云南师大附中2013届高考适应性月考卷(五)理科数学

1、云南师大附中2013届高考适应性月考卷（五）理科数学本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分.参考公式：锥体体积公式样本数据x1,x2 ,冷的标准差S 彳 1。1 -X）2 +（X2 F）2 卄 4（Xn _X）2 其中x为样本平均数柱体体积公式V = Sh其中S为底面面积，h为高1VSh3其中S为底面面积，h为高 球的表面积，体积公式243S =4二 R2，VR33其中R为球的半径第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的1 已知集合 A3.x|ax-1=0?, B 73,4?，且A B=A，则a

2、的所有可能值组成的集合是A .0, 1 , 1.，3,4113,4C.D .心2.设复数z -1-i（其中i为虚数单位），则z2A. 2iB. -10iC.10iD. - 6-2i3.设向量 a = sin -：»的模为二32贝U cos2> =C.一 3D .24.如图1,设D是图中所示的矩形区域,E是D内函数y二cosx的图像上方的点构成的区域，向 D中随机投一点，则该点落入 E （阴影部分）中 的概率为5 .在同一个坐标系中画出函数1ji兀-21C.D .-n2y = ax， y = sin ax的部分图像，其中a 0且a = 1，则下列所142464323.doc 第

3、1 页（共 15 页）142464323.doc 第 # 页（共 15 页）给图像中可能正确的是142464323.doc 第 # 页（共 15 页）6. 个几何体的三视图如图 2所示，其中俯视图是菱形， 则该几何体 的侧面积为A. ,2.5B. 3 16正视图A . 1B. 2C. 3D . 4二二 2&函数y二sinC（门且| |）在区间 ,上单调递减，且函数值从1减小216 3到一1，那么此函数图像与 y轴交点的纵坐标为42i亦4642.A .B. -C.D.-22249.设a、b、c、d R，若a,1,b成等比数列，且c,1,d成等差数列，则下列等式恒成立的是A . | a b

4、 2cdB . a b _2cdC .|a b 匸 2cdD . a b 空 2cd2 210 . P是双曲线= 1(a0,b0)上的点,F（、F2是其焦点，且PR PF2 = 0，若 F1PF2的面积是9, a b = 7 ,则双曲线的离心率为11.如图4,已知O、A、B是平面上三点，向量OA 二 a , OB =b .在平面AOB上, P是线段AB垂直平分线上任意一点,向量 OP 二 p，且 |a| 3 ,R|b| = 2，贝U P (a b)的值是1375A .B.C.D .-2 2 2 212.已知a 0且a=1, f(x)=x2-ax，当x(-1,1)时均有f(x)：1，则实数a的取

5、值范围2是A. 0,-9, ：B. -,11,2112，2丿'142464323.doc 第 3 页(共 15 页)142464323.doc 第 # 页(共 15 页)第H卷（非选择题共90 分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上.3x + y 兰 4,二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.114.若数列la* 满足a1，a2h a2 an = n2an(n N )，则数列ta*的前60项和为13在 ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且cosA二彳，则、2si n（A-；的值为x -0,I415.若不等式组 +34,所表示的平面区

6、域被直线 y =kx+分为面积相等的两部分， 则k的3值为.16.如图5，已知球O是棱长为1的正方体 ABCD - ABGD!的内切球,则以球心O为顶点，以球O被平面ACD1所截得的圆为底面的圆锥的体积为.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤.17.(本小题满分12分)已知等比数列laj满足a? =2，且2a3，a4=a5, an 0 .(1) 求数列fa. ?的通项公式；(2) 设bn = ( -1)n 3an - 2 n，数列b/f的前n项和为Tn，求Tn18. (本小题满分12分)在一次抢险救灾中，某救援队的 50名队员被分别分派到四个不同的区

7、域参加救援工作，其分布的情况如下表，从这50名队员中随机抽出 2人去完成一项特殊任务.区域ABCD人数2010515(1) 求这2人来自同一区域的概率；(2) 若这2人来自区域 A , D，并记来自区域 A队员中的人数为 ，求随机变量 的分布列及 数学期望.19. (本小题满分12分)在如图6所示的几何体中，平面ACE丄平面ABCD ,四边形ABCD为平行四边形，.ACB =90 , EF /(1)求证：AE丄平面BCEF ;(2)求二面角 A-BF -C的大小.20.(本小题满分12分)已知函数2f (x - In x , x ：= 1,3 I8BC , AC 二 BC 二 2EF , AC

