晶体的对称性（课堂PPT）

1、晶 体 的 对 称 性晶 体 的 对 称 性本节主要内容本节主要内容: :1 1 对称性与对称操作对称性与对称操作2 2 晶系和布喇菲原胞晶系和布喇菲原胞3 3 点群的表示符号点群的表示符号对称操作所依赖的几何要素。对称操作所依赖的几何要素。1.对称操作与线性变换),(321xxxX 经过某一对称操作，把晶体中任一点经过某一对称操作，把晶体中任一点 变为变为 可以用线性变换来表示。可以用线性变换来表示。 ),(321xxxX1 对称性与对称操作对称性：对称性：经过某种动作后，晶体能够自身重合的特性。经过某种动作后，晶体能够自身重合的特性。对称操作：对称操作：使晶体自身重合的动作。使晶体自身重合

2、的动作。对称素：对称素：232221232221xxxxxx 321xxxX 321xxxX 333231232221131211aaaaaaaaA操作前后，两点间的距离保持不变，操作前后，两点间的距离保持不变，),(321xxxX),(321xxxX Ox1 1x3 3x2 2O点和点和X点间距与点间距与O点和点和 点间距相等点间距相等。X XXAXAXAXXAXX AXX IAAI为单位矩阵，即：为单位矩阵，即： 100010001I或者说或者说A为正交矩阵，其矩阵行列式为正交矩阵，其矩阵行列式 。1 A 2.简单对称操作(旋转对称、中心反映、镜象、旋转反演对称)(1)(1)旋转对称旋转对

3、称( (Cn, ,对称素为线对称素为线) ) 若晶体绕某一固定轴转若晶体绕某一固定轴转 以后自身重合，则此轴称为以后自身重合，则此轴称为n次次( (度度) )旋转对称轴旋转对称轴。n2下面我们计算与转动对应的变换矩阵。下面我们计算与转动对应的变换矩阵。 当当OX绕绕Ox1转动角度转动角度 时，图中时，图中),(321xxxX),(321xxxX 若若OX在在Ox2x3平面上投影的长度为平面上投影的长度为R，则则11xx cos2Rx sinsincoscosRR sincos32xx sin3Rx sincoscossinRR cossin32xx ),(321xxxX),(321xxxX O

4、x1x3x2 321321cossin0sincos0001xxxxxx cossin0sincos0001A1 A 晶体中允许有几度旋转对称轴呢晶体中允许有几度旋转对称轴呢? 设设B1ABA1是晶体中某一晶是晶体中某一晶面上的一个晶列，面上的一个晶列，AB为这一晶为这一晶列上相邻的两个格点列上相邻的两个格点。A1ABB1 AB 若晶体绕通过格点若晶体绕通过格点A并垂直于并垂直于纸面的纸面的u轴顺时针转轴顺时针转 角后能自身重角后能自身重合，则由于晶体的周期性，通过格合，则由于晶体的周期性，通过格点点B也有一转轴也有一转轴u。, ,ABBA2cos11 ,21, 0cos ,23,212,62

5、,42BA AB是是 的整数倍，的整数倍， A1 1ABB1 1 A B 相反若相反若逆时针转逆时针转 角后能自身重合，则角后能自身重合，则A1ABB1 AB, ,ABBA2cos1BA AB是是 的整数倍，的整数倍， 1,21, 0cos ,32,222,32,42 643212, , , , ,n,n晶体中允许的旋转对称轴只能是晶体中允许的旋转对称轴只能是1，2，3，4，6度轴。度轴。综合上述证明得：综合上述证明得：12346 正五边形沿竖直轴每旋转正五边形沿竖直轴每旋转720恢恢复原状，但它不能重复排列充满一个复原状，但它不能重复排列充满一个平面而不出现空隙。因此晶体的旋转平面而不出现空

