2020年东营市中考数学压轴题型讲练——几何图形中运动变化问题

1、2020 年东营市中考数学压轴题型讲练几何图形中运动变化问题【题型导引】题型一：动点问题动态型试题一般是指以几何知识和图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题，常见的运动对象有点动、线动、图动；其运动形式有平动、旋转、翻折、滚动等动态型试题其特点是集几何、代数知识于一体， 数形结合，有较强的综合性 题目灵活多变， 动中有静， 动静结合 (1)动中求静，即在运动变化中探索问题中的不变性；(2) 动静互化，抓住“静”的瞬间，找出导致图形或变化规律发生改变的特殊时刻；同时在运动变化的过程中寻找不变性及变化规律题型二：动线问题动线问题主要和旋转变换结合，在处理此类问题上要注意进行转化，化动为静，利用变换

2、的性质解答即可。题型三：动面问题面的转动问题注意转化为静态问题来研究，转动后的与之前的在性质上形成新的图形，结合图形特点进行解答。【典例解析】类型一：动点问题例题 1： （2019?湖南衡阳? 3 分）如图，在直角三角形abc中， c 90， ac bc ， e 是 ab的中点，过点e 作 ac和 bc的垂线，垂足分别为点d和点 f，四边形 cdef沿着 ca方向匀速运动，点c与点 a重合时停止运动，设运动时间为 t ，运动过程中四边形cdef与 abc的重叠部分面积为s则 s关于 t 的函数图象大致为（）abc d【解答】解：在直角三角形abc中， c90， ac bc ， abc是等腰直角

3、三角形，efbc ，ed ac，四边形efcd是矩形，e是 ab的中点，efac ，debc ，efed ，四边形efcd是正方形，设正方形的边长为a，如图 1 当移动的距离a 时， s正方形的面积ee h的面积 a2t2；当移动的距离a 时，如图2，s sac h（2at ）2t22at+2a2，s关于 t 的函数图象大致为c选项，故选： c技法归纳：解答此类问题的策略可以归纳为三步：“看”“写” “选” (1) “看”就是认真观察几何图形，彻底弄清楚动点从何点开始出发，运动到何点停止，整个运动过程分为不同的几段，何点( 时刻 ) 是特殊点 ( 时刻 ) ，这是准确解答的前提和关键；(2)

4、“写”就是计算、写出动点在不同路段的函数解析式，注意一定要注明自变量的取值范围，求出在特殊点的函数数值和自变量的值；(3) “选”就是根据解析式选择准确的函数图象或答案，多用排除法。首先，排除不符合函数类形的图象选项，其次，对于相同函数类型的函数图象选项，再用自变量的取值范围或函数数值的最大和最小值进行排除，选出准确答案类型二：动线问题例题 2：如图，直线l 的解析式为y x4，它与 x 轴， y 轴分别相交于a，b两点平行于直线l 的直线 m从原点 o出发，沿 x 轴的正方向以每秒1 个单位长度的速度运动，它与x 轴，y 轴分别相交于m ，n两点，设运动时间为t 秒(0t 4)(1) 求 a

5、，b两点的坐标；(2) 用含 t 的代数式表示mon 的面积 s1；(3) 以 mn为对角线作矩形ompn ，记 mpn 和 oab重合部分的面积为s2，当 2t4 时，试探究s2与 t 之间的函数关系式；在直线m的运动过程中，当t 为何值时， s2为 oab面积的516？【解析】： (1) 当 x0 时， y4；当 y0 时， x4. a(4,0) ， b(0,4) ；(2) mn ab ，omonoaob 1， om on t ， s112om on 12t2；(3) 当 2t4 时，易知点 p在 oab的外面，则设点 p的坐标为 (t ， t) ， f 点的坐标满足xt ，y t 4，即

6、 f(t,4t) ，同理 e(4t ，t) ，则 pfpe |t (4t)|2t 4，所以 s2smpns pefsomnspef12t212pe pf 12t212(2t 4)(2t 4) 32t28t 8；当 0t2 时， s212t2516124452，解得 t152，两个都不合题意，舍去；当2t4时， s232t28t 852，解得 t33， t473，综上得，当t 73或 t 3 时， s2为 oab的面积的516. 技法归纳：解答此类题先要画出各个关键时刻的图形，再由“动”变“静”设法分别求解用分类思想画图的方法在解动态几何题中非常有效，它可帮助我们理清思路，突破难点类型三：动面问