8、 二 2AE 二,2EC .142464323.doc 第 4 页(共 15 页)142464323.doc 第 # 页(共 15 页)(1)求f(x)的最大值与最小值;(2)若f (x) ： 4 at对于任意的10,2 1恒成立，求实数a的取值范围.21. (本小题满分12分)已知椭圆2 2C : X7 -y2 = 1(a b 0)的离心率为 a b-，连接椭圆的四个2142464323.doc 第 # 页(共 15 页)142464323.doc 第 # 页(共 15 页)顶点得到的菱形的面积为2、2 .(1) 求椭圆C的方程；(2) 若过点(2,0)的直线I的与椭圆C交于A、 B两点，设

9、P为椭圆上一点，且满足OA - OB二tOP ( O为坐标原点)一 - . 5，当| PA - PB卜：时，求实数t的取值范围.3请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22. (本小题满分10分)【选修4 1:几何选讲】如图7所示，PA为、0的切线，A为切点，PBC是过点0的割线，PA = 10 ,PB=5 , BAC 的平分线与BC和、0分别交于点D和E .(1)求证:AB PAAC PC(2)求AD AE的值.23. (本小题满分10分)【选修4 4:坐标系与参数方程】E轴建立平面直角坐标系，直线I的参数方程为1X =1 t,2爲y

10、 = 2 t,2(t为参数).已知曲线C的极坐标方程是 J =1，以极点为原点，极轴为 x轴的正半(1)写出直线I的普通方程与曲线C的直角坐标方程;x * = 2x(2)设曲线 C经过伸缩变换得到曲线 C，设曲线 C上任一点为 M(x, y)，求IV = y,x - 2.3y的最小值.24. (本小题满分10分)【选修4 5:不等式选讲】设函数 f(x) =|x -1| - | x -1| .(1)若a = -1，解不等式f(x) 一3;(2)如果R , f(x)_2，求a的取值范围.142464323.doc 第 5 页(共 15 页)云南师大附中013届高考适应性月考卷（五）理科数学参考答

11、案题号123456789101112答案、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力、填空题.本题考查基础知识，基本概念和基本运算技巧13.14.15.16.三、解答题17.云南师大附中2013届高考适应性月考卷（五）理科数学参考答案第I卷（选择题，共60 分）题号123456789101112答案ACBCCDCBABDB、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60 分）【解析】1.由 A B=A 知 A B，而 B =3, 4,且 a =0 时，适合 A B=A，故选 A .2.3.2 2 2Z =1 -2 1 2i，则 z23z =(1 2i)23(1 2i) =10i，故选 C.

12、12132121sin，贝U sin， cos2=1 -2sin，故选 B.2 4424.JISb =崔，Se 一 -二cosxdx - 二 -2，故选 C.25. a 0且 a =1，当 T2-时，0：a：1，故选 C.a6. 该几何体是高为1，底面对角线长为 2的菱形构成的四棱锥,X殳2 1 2扌2.3 2 - -.6，故选 D.第一次循环有a -1, T -1, k=2，第次循环有a=0, T1，k=3，第三次循环有142464323.doc 第 6 页(共 15 页)a =0, T =1, k =4，第四次循环有a =1, T =2, k =5，第五次循环有 a =1, T =3, k

13、 =6 ,此时不满足条件，输出 T =3，故选C.1 .& T, T =二，=362T可得 =一，因此函数 y =sin 2x -6小Fa +b9. 1 =ab w6 /，此时心吨），又函数过点6'1，代入2，故a b2，又C心，故Cd仝:，令x = 0 ,可得y =丄.故选B.6 2i'c + d '21，即 2 > 2cd，故选 A. .210.设 PF1 =x , PF2 =y ,由题意得*xy =9 ,即xy =18，又 x2 y =4c，故(x - y)2 2xy =4c2,即a22 2C9 =c，于是 b =9，即 b=3，又 a，b=7，所以

14、 a=4, c =5 , e= a5-，选 B.411 .如图1,采用特殊化法，当点 P运动到线段 AB的中点M这一特殊位置时，有所以-I -1-11-1225p 心-b)二(a b) a -b) = §(a b ) =22 -2故选D.另解：设线段AB的中点为M ,1 _ 则 MP =OP -OM =p (a b),2-1 iP 寸 b),又 BA =a -b，且 MP _ BA ,所以2（a b厂a -b) =0 ,1 . 1 即 p<(a b) = (a +b)卑a b) = ( a2 221 x_112 .原命题：=xa，在x ( -1, 1)上恒成立，因为当 x (