6、隙。因此晶体的旋转对称轴中不存在五次轴，只有对称轴中不存在五次轴，只有1，2，3，4，6度度旋转对称轴旋转对称轴。(2)(2)中心反中心反演演( (i，对称素为点对称素为点) ) 取中心为原点，经过中心反映后，图形中任一点取中心为原点，经过中心反映后，图形中任一点),(321xxx),(321xxx 变为变为 321321xxxxxx 100010001A1 A(3)镜象镜象(m，对称素为面对称素为面)如以如以x3= =0面作为对称面，镜象是将图形的任何一点面作为对称面，镜象是将图形的任何一点),(321xxx),(321xxx 变为变为 100010001A1 A 321321xxxxxx(

7、4)(4)旋转旋转-反演对称反演对称 若晶体绕某一固定轴转若晶体绕某一固定轴转 以后，以后，再经过中心反演, ,晶体自晶体自身重合，则此轴称为身重合，则此轴称为n次(度)旋转-反演对称轴。n2 旋转-反演对称轴只能有1，2，3，4，6度轴。6, 4, 3, 2, 1旋转旋转-反演对称轴用反演对称轴用 表示。表示。旋转旋转-反演对称轴并反演对称轴并不都是独立的基本对称素。如：独立的基本对称素。如：12i1123456i 3312m21 ABDCEFGH正四面体既无四正四面体既无四度轴也无对称心度轴也无对称心6=3+m12345661 2 3 4 5 123443 1 4 2 CADGFHEB1

8、1，2 2，3 3，4 4，6 6 度旋转对称操作。度旋转对称操作。 1 1，2 2，3 3，4 4，6 6度旋转反演对称操作。度旋转反演对称操作。(3)(3)中心反映：中心反映：i。(4)(4)镜象反映：镜象反映：m。 C1，C2，C3，C4，C6 （用熊夫利符号表示）用熊夫利符号表示）S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符号表示）用熊夫利符号表示）点对称操作：点对称操作：(2)(2)旋转反演对称操作：旋转反演对称操作：(1)(1)旋转对称操作：旋转对称操作： 独立的对称操作有8种, ,即即1 1，2 2，3 3，4 4，6 6，i i，m m， 。 或或C1，C2，C3，C4，C6 ，C

9、i，Cs，S4。 4立方体对称性立方体对称性(1)(1)立方轴立方轴C4：3 3个立方轴；个立方轴；4个个3度轴；度轴；(2)体对角线体对角线C3：(3)面对角线面对角线C2：6个个2度轴；度轴；与与4 4度轴正交的对称面度轴正交的对称面与与2 2度轴正交的对称面度轴正交的对称面 所有点对称操作都可由这所有点对称操作都可由这8种操作或它们的组合来完成。种操作或它们的组合来完成。一个晶体的全部对称操作构成一个群，每个操作都是群的一个，每个操作都是群的一个元素。对称性不同的晶体属于不同的群。由旋转、中心反演、元素。对称性不同的晶体属于不同的群。由旋转、中心反演、镜象和旋转镜象和旋转-反演点对称操作

10、构成的群，称作点群。反演点对称操作构成的群，称作点群。 理论证明，所有理论证明，所有晶体只有32种点群，即只有，即只有32种不同的点对种不同的点对称操作类型。这种对称性在宏观上表现为晶体外形的对称及物理称操作类型。这种对称性在宏观上表现为晶体外形的对称及物理性质在不同方向上的对称性。所以又称宏观对称性。性质在不同方向上的对称性。所以又称宏观对称性。如果考虑平移，还有两种情况，即如果考虑平移，还有两种情况，即螺旋轴和滑移反映面。 （5 5）n度螺旋轴度螺旋轴：若绕轴旋转：若绕轴旋转2 / /n角以后，再角以后，再沿轴方向平移l( (T/ /n) )，晶体能自身重合，则称此轴为晶体能自身重合，则称

