常见分布的期望和方差

1、常见分布的期望和方差分布类型概率密度函数期望方差01分布B (1, P)P职二项分布B (n, p)A = PX = i = C加 (g = 1 - p), (i=L 2,., n)np“q泊松分布P(X)pt = PX =z =彳 /(： = 0,1,2,3.)XAK均匀分布U(a)/(x)二 J-或/Xx)二等b_aDa + b2(b-a)212正态分布N ()呼f (x) = .e 2<y"(-oc <x<+oc,<7>0)<2710a2指数分布E(X)严,x>0 /(x) = SlO,x<O1I1尹才分布，z2(«)益

2、s X：湘互独立，且都服从标准正态分布N(M)n2nr分布t(n)VX-N(O,1)心0七心)n 2概率与数理统计重点摘要X1、 正态分布的计算：F(x) P(X x) ()。2、 随机变量函数的概率密度：X是服从某种分布的随机变量，求Y f(X)的概率密度：fY(y) fX(x)h(y) h'(y)。(参见P6672)x y3、分布函数F(x, y)f(u,v)dudv具有以下根本性质：、是变量x, y的非降函数；、0 F(x, y) 1，对于任意固定的 x, y有：F( , y) F(x, )0 ;、F(x, y)关于x右连续，关于y右连续；、对于任意的(xi, yd(X2, y2

3、),Xi X2,yi月2，有下述不等式成立：Fgy) F(Xi,y2)F(X2,yJF(xi, yi)0一一i4、一个重要的分布函数：F(x, y) (arcta n2)( arctan<)的概率密度为：f (x, y) F (x, y)3x y2 2 2(X 4)( y 9)5、二维随机变量的边缘分布:fx(X)f (x,y)dyfY(y)f (x, y)dxFx(x)XF(x,)f (u, y)dyduFy(¥)yF( ,y)f (x, v)dxdv边缘概率密度:边缘分布函数:二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。6、随机变量的独立性：假设 F(x, y) FX(x)FY(

4、y)那么称随机变量X, Y相互独立。简称 X与Y独立。7、两个独立随机变量之和的概率密度:fzfx(x)fY(z x)dxfY(y)fx(z y)dy 其中 Z = X + Y2 2 2 28、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即Z aX bY : N(a i b 2,a i b 29、期望的性质： ( 3)、E(X Y) E(X) E(Y) ; (4)、假设 X , Y 相互独立，那么 E(XY) E(X)E(Y) °2 210、方差：D(X) E(X ) (E(X)。假设 X，Y 不相关，那么 D(X Y) D(X) D(Y)，否那么 D(X Y)D(X) D(Y)

5、2Cov(X,Y)，D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y)11、协方差：Cov(X,Y) E(X E(X)(YE(Y)，假设 X, Y 独立，那么 Cov(X,Y) 0 ,此时称：X 与 Y 不相关。12、相关系数： XYCov(X,Y) Cov(X,Y)(X) (Y)、.D(X).D(Y)，XY1，当且仅当X与Y存在线性关系时XY1，且XY1,1,当 b>0;当 b<0°13、k阶原点矩：VkkE(X ) , k阶中心矩:k E(XkE(X) °14、切比雪夫不等式:P X E(X)D(X),或 PE(X)1 D(X)。贝努利大数定律:lim P

6、n 015、独立同分布序列的切比雪夫大数定律：因1 n1 n一Xi1 2，所以 lim P_XiIn i 1nn 0n i 116、独立同分布序列的中心极限定理:(1)、当n充分大时，独立同分布的随机变量之和Xii 1的分布近似于正态分布N(n,n2) °(2)、对于 X1,X2,.Xn 的平均值 X Xi ,n i 1有 E(X)，D(X)丄2 n i 1D(Xi)，即独立同分布的随机变量的均值当n充分大时，近似服从正态分布 N( )。n、由上可知：lim P a Zn bn17、棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理：设(b)(a) P a Zn b (b)(a)。m是n次独立重复试验中事

7、件 A发生的次数，p是事件A发生的概率，那么对任意 x,lim Pnm np,npq(x),其中 q 1 p。(1) 、当n充分大时，m近似服从正态分布，N(np npq)。(2) 、当n充分大时， 近似服从正态分布，N(p, pq)。nn18、 参数的矩估计和似然估计：(参见P200)19、正态总体参数的区间估计：所估参数条件估计函数置信区间u x需X, X U 丁 一 Un- 7 n未知t x需 sx t (n 1)寻 M t (n 1)卡 一7n一Vn未知2 (n 1)s2(n 1)s2(n 1)s2 2(n 1)'2 (n 1)1 22 21 2未知t (x y) ( 12)讥SwV n1 n22 2其中 2 m 1)s(n