15、-1, 1)时 w2 212X211_22，于是142464323.doc 第 7 页(共 15 页)1若a 1，则ax的最小值是/，故昇>2，即a<2，此时"a<2，至此可选答案为B;1 1事实上若0 :a ：1，则ax的最小值是a，故a > -，此时一 < a ：1.（也可作出2 2y =ax在x （ -1, 1 ）上的简图，易知当a1时，a> 1 ;当0 ： a ： 1时，a1 >丄2 2第U卷（非选择题，共90分）、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案1607715613108【解析】3 41=si

16、n A- cos A5 554 3f13.在 ABC 中，由 cosA =，得 si nA =，贝U 2 si n A-5 5214.由题意知Sn =n a.,当n > 2时,S1 1 =(n 1an 1，两式相减得an2 2=n a. _(n_1) anJ ,22即(n -1)a(n -1) anJ,故a4- -：a3又ai也满足上式，故ananJanean J1n(n 1)n -1n 11e-32&-4n2 n 1£ cn n 1 n(n 1)，所以数列an的前60项和为1601 -15.不等式组所表示的平面区域如图2阴影部分，易知44，所以直线“収3过点B，若$

17、"SA bda ,则点D为线段AC的中点，由x，3y=4,得“沁）,3x + y = 4,03工+尸4图261614（15 '4又C（o,4），所以D-,，代入直线ym3中,解得k = 7.316 .如图3, O为球心，也是正方体的中心，设球 O被平面ACD1所截得的圆的半径为r , AC中点为M，则r = D1M6，球36的半径r二丄，则O到平面ACD1的距离h二.R2 -r23，故2C图3圆锥的体积V3108三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）解: （ I）设等比数列an的首项为印，公比为q,则2qq3a1qa1q4,2

18、分)142464323.doc 第 8 页(共 15 页)142464323.doc 第 # 页(共 15 页)把代入整理得q2 -q -2 =0 ,6分)即 qnhqu2 , / a>0 , / q =2，代入得 a1, /. a. =2n°142464323.doc 第 # 页(共 15 页)(n) / bn =( -1)n3an 2n 1 =(1)n3 0， 2n 1 二；(2)n± 2n 1,9分)Tn = 31 2 4 8 川叫-2)nl3 5 7 讦卷2n 1,二1_(_2)打2n2 Tnn22n =(-2)nn22n -1.1 218.(本小题满分12分

19、)12 分)解：（I）记“这2人来自同一区域”为事件 E，那么p（e）=C20 C10 2C5 C15上C507所以这2人来自同一区域的概率是2 .74分)19.（n）随机变量P( =1)=可能取的值为0, 1,2，且P（ “CHegC；560119,P( =2)C；oC：5381198 分)012p3603817119119所以的分布列是:詢数学期望为吐吩片嚨*嚅疇（本小题满分12分）（I）证明：如图 4,t平面 ACE _平面ABCD ,平面 ACE 平面 ABCD二AC ,且 BC _AC , BC _ 平面 ACE ,3分)BC _ AE ,又 AC 二 2AE 二 2 EC , AE

20、 _ EC ,而 BC EC =C , AE _平面 BCEF.(6分)142464323.doc 第 10 页(共 15 页)所以cos12图58 分)(10 分)(n)解：方法一：建立如图5所示的空间直角坐标系,不妨设 AC =BC =2，贝y AE =EC = .2，由题意得A(0, 0,0) ,B(2,2,0) , C(2, 0, 0),F(1, -1,1) , AB=(2,-2,0) ,BC =(0, 2, 0),IBF ( 1, 1, 1), ,设平面BFC的法向量为 m =(x-i, y1, z1),由 mEC =0，且 mEF =0 ,得 m =(1, 0, 1),设平面 AB

21、F的法向量为n =(x2, y2, z2),由 n AB = 0，且 n BF =0 ,得 n =(1,1,0),142464323.doc-第 # 页(共 15 页)142464323.doc-第 # 页(共 15 页)面角ABF -C的大小为60 .方法二：如图 6,取AC的中点N，连接EN ,图6平面 ACE _ 平面 ABCD , AE =EC , 二 EN 平面 ABCD .取AB的中点H，连接FH , NH , 由题意可知四边形 EFHN是平行四边形,则 FH EN , FH _ 平面 ABCD ,平面 ABF 平面ABCD .连接 CH ,T AC =BC，贝U CH _AB ,

22、 CH _平面 ABF.过H向BF引垂线交BF于R，连接CR，贝U CR _ BF ,则.HRC 为二面角 A -BF -C 的平面角.,(9 分) 由题意，不妨设 AC =BC =2，贝U AB =2 2 ,在 Rt BHF 中，HR 6 , CH=1AB2,3 2CH 所以在 Rt CHR 中，tan. HRC =C = 3 ,12 分)RH因此二面角 A_BF_C 的大小为 60 .,(20.（本小题满分12 分）解：（I）” x 1f(x)Tx(x 2)(x -2)4x令 f (x) = 0 ,得 x - -2 或 x = 2.x 1, 3，故当 1 ：x ：:2 时，f （x） &l

