2020届辽宁省大连市高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)

1、辽宁省大连市2020 届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题第 i 卷一、选择题：（本大题共 12小题，每小题 5 分，共 60 分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，则集合为（）a. b. c. d. 【答案】 b 【解析】【分析】直接判断集合有哪些元素在集合中即可 .【详解】因为集合，所以集合故选： b【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于容易题.2.已知复数z 满足，则复数的虚部为（）a. b. c. d. 【答案】 b 【解析】设，由，故选 b.3.下列函数中是偶函数，且在是增函数的是（）a. b. c. d. 【答案】 a 【解析】【分析】对于选项：函数

2、是偶函数且函数为增函数；对于选项：函数是偶函数但当时不是增函数；对于选项：函数是偶函数，但当时为减函数；对于 选项：函数是奇函数 . 【详解】对于选项：因为函数中自变量含有绝对值，所以是偶函数，当时，函数为增函数，故正确；对于选项：根据函数的图像可知它是一个偶函数，但当时有增有减，故错误；对于选项：函数是开口向下的二次函数是偶函数，但当时为减函数，故错误；对于选项：函数是奇函数，故错误；故选： a【点睛】本题考查了对函数的奇偶性以及在区间的单调性进行判断，属于较易题.4.设为等差数列的前项和，若，则的值为（）a. 14b. 28c. 36d. 48【答案】 d 【解析】【分析】利用等差数列的前

3、项和公式以及等差数列的性质即可求出.【详解】因为为等差数列的前项和，所以故选： d【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式的计算以及等差数列性质的应用，属于较易题.5.pm25 是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即 pm25日均值在以下空气质量为一级，在空气质量为二级，超过为超标，如图是某地1 月 1日至 10 日的pm25（单位：）的日均值，则下列说法正确的是（）a. 10 天中 pm25 日均值最低的是1 月 3日b. 从 1 日到 6 日 pm25日均值逐渐升高c. 这 10 天中恰有5天空气质量不超标d. 这 10 天中 pm25 日均值的中位数是43【答案】 d

4、 【解析】【分析】根据给的图，列出对应的数据，即可得到.【详解】对于选项： 10 天中 pm25日均值最低的是1 月 1 日，故选项不正确；对于选项：前两天的均值到前三天的均值是减少的，故选项不正确；对于选项：不超过有 8 天，故选项不正确；对于选项：因为这十天的数据从小到大排列后为：30， 32，34，40， 41，45，48，60，78，80，可得到它的中位数为43，故选项正确故选： d【点睛】本题考查了根据折线图像得到数据，解决一些数据有关问题，属于较易题.6.已知抛物线上点（在第一象限）到焦点距离为 5，则点坐标为（）a. b. c. d. 【答案】 c 【解析】【分析】先根据抛物线定

5、义可得到点的横坐标，再代入抛物线方程即可.【详解】设，因为点到焦点距离为 5 即, 根据抛物线定义：，解得：，代入抛物线方程，得即故选： c【点睛】本题考查了利用抛物线定义求抛物线上点的坐标，属于较易题.7.设非零向量， 则 “” 是“” （）a. 充分而不必要条件b. 必要而不充分条件c. 充分必要条件d. 既不充分也不必要条件【答案】 c 【解析】【分析】根据可得，由也可得，再根据充分条件和必要条件的定义来判断即可 .【详解】因为，所以，因为，两边平方可得：即，由充分条件和必要条件可判断出是的充分必要条件故选： c【点睛】本题考查了向量垂直的充要条件数量积为零，向量的运算以及充分条件，必要

6、条件的判断，属于一般题 .8.如图是函数的部分图象，则，的值分别为（）的a1，b. 1，c. 2，d. 2，【答案】 d 【解析】【分析】根据图像由到是半个周期即，可得到周期，从而可求出的值，再由最高点代入计算即可 .【详解】由题意可得，即，解得：，因为函数图象的最高点为，所以有：，即，解得：，因为，所以故选： d【点睛】本题考查了利用函数的部分图像求函数的解析式，属于较易题.9.设数列的前项和为若，则值为（）a. 363b. 121c. 80d. 40【答案】 b 【解析】.【分析】根据与的关系可得，利用构造法可判断出数列是等比数列，从而可求出数列的通项公式，即可求出的值 .【详解】因为，所

7、以有：，即得到数列是以公比为3 的等比数列，所以有：，即，当时有故选： b【点睛】本题考查了与的关系求通项公式，利用构造法求通项公式，属于较难题.10. 已知，则的最小值为（）a. b. c. 2d. 4【答案】 d 【解析】【分析】根据已知条件，用乘以1，可得，再展开利用基本不等式即可.【详解】因为，所以，当且仅当即时等号成立故选： d【点睛】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，巧用了“1”的乘积，属于一般题.11. 已知，是两条直线，是三个平面，则下列命题正确的是（）a. 若， 则b. 若，则c. 若，则d. 若，则【答案】 c 【解析】【分析】对于选项：当， 则或； 对于选项：当， 则