7、题例题 3：如图 1，在 rt abc中， a90， ab ac ，点 d，e分别在边ab ，ac上， ad ae ，连接 dc ，点 m ，p，n分别为 de ，dc ，bc的中点(1) 观察猜想图 1 中，线段pm与 pn的数量关系是_，位置关系是 _；(2) 探究证明把 ade绕点 a逆时针方向旋转到图2 的位置，连接mn ，bd ，ce，判断 pmn 的形状，并说明理由；(3) 拓展延伸把 ade绕点 a在平面内自由旋转，若ad 4，ab 10，请直接写出pmn 面积的最大值【解析】： (1)pmpn pm pn 详解：点p，n是 dc ，bc的中点，pn bd ，pn 12bd ，点

8、 p ， m是 cd ，de的中点，pm ce ，pm 12ce ， abac ，ad ae， bd ce ，pm pn ， pn bd ， dpn adc ， pm ce ， dpm dca ， bac 90， adc acd 90， mpn dpm dpn dca adc 90， pm pn；(3)492详解：如图，同(2) 的方法得， pmn 是等腰直角三角形，mn最大时， pmn 的面积最大，de bc且 de在顶点 a上面，mn最大am an ，连接 am ，an ，在 ade中， ad ae 4， dae 90，am 22，在 rtabc中， ab ac10，an 52，mn最大2

9、25272，s pmn 最大12pm21212mn214(72)2492. 技法归纳： 认真观察几何图形，彻底弄清楚动点从何点开始出发，运动到何点停止， 整个运动过程分为不同的几段，何点 ( 时刻 )是特殊点 ( 时刻 ) ，这是准确解答的前提和关键。【变式训练】1. 如图， a，b是半径为1 的 o上两点，且oa ob ，点 p从点 a出发，在 o上以每秒一个单位长度的速度匀速运动，回到点a运动结束，设运动时间为x( 单位： x) ，弦 bp的长为 y，那么下列图象中可能表示y 与 x 函数关系的是（）abc或d或【答案】 d 【解析】 分两种情形讨论当点p顺时针旋转时， 图象是， 当点 p

10、逆时针旋转时， 图象是， 由此即可解决问题当点 p顺时针旋转时，图象是，当点 p逆时针旋转时，图象是，故答案为 . 2. （2019?四川省凉山州? 5 分）如图，正方形abcd 中， ab 12，aeab ，点 p在 bc上运动（不与b、c重合），过点 p作 pq ep ，交 cd于点 q ，则 cq的最大值为4 【答案】 4 【解答】解：bep+ bpe 90， qpc+ bpe 90， bep cpq 又 b c 90， bpe cqp 设 cq y，bp x，则 cp 12x，化简得 y（x212x） ，整理得 y（x6）2+4，所以当 x6 时， y 有最大值为4故答案为43. （2

11、019?湖北省咸宁市? 3 分）如图，先有一张矩形纸片abcd ，ab4，bc8，点 m ，n 分别在矩形的边ad ，bc上，将矩形纸片沿直线mn折叠，使点c落在矩形的边ad上，记为点p，点 d落在 g处，连接 pc ，交 mn于点 q ，连接 cm 下列结论：cq cd ；四边形cmpn 是菱形；p，a重合时， mn 2； pqm 的面积 s的取值范围是3s5其中正确的是（把正确结论的序号都填上）【答案】【解答】解：如图1，pm cn ， pmn mnc ， mnc pnm ， pmn pnm ，pm pn ，nc np ，pm cn ，mp cn ，四边形cnpm 是平行四边形，cn np

12、 ，四边形cnpm 是菱形，故正确；cp mn ， bcp mcp ， mqc d90，cp cp ，若 cq cd ，则 rtcmq cmd ， dcm qcm bcp 30，这个不一定成立，故错误；点 p与点 a重合时，如图2，设 bn x，则 an nc 8 x，在 rtabn中， ab2+bn2an2，即 42+x2（ 8x）2，解得 x3，cn 8 35，ac ，mn 2qn 2故正确；当 mn过点 d时，如图3，此时， cn最短，四边形cmpn 的面积最小，则s最小为 s ，当 p点与 a点重合时， cn最长，四边形cmpn 的面积最大，则s最大为 s，4s5，故错误故答案为：4.