23、t;0 ,当 2 :x ：3时，f (x) .0,(3分)f(x)在x=2处取得唯一极小值，也是最小值f(2)J -1n2,2又f(1),f (3)=9 -In3 , 1 -9-I n3 =1 n3 -10，即f(1)f(3),88 8(8丿f(x)的最大值为1 ,最小值为1-ln2 .,(8 21(n)由(I)知 f(x)w ，所以f(x) ：4-at对于任意的r 0, 2恒成立,81只要 4 -at 盲，即 8at -31 ：0 对任意 t 0, 2恒成立，,，(86分)9分)g(0) <031设 g(t)=8at 31 (t 可0, 2),则忙丿解得 av , lg(2) <

24、0,1631所以实数a的取值范围是-：，31 .,(I 16丿21.(本小题满分12分)12 分)解：(I)由 e=C 2 得，a2 =2b2，依题意 1 2a 2b = 2 2，即 ab = . 2 ,a 22解方程组a2血lab = J2,得 a = 2 , b =1 ,142464323.doc-第 12 页(共 15 页)2所以椭圆C的方程为X y2 =1.24分)(H)依题意直线 I 的斜率存在，设 I : y = k(x 2) , A(X1, yi) , B(X2, y2), P(x, y),y =k(x 一2),由 x22 得(1 2k2)x28k2x 8k22=0,2 y，由=

25、64k4 -4(2 k21)(8k2 _2)0，得 k2 :-,228k -2X1X221 2k26分) OA OB =tOP ,(Xi X2，yi y2)=t(x, y)，当 t =0 时，k =0 ,PA -PB =2a =2 22 52x1 x28kx2-t t(1+2k)点P在椭圆上，y =上生=k(X1 X2) 4k二"k t t(8k2)2”(Vk)2t2(1+2k2)2，t2(1 2k2)225t(1 2k )8 分) pa_pb 竺1 k2 x1-X2-，即(1 k2)(XiX2)2 4xiX2:3201，丄 2 ： 64 k4(1 k)F78k2 -24 1202入

26、，2k 9即 16k2 =t2(1 2k2).221即(4k2 -1)(14k213) 0 , k2 .,(10 分)42211,21216k88.2又 k ， k ，则由 t5 =82 ，得 t ：: 4,2421 +2k 2k +13(2& 広)实数t的取值范围是-2,勺2 |U咨2 ,(12分)I 3八3丿22 （本小题满分10分）【选修4 1:几何证明选讲】(I)证明：/ PA 为、O 的切线， PABACP , 又.P 二 P , PAB PCA 142464323.doc 第 12 页(共 15 页)AB PAAC "PC4分)（n）解：如图 I,-： RA为0的

27、切线，PBC是过点O的割线, PA2 =PB PC.又 PA =10, PB =5, PC =20, BC =15,由（I）知，AB二空二丄，： BC是、O的直径,AC PC 22 2 2匚CAB =90 , AC AB =BC =225,5分)AC = 6/5, AB =35.7 分)连接 CE，则.ABC =/E，又.CAE =/EAB , ACE ADB, .AB _ AD AE 一 AC AD AE =AB AC =3 5 6 5 =90.10 分)23.（本小题满分10分）【选修44:坐标系与参数方程】解：（I）直线l的普通方程为：.3x y 2 込=0 ,曲线C的直角坐标方程为：x

28、2 y2 =1 .4分)x2x, 将x冷,代入c , 宀 y=y(y)2 =1,2即椭圆C的方程为x , =1 .设椭圆4c 的参数方程为x = 2cos :, y = sin（为参数）则 x 2 .3y =2cos 2 3sin=4sin,I 6丿' x 2 3y的最小值为-4.10 分)24.（本小题满分10分）【选修4 5:不等式选讲】解：（I）方法一：当 a - -1时,f(X)= X -11 ,（1分）由 f (x) > 3 得 x -1 x 1 > 3 ,（i）当x W -1时，不等式化为1x 1 x > 3，即2x > 3 ,x w 1不等式组x l,的解集为f（x） > 3（ii）当-1 ： x w 1时，不等式化为1 -x x 1> 3，不可能成立,142464323.doc 第 13 页（共 15 页）:=, 4 ；一1 丈 x w 1不等式组f(x)>3,的解集为、；(iii)当x 1时，不等式化为x _1 x 1> 3