求解复合函数单调性

1、求解复合函数单调性【引理证明】已知函数y f(g(x).若U g(x)在区间(a, b )上是减函数，其值域为 (C , d),又 函数y f (u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数 y f(g(x)在区间(a,b )上 是增函数.证明：在区间(a,b )内任取两个数1,2 ,使a x1x2b因为U g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1) g(x2),记u1 g(x1 ),U2 g(X2)即 UiU2,且U1,U2(C,d)因为函数yf(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1) f (U2),即f(g(x)f(g(2)，故函数y f(g()在区间(a,b)上是增函

2、数.【方法技巧】1 复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：y f (U)增/减U g(x)增/减增/减y f(g(x)增/减减增/以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”2复合函数y f(g(x)的单调性判断步骤：i 确定函数的定义域；ii 将复合函数分解成两个简单函数：y f (u)与U g(x)。iii分别确定分解成的两个函数的单调性；iv 若两个函数在对应的区间上的单调性相同(即都是增函数，或都是减函数)，贝愎合后的函数y f(g(x)为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异(即一个是增函数，而另一个是减函

3、数)，则复合后的函数y f(g(x)为减函数。【例题演练】例1、求函数y IOgI(X2 2x 3)的单调区间，并用单调定义给予证明2解：定义域 2 2 3 0 X 3或X1单调减区间是(3,)设 X1 ,X2(3,)且X1X2 则*log1 (X12213)y22log 1 (X22x23)22(X12213)(X222x23) = (X2 X1 )(X2 X12)V X2X13 X2X102120 (X12 2x13)>(X222x23)1又底数021 y2y10即yy1 y在(3,)上是减函数.同理可证：y在(，1)上是增函数.例2、讨论函数f () loga(32 2 1)的单调

4、性.解由32 2 10得函数的定义域为1,或 X1.3则当a1时，若X 1 ,V U 32 2 1为增函数， f () loga(32 21)为增函数.若X-,V U 3x232 1为减函数. f (X)loga(32 21)为减函数。当0 a 1时，若X1 ,则 f()log a(32 21)为减函数，若X-,则3f() loga(32 2 1)为增函数例3、.已知y= log a (2- a )在0, 1上是X的减函数，求a的取值范围解：. a> 0 且 a 1当a> 1时，函数t=2- a>0是减函数由y=loga (2- a)在0, 1上 X的减函数，知y= log

5、at是增函数， a> 1由 X C0, 1时，2- a 2-a > 0,得 av 2, 1V av 2当0<a<1时，函数t=2- a>0是增函数由y=loga (2- a)在0, 1上X的减函数，知y=logat是减函数， 0<a<1由 XC0, 1时，2- ax 2-1 >0, 0<a<1综上述，0<a<1或1v av 2H例4、已知函数f( 2) ax2 (a 3)x a 2 ( a为负整数)的图象经过点(m 2,0),m R ,设 g(x) ff(x),F(x) Pg(X) f (x).问是否存在实数 P(P 0)

6、使得F(X)在区间(,f (2)上是减函数，且在区间(f(2),0)上是减函数？并证明你的结论。解析由已知f (m 2)0 ,得 am2(a3)m a 2 0 ,其中mR,a 0.0即 3a2 2a90 ,1解得12.7a312._73V a为负整数，a 1. f (X2) X4x 3(X 2)21即 f (X)x21.g(x)ff(x)(X21)2 1x4 2x2, F(X)Pg(X)f(x)px4(2P1)x21.假设存在实数p( P 0),使得F (x)满足条件，设x x2 , F(x) F(X2)(x12 x2) p(x2 x2) 2p 1.V f(2)3 ,当 x1,x2(, 3)时

7、，F (x)为减函数， F(X1)F(X2)0 , xf x2 0, p(x2 x) 2p 1 0.v X13,X23, . x<2 xj 18,P(X12 X2)2p 116p 1 ,16p10.当 X1,X2 ( 3,0)时，F(X)增函数， F(X1) F(X2) 0.' x12X孑 0,.P(X12 X2) 2p116p1,16p10.由、可知丄16,故存在P116【同步练习】1.函数y= log12(x2- 3x + 2)的单调递减区间是(C.(, 1)3、(, _)2B . (2, +)3D .( ，+)2解析：先求函数定义域为( 0, 1) ( 2, +),令t (

8、X)= X2+ 3x+ 2,函数t ( x)在(一R, 1)上单调递减，在(2,+)上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数 y= Iog1 (x23+ 2)在(2,+)上单调递减.2答案：B2找出下列函数的单调区间.(1) y a X 3x2(a 1)；(2) y 2 2 2x 3.33答案：在(，(上是增函数，在，)上是减函数。(2)单调增区间是1,1,减区间是1,3。3、 讨论y loga(ax 1), (a 0,且a 0)的单调性。答案：a 1,时(0,)为增函数，1 a 0时，(，0)为增函数。4. 求函数y= log I (x2 5x+ 4)的定义域、值域和单调区间.3解：由 (X)= x2 5x+ 4>0,解得 x>4 或 XV 1,所以 x( , 1) ( 4, +), 当 x(, 1)( 4,+) , I = x2 5x+ 4 = R + ,所以函数的值域是 R+.因 为函数y = log I (x2 5x+ 4)是由y= log I (x)与 (X)= x2 5x+ 4复合而成，函数335y= log 1(x)在其定义域上是单调递减的，函数(X)= x2 5x+ 4在(,)上325y= log-13为减函数，在,+上为增函数.考虑到函数的定义域及复合函数单调性,2(X2 5x