11、此轴为n度螺旋轴。其中度螺旋轴。其中T是是轴方向的周期，轴方向的周期， l是小于是小于n的整数。的整数。 n只能取只能取1、2、3、4、6。 （6 6）滑移反映面滑移反映面：若经过某面进：若经过某面进行镜象操作后，再沿平行于该面的某行镜象操作后，再沿平行于该面的某个方向平移个方向平移T/ /n后，晶体能自身重合，后，晶体能自身重合，则称此面为滑移反映面。则称此面为滑移反映面。 T是平行方是平行方向的周期，向的周期，n可取可取2或或4。 点对称操作加上平移操作构成空间群。全部晶体构有点对称操作加上平移操作构成空间群。全部晶体构有230种种空间群，即有空间群，即有230种对称类型。种对称类型。2

12、晶系和布喇菲原胞 根据不同的根据不同的点对称性，将晶体分为，将晶体分为7大晶系，14种布喇菲布喇菲晶格。 ,baaccb与与与,cba,为布喇菲原胞三个基矢，为布喇菲原胞三个基矢， 分别为分别为取取间的夹角。间的夹角。abc 7大晶系的特征及大晶系的特征及布喇菲布喇菲晶格如下所述：晶格如下所述：1.1.三斜晶系：三斜晶系： , cba 090cba2.2.单斜晶系：单斜晶系：3.3.三角晶系：三角晶系：0012090 cba简单三斜简单三斜( (1) )简单单斜简单单斜( (2) ) 底心单斜底心单斜( (3) )三角三角( (4) )4.4.正交晶系：正交晶系：090 cba简单正交简单正交

13、( (5) )，底心正交，底心正交( (6) )体心正交体心正交( (7) )，面心正交，面心正交( (8) )5.5.四角系：四角系：( (正方晶系正方晶系) )090 cba简单四角简单四角( (9) )，体心四角，体心四角( (10) )6.6.六角晶系：六角晶系：0012090 cba六角六角( (11) )7.7.立方晶系：立方晶系：090 cba简立方简立方( (12) )，体心立方，体心立方( (13) )，面心立方面心立方( (14) )简单三斜简单三斜( (1) ) 090, cba简单单斜简单单斜( (2) )底心单斜底心单斜(3)1.1.三斜晶系：三斜晶系： 2.2.单斜

14、晶系：单斜晶系： ,cba3.3.三角晶系：三角晶系：三角三角( (4) )0012090 cba4.4.正交晶系：正交晶系：090 ,cba简单正交简单正交( (5) )底心正交底心正交( (6) )体心正交体心正交( (7) )面心正交面心正交( (8) )5.5.四角系：四角系：( (正方晶系正方晶系) )090 cba体心四角体心四角( (10) )简单四角简单四角( (9) )6.6.六角晶系：六角晶系：0012090 cba六角六角( (11) )7.7.立方晶系：立方晶系：090 cba简立方简立方( (12) )体心立方体心立方( (13) )面心立方面心立方( (14) )a

15、立方立方aaaaa三方三方三斜三斜abc正交正交abcabc单斜单斜aaac六方六方aac四方四方3 点群的表示符号 通用的点群符号有两种: 一是传统的熊夫利(Schonflis或熊夫里斯)符号; 二是赫曼-莫吉恩(Hermann-Mauguin)符号：扼要地概括了点群中对称元素的配置情况,包含信息较多,已为国际晶体学界所采用，故通称为国际符号。 独立的8种对称操作： 熊夫利符号：C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4 国际符号：1，2，3，4，6，i，m ， 。 432个晶体学点群个晶体学点群 由上述的由上述的8种独立的宏观对称元素按一定的种独立的宏观对称元素按一定的规则（即对称元

