若acbc（modm），（c，m）=1，则ab（modm）.性质4 若acbc（modm），（c，m）=d，则ab（mod）.性质5 若ab（modm），t是m的一个正因数，则ab（modt）.性质6 若ab（modm），且c>0，则acbc（modmc）.二、主要结果下面给出同余式ab（modm）的两边可乘不同方幂的有关结论及其证明.定理1 若ab（modm），cd（modm），at1（modm），其中t是m的一个正因数，c，

5、dn，则acbd（modm）.证明：由cd（modm）得c=mk+d，kz.另一方面，由at1（modm）得am1（modm），从而acamk+d（am）kadad（modm），又因为ab（modm），有adbd（modm），故acbd（modm）.  证毕.例1：设175（mod12），20204（mod12），1721（mod12），？圯172020（172）10101（mod12），且541（mod12），故17202054（mod12）.推论1 若ab（modm），cd（modm），am1（modm），其中c，dn，则acbd（modm）.证明：由cd（modm）得c=mk+

6、d，kz.从而有acamk+d（am）kadad（modm），又因为ab（modm），有adbd（modm），故acbd（modm）.    证毕.例2：设523（mod6），20204（mod6），561（mod6），？圯52020（56）3365454（mod6），且54234（mod6），故52020234（mod6）.推论2 若ab（modm），cd（mods），as1（mods），其中s是m的正因数，c，dn，则acbd（mods）.证明：由cd（mods）得c=sk+d，kz.从而有acask+d（as）kadad（mods），又因为ab（modm）？圯ab（m

7、ods），有adbd（mods），故acbd（mods）.    证毕.例3：设517（mod12），20204（mod6），561（mod6），？圯52020（56）3365454（mod6），且517（mod12）？圯517（mod6），？圯54174（mod6），故52020174（mod6）.上面给出同余式的两边可乘不同方幂的有关结论.另外，在文献34中结合实例探究了同余性质在检验和判断整除问题、求余数、解同余方程、求m进制中的某位数等方面的具体应用.在教学过程中，讲同余式的性质时适当地解释这些推广和应用不但可以激发学生的积极性，提高学生的发散思维能力，还可以帮助学生拓宽解题思路，培养学生分析和运用方法的能力.参考文献：1潘承洞.初等数论m.北京：北京大