8、或；对于选项：由线面垂直的判定定理及面面垂直的性质可知若， 则；对于选项：当，则或.【详解】对于选项：当，则或，故选项不正确；对于选项：当，则或，故选项不正确；对于选项：根据线面垂直的判定定理及面面垂直的性质可知选项正确；对于选项：当，则或，故选项不正确；故选： c【点睛】本题考查了线面之间的平行与垂直关系，考查了学生的逻辑推理能力，属于一般题.12. 易经是中国传统文化中的精髓，下图是易经后天八卦图（含乾?坤?巽?震?坎?离?艮 ?兑八卦），每一卦由三根线组成(表示一根阳线，表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，记事件“ 两卦的六根线中恰有两根阳线” ，“ 有一卦恰有一根阳线” ，则（）,a.

9、b. c. d. 【答案】 b 【解析】【分析】先根据已知条件分别求出和，再代入条件概率的公式即可.【详解】由八卦图可知，八卦中全为阳线和全为阴线的卦各有一个，两阴一阳和两阳一阴的卦各有三个，而事件所包含的情况可分为两种，即第一种是取到的两卦中一个为两阳一阴，另一个为全阴；第二种是两卦中均为一阳两阴；而事件中只包含后者，即：,事件的概率，所以故选： b【点睛】本题考查了条件概率的计算，关键是计算出事件的概率，属于一般题.第 ii 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题第 23题为选考题，考生根据要求做答?二填空题：（本大题共 4小题,每小

10、题 5 分,共 20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）13. 已知，满足约束条件则的最大值为 _【答案】 4；【解析】【分析】根据已知条件画出约束条件的可行域，再平移目标函数直线即可求出目标函数的最大值.【详解】因为，满足约束条件，所以得到可行域（如图）当目标直线过时目标函数有最大值4故答案为： 4【点睛】本题考查了线性规划，利用数形结合求目标函数的最值，属于较易题.14. 若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为_，【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为，根据题意知，所以. 双曲线的离心率. 故答案为. 点睛：在双曲线中，1）离心率为，2）焦点为，其中，3）渐近线：.15. 定义在上的函数满

11、足下列两个条件（1）对任意的恒有成立； （2）当时，则的值是 _【答案】【解析】【分析】根据已知条件把化成，再根据当时，代入即可 . 【详解】因为对任意的恒有成立，所以有：，又因为当时，所以，所以故答案为：【点睛】本题考查了求抽象函数的函数值，属于较易题.16. 如图，在正方体中，点为线段的中点，设点在线段上二面角的平面角为，用图中字母表示角为_，的最小值是 _【答案】(1). (2). 【解析】【分析】根据题意：连结和，因为则，因为则即可得为二面角的平面角，利用直线与平面的位置关系，从而判断的最小值 . 详解】连结和，如图因为则，因为则，即可得为二面角的平面角，设正方体的边长为2，当 点与重

12、合时，则，由余弦定理可得：，则为锐角且，当 点与重合时，则，【由余弦定理可得：则为钝角且，由此可判断当点从运动到时，从锐角到钝角，则先增大后减小，所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了二面角的平面角定义以及求二面角的三角函数值，考查了学生的推理和计算能力，属于较难题 .三解答题：（本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 设函数（）求的单调递增区间；（）在锐角中，角，的对边分别为， ，若，求【答案】（） （） 1【解析】【分析】(i)利用正弦，余弦的二倍角公式对函数进行化简得到：，再利用整体代入法即可求出函数的单调递增区间；(ii)由(i)得到的可计算出

13、中角的值，结合条件中的值，利用余弦定理即可求出 .【详解】解： （）由题意可知，由，所以的单调递增区间是（）由，可得，由题意知为锐角，由余弦定理，【点睛】本题考查了利用二倍角公式对三角函数进行化简，利用余弦定理求三角形边长的大小，属于较易题.18. 某中学调查防疫期间学生居家每天锻炼时间情况，从高一、高二年级学生中分别随机抽取100 人，由调查结果得到如下的频率分布直方图：（）写出频率分布直方图（高一）中的值；记高一、高二学生100人锻炼时间的样本的方差分别为，试比较，的大小（只要求写出结论）；（）估计在高一、高二学生中各随机抽取1 人，恰有一人的锻炼时间大于20 分钟的概率；（）由频率分布直