16、素至少要通过一个公共点；规则（即对称元素至少要通过一个公共点；组合时不能出现组合时不能出现5次轴及大于次轴及大于6的对称轴）的对称轴）进行组合，总共有进行组合，总共有32种组合形式，称为种组合形式，称为32个晶体学点群。晶体的宏观外形不论形状个晶体学点群。晶体的宏观外形不论形状如何，必属于这如何，必属于这32个晶体学点群中的某一个晶体学点群中的某一个。个。对称性的高低晶系特征对称元素晶胞类型点 群对称元素序号熊夫里斯记号国际记号低三斜无12单斜 或m345 2/m 正交两个互相垂直的m或三个互相垂的67 8中四方910 11 122223i490cba90cba90cba1cic2cschc2

17、2DvD2hD212m2222mm222mmmi2m, 22m,233,m4c4shc44D444m44, 4,mi, 4 4290cba14227个晶系和个晶系和32种晶体学点群的划分种晶体学点群的划分im, 2对称性的高低晶系特征对称元素晶胞类型点点 群群对称元素序号熊夫里斯记号国际记号中四方131415三方菱面体晶胞161718六方晶胞1920im ,5,24,4vc4dD2hD4mm4m24224mmmm4,4m2,22,490cba4390120cba3cic33Dvc3dD3333m3323i ,323,3m3,3im,3 ,23 , 312090cba2m续表：对称性的高低晶系特

18、征对称元素晶胞类型点点 群群对称元素序号熊夫里斯记号国际记号中六方21222324 622252627高立方 在立方的体对角线方向2829303132mmm612090cba6chc3hc66Dvc6hD3hD6mm626m226666m6),3(6mim, 626,6m6,6mm4,23), 3(6im ,7,26,64 390cbaThTOdThO2323m432m34423mm23,34im ,3,23,34m6,43,34im ,9,26,43,3426,43,34续表：晶体点群的记号晶系1 23立方立方 Cubica abcab六方六方 hexagonalc a2ab四方四方 tet

19、ragonalc aab三方三方 rhombohetronabcab正交正交 orthorhombicabc单斜单斜 monoclinicb三斜三斜 anorthic举例 简单立方体的表示：432 正四方体(ca=b)的表示：422或4mm 正三方的表示：32D2hP mnl D2h是点群的熊夫利记号是点群的熊夫利记号; 国际记号：国际记号： P为简单点阵为简单点阵;mnl表示晶体中表示晶体中3个方向的对称性。个方向的对称性。 讨论钛酸钡在各种温度下的结构及其表示：附录 国际符号根据各种晶类的对称性可以是三项、或二项、或一项符号组成，它分别表示晶体某三个、或二个、或一个方向上的对称元素。如果在

20、某一个方向上，同时具有对称轴和垂直于此轴的对称面，则写成分数形式。如 2/m, 4/m。 Cn：字母表示旋转的意思，组标n表示旋转的次数，n=1、2、3、4、6。例如C2代表二次旋转轴。 Cnh：表示除了n次旋转轴外，还包括一个与此轴垂直的对称面。（2/m） Cnv：表示除了n次旋转轴外，还包括一个与此轴重合（即平行）的对称面。 Cni：表示除了n次旋转轴外，还包括一个对称中心。 Ci：表示有一个对称中心。 S4：表示有一个四次旋转倒反轴。 Dn：表示除了n次主旋转轴外，还包括n个与之轴垂直的二次旋转轴。 Dnh：表示除了Dn的对称性外，还包括一个与主旋转轴垂直的对称面，和n个与二次旋转轴重合（即平行）的对称面。 Dnd：表示除了Dn的对称性外，还包括n个平分两个二次旋转轴夹角的对称面。 T：除了四个三次旋转轴外，还包括三个正交的二次旋转轴。 Th：除了T的对称性外，还包括与二次旋转轴垂直的三个对称面。 Td：除了T的对称性外，还包括六个平分两个二次旋转轴夹角的对称面。 O：包括三个互相垂直的四次旋转轴，六个二次旋转轴，和四个三次旋转轴。 Oh：除了O的对称性外，还包括Td与Th的对称面。 国际符号由两部