13、 如图，在 abc中， ab ac，点 e在 bc上移动 ( 点 e不与点 b，c重合 ) ，满足 def b，且点 e，f分别在边bc ，ac上(1) 求证： bde cef ；(2) 当点 e移动到 bc的中点时，求证：fe平分 dfc 【解析】 (1) 证明： ab ac ，bc，bbde bed def fec bed 180 def b， bde cef ， bde cef ；(2) 解： bde cef ，becfdeef，点 e是 bc的中点， bece ，cecfdeef，又 def c， def ecf ， efd cfe ， fe平分 dfc 5. （江苏泰州，第25 题

14、12 分）如图，正方形abcd 的边长为8cm，e、f、g、h分别是 ab 、bc 、cd 、da上的动点，且 ae=bf=cg=dh（1）求证：四边形efgh是正方形；（2）判断直线eg是否经过一个定点，并说明理由；（3）求四边形efgh 面积的最小值 【解析】（ 1）证明：四边形abcd 是正方形， a=b=c=d=90 ， ab=bc=cd=da ae=bf=cg=dh，ah=be=cf=dg 在 aeh 、 bfe 、 cgf和 dhg 中， aeh bfe cgf dhg （ sas ） ，eh=fe=gf=gh， aeh= bfe ，四边形efgh 是菱形， bef+ bfe=90

15、 ， bef+ aeh=90 ，hef=90 ，四边形efgh 是正方形；（2）解：直线eg经过一个定点，这个定点为正方形的中心（ac、bd的交点）；理由如下：连接 ac 、eg ，交点为o；如图所示：四边形abcd 是正方形，ab cd ， oae= ocg ，在 aoe和 cog 中， aoe cog （ aas ） ，oa=oc ，即 o为 ac的中点，正方形的对角线互相平分，o为对角线ac 、 bd的交点，即o为正方形的中心；（3）解：设四边形efgh面积为 s，设 be=xcm ，则 bf=（8x）cm ，根据勾股定理得：ef2=be2+bf2=x2+（8x）2s=x2+（8x）2=

16、2（x4）2+32，20 s有最小值，当 x=4 时， s的最小值 =32，四边形efgh 面积的最小值为32cm26. (2018济宁 )如图，在正方形abcd中，点 e，f 分别是边 ad，bc的中点，连接df，过点 e作 eh df，垂足为 h， eh的延长线交dc于点 g. (1) 猜想 dg与 cf的数量关系，并证明你的结论；(2) 过点 h作 mn cd ，分别交 ad，bc于点 m, n. 若正方形abcd的边长为10，点 p是 mn上一点，求pdc的周长的最小值【解析】 (1)cf 2dg. 证明：四边形abcd 是正方形，ad bc cd ，ad bc ，adc 90.e，

17、f 分别是边ad ，bc的中点，de 12ad，cf12bc de cf 12cd adc 90，eh df ，cdf edf 90， deg edf 90， deg cdf ，tan deg tan cdf ，dgdecfcd12，dgcf12，cf 2dg. (2) 解：如图，在nb上取一点q ，使 nq nc ，连接 dq交 mn 于点 p ，连接 pc mn cd ，cd bc ，mn bc 又nq nc ，pc pq ，pd pc pd pq dq. 由“两点之间，线段最短”知，此时pd pc最小又 cd 10，pdc的周长的最小值为pd pccd dq 10. 易知 meh mhd

18、 cdf ，tan meh tan mhd tan cdf ，即mhmemdmh12，me 2mh ，mh 2md 设 md t ，则 mh 2t ，me 4t ，de 5t ，cd 2de 10t 10，t 1，cq 2dm 2. 在 rtcdq 中，由勾股定理得dq cd2cq2102 22 226，将 pdc周长的最小值为22610. 7. （2019?湖北十堰? 10 分）如图 1， abc中， ca cb ， acb ， d为 abc内一点，将 cad 绕点 c按逆时针方向旋转角 得到 cbe ，点 a ，d的对应点分别为点b，e，且 a，d，e三点在同一直线上（1）填空： cde

19、（用含 的代数式表示） ；（2）如图 2，若 60，请补全图形，再过点c作 cf ae于点 f，然后探究线段cf ，ae ， be之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若 90， ac5，且点 g满足 agb 90， bg 6，直接写出点c到 ag的距离【解答】解： （1）将 cad绕点 c按逆时针方向旋转角 得到 cbe acd bce ， dce cd ce cde 故答案为：（2）ae be+cf 理由如下：如图，将 cad绕点 c按逆时针方向旋转角60得到 cbe acd bce ad be ，cd ce， dce 60 cde是等边三角形，且cf de dfefae ad+df+ef