14、方图可以认为，高二学生锻炼时间服从正态分布其中近似为样本平均数 ，近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设表示从高二学生中随机抽取10 人，其锻炼时间位于的人数，求的数学期望注：同一组数据用该区间的中点值作代表,计算得若，则，【答案】（），； （） 0.42（） 6.826【解析】【分析】(i)根据图中的数据即可判断方差的大小，利用频率总和为1 即可求出的值；(ii) 先设设事件：在高一学生中随机抽取1 人，其锻炼时间不大于20 分钟，事件：在高二学生中随机抽取1人，其锻炼时间不大于20分钟，根据图形数据可得到它们的概率，而恰有一人的锻炼时间大于20分钟分两种情况：一种是这个人在高一；另

15、一种是这个人在高二；再不出它们的概率和即可；(iii) 利用所给的数据分别求出样本平均数和样本方差，代入公式即可求出概率和数学期望. 【详解】解： （），；（）设事件：在高一学生中随机抽取1 人，其锻炼时间不大于20 分钟，事件：在高二学生中随机抽取1 人，其锻炼时间不大于20 分钟，事件：在高一、 高二学生中随机抽取1 人，恰有一个学生锻炼时间大于20 分钟，且另一个不大于20分钟，则，（），由条件得，从而，从高二中随机抽取10 人，其锻炼时间值位于的概率是 06826，根据题意得，【点睛】本题考查了概率的计算及正态分布期望值的计算，考查了学生对数据的处理能力和计算能力，属于一般题 .19.

16、 如图，三棱柱中，侧面为菱形，在侧面上的投影恰为的中点， 为的中点（）证明：平面；（）若，在线段上是否存在点（不与，重合）使得直线与平面成角的正弦值为若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】（）见解析（）存在，【解析】【分析】(i)根据已知条件先连接，因为， 分别为，中点，所以根据中位线的性质即可得到,再利用线面平行的判定定理即可. (ii) 因为平面，为菱形，如图建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，并设，求出平面的法向量，结合已知条件即可求出的值 . 【详解】解： （）证明：连接，因为，分别为，中点，所以, 因为平面，平面，所以平面（）因为平面，为菱形，如图建立空间直角坐标系，设，因为

17、，所以，所以，所以，所以，设，所以，所以, 设平面的法向量，因为，所以，所以的一组解为，因为直线与平面成角的正弦值为，所以，解得，（舍），所以【点睛】本题考查了线面平行的证明方法，考查了利用空间向量方法求线面角的正弦值，属于一般题.20. 已知过点的曲线的方程为（）求曲线的标准方程 :（）已知点， 为直线上任意一点，过作的垂线交曲线于点，（）证明：平分线段（其中为坐标原点） ；（）求最大值【答案】（）（） （）见解析（）1【解析】【分析】(i)由题意把点代入方程可得的值，利用椭圆的定义可求出曲线的标准方程；(ii)(i) 先设，的中点，和直线的方程为和直线的方程为，联解椭圆方程可得到的坐标，证

18、明即三点共线，即证明出平分线段；(ii) 利用两点间距离公式和椭圆弦长公式分别求出，利用基本不等式求最值.【详解】解： （）将代入曲线的方程，即，解得；由椭圆定义可知曲线的轨迹为以，为焦点的椭圆，即，所以的标准方程为（） （）设，的中点设的方程为，则的方程为，所以将直线与椭圆的方程联立，得则，平分线段（），令，即，令，则，在上为增函数，即，（当且仅当 “” 时取等号）的最大值为1【点睛】本题考查了证明三点共线弦长的计算，利用导数求最值，考查了学生的计算能力，属于较难题.21. 已知函数（）当时，求零点处的切线方程；（）若有两个零点，求证：【答案】（）或（）见解析【解析】【分析】(i)先把代入得

19、到，根据零点存在性原理判断函数的零点坐标原点和，代入求出切线斜率即可求出切线方程；(ii) 先构造一个函数，利用这个函数可得到，从而有，再构造， 得到，有， 再根据即可证明 . 【详解】解： （）由题意得：，定义域为，在上为减函数，由零点存在定理可知，在上必存在一点使当时，即在上为增函数，当时，即在上为减函数，极大值，故至多有两个零点，又，故，是的两个零点，由，易得出两切线方程为：或（）由（）易知，设，在上为增函数，当时，即在上为减函数，当时，即在上为增函数，即，设与的交点横坐标为，为增函数，同理设，在上增函数，当时，即在上为增函数，当时，即在上为减函数，即，设与的交点横坐标为，为减函数，故：，得证【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，利用构造函数以及函数的单调性来证明不等式，属于困难题 .请考生在 22，23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时，用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑选修 4-4：坐标系与参数方程22. 在直角坐标系xoy 中，曲线c 的参数方程为（ t 为参数），以坐标原点o 为