浅谈数学全国1卷选修4-4试题分析

1、选修4-4 极坐标与参数方程试题分析 考试要求：1坐标系： 理解坐标系的作用. 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.2 参数方程： 了解参数方程，了解参数的意义. 能选择适

2、当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程. 了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.二、2013-2017年全国高考试题分析题号2013201420152016201723参数方程（10分）参数方程、普通方程、极坐标方程的相互转化参数方程（10分）直线参数方程化为普通方程椭圆的标准方程化为参数方程动直线与椭圆相交求弦长最值参数方程（10分）直线与圆直角方程化为极坐标方程直线极坐标方程化为直角方程直线与圆相交求三角形面积参数方程（10分）圆的参数方程转化为极坐标方程直线的极坐标方程转化为普通方程

3、圆与圆相交求公共直线参数方程（10分）直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程利用椭圆的参数方程，点到直线的距离公式，表示距离1.（2017全国i卷23题）（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）（i）若，求与的交点坐标；（ii）若上的点到距离的最大值为，求【考点】参数方程化为直角坐标方程，利用椭圆的参数方程，由点到直线距离公式求参数【解析】解：1.时，直线的方程为曲线的标准方程是，联立方程，解得：或，则与交点坐标是和（2）直线一般式方程是设曲线上点则到距离，其中依题意得：，解得或2.（2016全国i卷23题）（本小题满分

4、10分）选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，曲线c1的参数方程为x=acost，y=1+asint，（t为参数，a0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线c2：=4cos .（i）说明c1是哪种曲线，并将c1的方程化为极坐标方程；（ii）直线c3的极坐标方程为=0，其中0满足tan 0=2，若曲线c1与c2的公共点都在c3上，求a.【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程的概念【解析】解：（）由，得，两式平方相加得，x2+（y1）2=a2c1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆化为一般式：x2+y22y+1a2=0由x2+y2=2，y=sin，得22sin+1a2

5、=0；（）c2：=4cos，两边同时乘得2=4cos，x2+y2=4x，即（x2）2+y2=4由c3：=0，其中0满足tan0=2，得y=2x，曲线c1与c2的公共点都在c3上，y=2x为圆c1与c2的公共弦所在直线方程，得：4x2y+1a2=0，即为c3，1a2=0，a=1（a0）3.（2015全国i卷23题）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线:=2，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（i） 求，的极坐标方程；（ii） 若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积 【考点】直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系【解析】（）因为

6、，的极坐标方程为，的极坐标方程为.5分 （）将代入，得，解得=，=，|mn|=，因为的半径为1，则的面积=.4.（2014全国i卷23题）（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程已知曲线：，直线：（为参数）.()写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.【考点】直线、椭圆的普通方程与参数方程互化； 参数方程的应用【解析】 () 曲线c的参数方程为： （为参数）， 直线l的普通方程为： 5分 （）（2）在曲线c上任意取一点p (2cos,3sin)到l的距离为，则+-，其中为锐角且.当时，取得最大值，最大值为；当时，取得最小值，最小

7、值为. 10分5.（2013全国i卷23题）（本小题10分）选修44：坐标系与参数方程 已知曲线c1的参数方程为(为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程为。（）把c1的参数方程化为极坐标方程；（）求c1与c2交点的极坐标（0,02）。【考点】参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化及两曲线交点求法、极坐标与直角坐标互化【解析】将消去参数，化为普通方程，即：，将代入得，的极坐标方程为；（）的普通方程为，由解得或，与的交点的极坐标分别为（），.三、 考点分析1.坐标系与参数方程部分的试题在全国卷的试题中，以选做题的形式出现，其难度相对稳定，也是学

8、生愿意选择的题目。综观近几年来的高考题可以发现，其基本以直线、圆和椭圆为载体，借助数形结合和转化的思想，运用极坐标与参数方程的方法解决问题，本质不变，但形式多样，都遵循了课程标准所要建构的解析几何课程体系，即以坐标法为核心，依据“直线与方程-圆与方程-圆锥曲线与方程-坐标系与参数方程”为顺序，螺旋上升、循序渐进地展开内容。把对参数方程和极坐标的内容考查作为解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化的主旨不变。2.以考查不同形式的方程之间的互化为主，对坐标系与参数方程的考查，近几年考查了不同形式的方程之间的互化，大部分是单向转化，2013年全国卷第23题第（1）题是由参数方程转

9、化极坐标方程，2014年全国卷第23题第（1）题是普通方程与参数方程的互化，2015年全国卷第23题第（1）题是直角坐标方程转化极坐标方程，2016年全国卷第23题第（1）题是参数方程化为极坐标方程，很多情况第(1)小题的互化是为第(2)题的应用做准备的，所以互化是坐标系与参数方程考查的重点知识。3.通过考查与研究曲线的几何性质，突出坐标系与方程的思想，大部分坐标系与参数方程试题会考查位置关系、交点坐标和弦长等几何量选择不同的方程或坐标系会得到不同的解法。例如2015年第23题第（2）小题，在极坐标系中，先求出，再利用公式,求,这比转化到直角坐标进行求解更容易。2016年第23题第（2）小题，

10、求过两圆的公共点的直线方程，将两圆的参数方程和极坐标方程转化普通方程，然后直接相减即所求直线方程，相对比较简单，所以正确选择坐标系或方程，可是解题更加方便快捷。4.通过对最值问题的考查，体现参数方程的优点，2014年第23题第（2）小题运用椭圆的参数方程求最值问题，把求最值问题隐含在一个直角三角形中，需要学生自己去发现和转化，之后就会变为点到直线距离的最值问题。2017年第23题第（2）小题是点到直线距离的最大值，共同特点是通过椭圆参数方程，把问题转化为三角函数的最值问题。5.总之，近几年的数学高考题重点考查直线和圆的极坐标，以及极坐标与直角坐标的互化；参数方程侧重考查直线，圆及椭圆参数方程与

11、普通方程的互化；用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题、交点问题和位置关系的判定。四、应试策略（1）该高考题在新课标大纲要求下，整体难度不大。学生复习时对试题难度的把握一定要恰当，不宜深挖，力求基础扎实，复习时紧扣大纲要求，不做偏题难题。抓好基础概念、定理、公式等基础知识的复习，掌握根据所给曲线的参数方程、极坐标方程化为普通方程和直角坐标方程，从而判断曲线类型的方法。（2）渗透坐标系思想，优化解题过程，关于坐标系与参数方程的试题，大部分试题是考查直线与圆的位置关系 、交点和弦长等几何量。在不同的坐标系下，解题的思路与过程都存在着区别，大多数学生在解决此类问题时，总是习惯先将其转化成直角坐标方

12、程，在研究其位置关系与几何量后 ，再返回到极坐标系中，这样做费时费力，且有时会带来烦琐的计算所以我们在教学中应该让学生在不同的坐标系下，解决同一个问题，让学生自己体会选择坐标系的重要性，进而引导他们合理选择坐标系，对直线与圆的几何关系进行研究，渗透坐标系思想，优化解题过程。尽量引导学 生在极坐标系中，应用相关知识直接解决问题。（3）训练学生的互化能力，提高考试成绩在不同的坐标系或不同的方程之间相互转化 ，是研究坐标系与参数方程的基础。这在新课程全 国卷试题中，往往出现在第(1)小题中，虽然难度比较低，但分值并不小，而且为研究第(2)题做了铺垫，所以在教学中，要进行针对性的训练 ，要求学生熟练掌握，确保万无一失。（4）关