20、 ae be+cf （3）如图，当点g在 ab上方时，过点c作 ceag于点 e ， acb 90， ac bc 5， cab abc 45， ab 10 acb 90 agb 点 c，点 g，点 b，点 a四点共圆 agc abc 45，且 ce ag agc ecg 45ce ge ab 10，gb 6， agb 90ag 8 ac2 ae2+ce2 ，（ 5）2（ 8ce ）2+ce2，ce 7（不合题意舍去） ，ce 1 若点 g在 ab的下方，过点c作 cfag ，同理可得： cf7 点 c到 ag的距离为1 或 78. 如图 1，一架长4 m 的梯子 ab斜靠在与地面om垂直的墙壁

21、on上，梯子与地面所成的角 为 60 度(1) 求 ao与 bo的长；(2) 若梯子顶端a沿 no下滑，同时底端b沿 om向右滑行如图 2，设 a点下滑到c点， b点向右滑行到d点，并且ac bd 23，试计算梯子顶端a下滑了多少米？如图 3， 当 a点下滑到 a点，b点向右滑行到b点时，梯子 ab的中点 p也随之运动到p点，若 pop 15，试求 aa 的长【解析】： (1)boab cos 60 412 2(m)，ao ab sin 60 43223(m) ，所以 bo 2 m；ao 23 m；(2) 设 ac 2x，bd 3x，在 rtcod中， oc 232x，od 23x， cd 4

22、 m，根据勾股定理有oc2od2cd2，(232x)2 (2 3x)242，13x2(12 83)x 0，x0，13x 12830，x831213 m，ac 2x1632413 m所以梯子顶端a沿 no下滑了163 2413 m. p 点和 p点分别是rtaob的斜边 ab与 rtaob 的斜边ab的中点，pa po ，papo ，pao aop ，pao aop ，pao pao aop aop ，pao pao pop 15，又 pao 30， pao 45，ao abcos 45 42222(m)，aa ao ao (2322)m. 9. (2018岳阳 ) 已知在 rtabc中， ba

23、c 90， cd为 acb的平分线，将acb沿 cd所在的直线折叠，使点b落在点 b处，连接ab ，延长cd交 bb 于点 e ，设 abc 2(045) (1) 如图 (1) ，若 ab ac ，求证： cd 2be ；(2) 如图 (2) ，若 ab ac ，试求cd与 be的数量关系 ( 用含 的式子表示 ) ；(3) 如图 (3) ，将 (2) 中的线段bc绕点 c 逆时针旋转 ( 45) ，得到线段fc，连接 ef ，交 bc于点 o，设 coe的面积为 s1， cof的面积为s2，求s1s2( 用含 的式子表示 ) 证明：（ 1）由折叠的性质可知，点b，b关于直线ce对称，ce垂直

24、平分bb ， be be12bb ， ceb ceb 90， ace bce.bac 90， bab bac 90. 又 bb abba bb aace 90，bba acd 在 abb 和 acd 中，bab bac ，ab ac，bba acd ，abb acd ，bb cd ，cd 2be；(3) 易得 ceb 90， ace ecb abc 2，acb 902， ecb 12acb 45 . 由旋转知， bcf 45，ecf ecb bcf 90， bec fce 180，cf be， ebo fco ，beo cfo ， beo cfo ，becfeofo. 在 rtbec中，sin

25、 ecb bebc，ecb 45，sin(45 ) bebc. 设点 c到 ef的距离为h，则s1s212eo h12fo heofobecfbebc，s1s2sin(45 ) (2) 由 (1) 得，bb 2be ，bab bac 90， bba acd ，abb acd ，cdbb acab，cd2beacab. 在 rtabc中，tan abc tan 2 acab，cd2betan 2 ，cd 2be tan 2 ；10. (2019?浙江丽水? 12 分) 如图，在等腰rtabc中， acb 90， ab ，点 d，e分别在边ab ，bc上，将线段 ed绕点 e按逆时针方向旋转90得

26、到 ef (1) 如图 1，若 ad bd ，点 e与点 c重合， af与 dc相交于点o 求证： bd 2do (2) 已知点 g为 af的中点如图 2，若 ad bd ，ce 2，求 dg的长若 ad 6bd ，是否存在点e，使得 deg是直角三角形？若存在，求ce的长；若不存在，试说明理由【解答】 (1) 证明：如图1，ca cb ，acb 90， bd ad ，cd ab ， cd adbd ，cd cf，ad cf ，adc dcf 90， ad cf ，四边形adfc是平行四边形， od oc ，bd 2od (2) 解：如图2，作 dt bc于点 t，fh bc 于 h由题意： bd ad cd 7，bc bd 14，d