云南省昆明市云南师范大学附属中学2019届高三上学期第四次月考数学文科试题(含解析)

1、云南师范大学附属中学2019 届高三上学期第四次月考数学文科一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0 分）1.已知集合，则a. b. c. d. 【答案】 d 【解析】【分析】分别求解一元二次不等式及分式不等式化简a，b，再由交集，补集的混合运算求解【详解】解：由，得，由，得或2. ，则，故选： d【点睛】本题考查一元二次不等式的解法及分式不等式的解法，考查交集，补集的混合运算，是基础题2.设复数 z 满足，则 z 在复平面内对应的点位于a. 第一象限b. 第二象限c. 第三象限d. 第四象限【答案】 c 【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，则答案可求【详

2、解】解：由，得，则，在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限故选： c【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3.根据如图给出的2005 年至 2016 年我国人口总量及增长率的统计图，以下结论不正确的是a. 自 2005 年以来，我国人口总量呈不断增加趋势b. 自 2005 年以来，我国人口增长率维持在上下波动c. 从 2005 年后逐年比较，我国人口增长率在2016 年增长幅度最大d. 可以肯定，在2015 年以后，我国人口增长率将逐年变大【答案】 d 【解析】【分析】利用人口总量及增长率的统计图直接求解【详解】解：由2005 年至 2016 年我

3、国人口总量及增长率的统计图，知：在 a 中，自 2005 年以来，我国人口总量呈不断增加趋势，故a 正确；在 b 中，自 2005 年以来，我国人口增长率维持在上下波动，故b 正确；在 c 中，从 2005 年后逐年比较，我国人口增长率在2016 年增长幅度最大，故c 正确；在 d 中，在 2015 年以后，我国人口增长率将逐年变小，故d 错误故选： d【点睛】本题考查命题真假的判断，考查人口总量及增长率的统计图的性质等基础知识，是基础题4.圆周率是数学中极为有名的常数，引起了古今中外无数学者们的兴趣有趣的是，用概率的方法也能求得的近似值其做法是：往一个画有内切圆的正方形区域内随机撒豆子，利用

4、落人圆内豆子的频率来计算的近似值某人某次试验共往正方形区域内随机撒下了n 颗豆子，统计落入圆内的豆子共有m 粒，则此次试验可计算出的近似值为a. b. c. d. 【答案】 d 【解析】【分析】由几何概型中的面积型得：，分别代入圆和正方形面积公式整理得解【详解】解：由几何概型中的面积型，结合随机模拟试验可得：，所以，即，故选： d【点睛】本题考查了几何概型中的面积型，结合随机模拟试验利用面积的比例解决问题，属基础题5.以椭圆的焦点为焦点，以直线为浙近线的双曲线的方程为a. b. c. d. 【答案】 b 【解析】【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标，根据双曲线的焦点坐标与浙近线方程求出和，即可写出

5、双曲线的方程【详解】解：椭圆中，焦点为，；以、为焦点，以直线为浙近线的双曲线的方程中，解得，所以所求双曲线的方程为故选： b【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其简单几何性质的应用问题，是基础题6.函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论中错误的是a. 的一个周期为b. 的图象关于对称c. 是的一个零点d. 在上单调递减【答案】 d 【解析】【分析】先由图像的平移变换推导出的解析式，再根据图像性质求出结果【详解】解：函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，的一个周期为，故 a 正确；的对称轴满足：，当时，的图象关于对称，故b 正确；由，得，是的一个零点，故c 正确；当时

6、，在上单调递增，故d 错误故选： d【点睛】本题考查命题真假的判断，考查三角函数的平移变换、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题7.给出下列两个命题：命题：函数是定义在上的奇函数，当时，则的值为；命题：函数是偶函数，则下列命题是真命题的是，a. b. c. d. 【答案】 b 【解析】【分析】根据函数性质分别判断命题，的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可【详解】解：， 命题是真命题，由得，则，即，则是奇函数，故题是假命题，则是真命题，其余为假命题，故选： b【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的判断，掌握函数性质是解决本题的关键，属于中档题8.某几何体的

7、三视图如图所示，则该几何体的体积为a. b. c. d. 【答案】 b 【解析】由三视图可知， 该几何体是底面为扇形、高为的柱体， 其中扇形所在圆的半径为，易得扇形的圆心角为，则该几何体的体积为故选 b9.的内角 a，b， c 的对边分别为a， b，c，且，若的面积为，则a. b. c. d. 【答案】 c 【解析】【分析】由已知将化简为，再结合，利用正弦定理边化角及倍角公式化简即可得出【详解】解：，又，且， 即， 由正弦定理边化角得 故，故选： c【点睛】本题考查了三角形面积公式、正弦定理、和差公式、同角三角函数基本关系式及其倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10.已知在菱形ab

8、cd 中，曲线是以 a，c 为焦点， 通过 b，d 两点且与直线相切的椭圆，则曲线的方程为a. b. c. d. 【答案】 b 【解析】【分析】由题意画出图形，结合已知可得，设椭圆方程为，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式等于0 求得 b，则椭圆方程可求【详解】解：如图，由题意可得， 则设椭圆方程为 联立， 得 由，解得曲线的方程为故选： b【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆标准方程的求法，是中档题11.已知 f(x) 是定义在上的单调函数，且对任意的x都有，则方程的一个根所在的区间是（）a. （0,1 ）b. （1,2 ）c. （ 2,3 ）d. （3,4 ）【答案】 d 【解析】【分

9、析】由题意，可知f（x） -x3是定值令t=f（ x）-x3，得出 f（x）=x3+t，再由f（t）=t3+t=2 求出 t 的值即可得出f（x）的表达式，求出函数的导数，即可求出f（x）-f （x）=2 的解所在的区间选出正确选项【详解】由题意，可知f（x）-x3是定值，不妨令t=f（x）-x3，则 f（x）=x3+t 又 f（t）=t3+t=2，整理得（ t-1） （t2+t+2）=0，解得 t=1 所以有 f（x）=x3+1 所以 f（x）-f （x）=x3+1-3x2=2，令 f（x）=x3-3x2-1 可得 f（3）=-10， f（4）=80，即 f（x）=x3-3x2-1 零点在区

10、间（3，4）内所以 f（x）-f （x）=2的解所在的区间是（3，4）故选： d【点睛】本题考查导数运算法则，函数的零点，解题的关键是判断出f（x）-x3是定值，本题考查了转化的思想，将方程的根转化为函数的零点来进行研究，降低了解题的难度12.已知正方形abcd 的边长为 1，动点 p 满足，若，则的最大值为a. b. c. d. 【答案】c 【解析】【分析】建系后， 写出四个顶点的坐标，设出动点 p 的坐标， 将已知向量坐标化，得圆的方程再根据向量知识得，最后利用的几何意义做题即可【详解】解：以a 为原点建立如图所示的直角坐标系：则，设， , 则由得，化简得：，又，表示圆上的点到原点的距离得

11、平方，其最大值等于圆心到原点的距离加半径的平方，即，故选： c【点睛】本题考查了平面向量的基本运算，距离的几何意义，属于难题二、填空题（本大题共4 小题，共 20.0 分）13.若 x， y 满足约束条件则的最小值为 _【答案】 3 【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域，结合图象找出最优解，计算目标函数的最小值【详解】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；结合图象知目标函数过点 a 时， z 取得最小值，由，解得，所以 z 的最小值为故答案为： 3【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，是基础题14.在 1 和 2 之间插入2016 个正数， 使得这 2018 个数成为等比数列，则这个

12、数列中所有项的乘积为_【答案】【解析】【分析】根据等比数列的性质可得，即可求出这个数列中所有项的乘积【详解】解：根据等比数列的性质可得，这个数列中所有项的乘积为，故答案为：【点睛】本题考查了等比数列的性质，属于基础题15.设函数在内有定义，对于给定的正数k，若定义函数，取函数，当时，函数的单调递增区间为_【答案】【解析】【分析】根据题意，将函数写成分段函数的形式，分析，即的解集，据此可得的解析式，进而分析可得答案【详解】解：根据题意，函数，若，即，也即进而解可得，则此时，其单调递增区间为；故答案为：【点睛】本题考查分段函数的应用，注意分析的含义，属于中档题16.如图，在正方体中，点 p 为 a

13、d 的中点，点q 为上的动点，给出下列说法：可能与平面平行；与 bc 所成的最大角为；与 pq 一定垂直；与所成的最大角的正切值为；其中正确的有_ 写出所有正确命题的序号【答案】【解析】【分析】由当 q 为的中点，由线面平行的判定定理可判断； 由 q 为的中点，结合线线垂直的判断可判断；由线面垂直的判定和性质可判断；运用异面直线所成角的定义，结合解直角三角形可判断；由 q 为的中点时，结合图形可判断【详解】解：由在棱长为1 的正方体中点 p 为 ad 的中点，点q 为上的动点，知：在中，当 q 为的中点时，由线面平行的判定定理可得pq 与平面平行，故正确；在中，当 q 为的中点时，可得，故错误

14、；在中，由，可得平面，即有，故正确；在中，如图，点m 为中点， pq 与所成的角即为pq 与所成的角，当q 与，或重合时， pq与所成的角最大，其正切值为，故正确；在中，当 q 为的中点时， pq 的长取得最小值，且长为，故正确故答案为：【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题三、解答题（本大题共7 小题，共 82.0 分）17.已知为数列的前 n 项和，且满足求数列的通项；令，证明：【答案】（1）； （2）详见解析 . 【解析】【分析】由数列的递推式：，时，计算结合等比数列的通项公式可得所求；求得，由数列的

15、裂项相消求和，即可得证【详解】解：，可得，解得，时，即有，故数列是以为首项，以为公比的等比数列，则；证明：，则【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，以及等比数列的通项公式，考查数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题18.互联网时代的今天，移动互联快速发展，智能手机技术不断成熟，价格却不断下降，成为了生活中必不可少的工具中学生是对新事物和新潮流反应最快的一个群体之一逐渐地， 越来越多的中学生开始在学校里使用手机手机特别是智能手机在让我们的生活更便捷的同时会带来些问题，同学们为了解手机在中学生中的使用情况，对本校高二年级100 名同学使用手机的情况进行调查针对调查中

16、获得的“每天平均使用手机进行娱乐活动的时间”进行分组整理得到如图4 的饼图、注：图中2，单位：小时代表分组为i 的情况求饼图中a 的值；假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，试估计样本中的100 名学生每天平均使用手机的平均时间在第几组？只需写出结论从该校随机选取一名同学，能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机进行娱乐活动小于小时的概率，若能，请算出这个概率；若不能，请说明理由【答案】（1）29%； （2）第 4 组； （3）若抽取的同学是高二年级的学生，则可以估计这名同学每天平均使用手机小于小时的概率大约为，若抽到高一、高三的同学则不能估计【解析】【分析】由饼图性质能

17、求出a估计样本中的100 名学生每天平均使用手机的平均时间在第4 组样本是从高二年级抽取的，根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机进行娱乐活动的平均时间，不能估计全校学生情况【详解】解：由饼图得：假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，估计样本中的100 名学生每天平均使用手机的平均时间在第4 组样本是从高二年级抽取的，根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机进行娱乐活动的平均时间，不能估计全校学生情况，若抽取的同学是高二年级的学生，则可以估计这名同学每天平均使用手机小于小时的概率大约为，若抽到高一、高三的同学则不能估计【点睛】本题考查概率的求法、饼图性质等基础知

18、识，考查运算求解能力，是基础题19.如图，在四棱锥中，垂足为e求证平面 pcd；求点 e 到平面 pcd 的距离【答案】（1）详见解析；（2） 【解析】【分析】推导出 e 为 pa的中点，取pd 中点 f，连结 ef，cf，推导出四边形bcef 是平行四边形，从而，由此能证明平面 pcd由，得，推导出，由此能求出平面 pcd，从而能求出点e 到平面pcd 的距离【详解】于点 e，为 pa 的中点，如图，取pd 中点 f，连结 ef，cf，四边形 bcef 是平行四边形，平面 pcd，平面 pcd，平面 pcd，又平面 pcd，平面 pcd，平面 pcd，点 e 为 pa 的中点，点 e 到平面

19、 pc 的距离为【点睛】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题20.过抛物线外一点m 作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点m 对应的切点弦已知抛物线为，点 p，q 在直线 l：上，过 p， q 两点对应的切点弦分别为ab，cd 当点 p 在 l 上移动时，直线ab 是否经过某一定点，若有，请求出该定点的坐标；如果没有，请说明理由当时，点 p，q 在什么位置时，取得最小值？【答案】（1）直线 ab 经过定点； （ 2）当，时，取得最小值4. 【解析】【分析】设，根据导数的几何意义，分别求出直线pa，pb

20、的方程可得，可得直线ab的方程进而求出定点设，根据可得，妨设，则，且，根据基本不等式即可求出【详解】解：设，则，抛物线的方程可变形为，则，直线 pa的斜率为，直线 pa的方程，化简，同理可得直线pb 的方程为，由可得，直线 ab 的方程为，则是方程的解，直线 ab 经过定点设，由可知，即，异号，不妨设，则，且，当且仅当，时取等号，即当，时，取得最小值4 【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，导数的几何意义，基本不等式的应用，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题21.已知函数讨论的极值点；当时，证明：【答案】（1）详见解析；（2）详见解析 . 【解析】【分析】求函数的导数，结合函数的极值和导数之间的关系进行讨论即可当时，求出的最小值，结合导数和不等式的关系减转化证明即可【详解】解：的定义域为，当时，在上单调递减，无极值点当时，而，则在上单调递减，则上单调递增，则当时，取得极小值，此时无极大值当时，在上单调递减，无极值点当时，则在上单调递增，则上单调递减，则当时，取得极大值，此时无极小值综上，当时，有极大值点，无极小值，当时，无极值，当时，有极小值点，无极大值，证明：由得当时，故