人教版初中数学八年级上册期末试卷(2019-2020学年湖北省武汉市汉阳区

1、第1页（共 24页）2019-2020学年湖北省武汉市汉阳区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3 分，共 30 分）1 （ 3 分） “2019 武汉军运会”部分体育项目的示意图中是轴对称图形的是（）abcd2 （ 3 分）要使分式有意义，则x 的取值范围是（）ax1bx1cx 1dx 13 （3 分）2019 年下半年猪肉价格上涨，是因为猪周期与某种病毒叠加导致，生物学家发现该病毒的直径约为0.000 000 32mm， 数据 0.000 000 32 用科学记数法表示正确的是（）a3.2107b32108c3.2107d3.21084 （ 3 分）下列因式分解正确的是（）a3ax2

2、6ax3 （ax22ax）bx2+y2（ x+y） （ xy）ca2+2ab4b2（ a+2b）2dax22ax+aa （x1）25 （ 3 分）下列各式与相等的是（）abcd6 （ 3 分）如图等边abc 边长为1cm，d、e 分别是ab、ac 上两点，将ade 沿直线de 折叠，点 a 落在 a处， a 在 abc 外，则阴影部分图形周长为（）a1cmb1.5cmc2cmd3cm第2页（共 24页）7 （ 3 分）对于任何整数m，多项式（ 4m+5）29 都能（）a被 8 整除b被 m 整除c被（ m1）整除d被（ 2m1）整除8 （ 3 分）若 a2+2ab+b2c210，a+b+c5，

3、则 a+bc 的值是（）a2b5c20d99 （ 3 分）如图，acb 和 ecd 都是等腰直角三角形，ca cb6，cecd， acb的顶点 a 在 ecd 的斜边 de 上，若 ae：ad1：2，则两个三角形重叠部分的面积为（）a6b9c12d1410 （3 分）已知a，b 为实数且满足a 1，b 1，设 m+，n+ 若 ab1 时， mn 若 ab1 时， mn 若 ab1 时， mn 若 a+b 0，则 m?n0则上述四个结论正确的有（）个a1b2c3d4二、填空题（每题3 分，共 18 分）11 （3 分）分式的值为 0，则 x 的值是12 （3 分）已知等腰三角形的一边长等于4cm

4、，一边长等于9cm，它的周长为13 （3 分）若 4?2n2，则 n14 （3 分）分式方程的解是15 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，有一个正三角形abc，其中b，c 的坐标分别为（1，0）和 c（2，0） 若在无滑动的情况下，将这个正三角形沿着x 轴向右滚动，则在滚动的过程中，这个正三角形的顶点a，b，c 中，会过点（2020，1）的是点第3页（共 24页）16 （3 分）如图，在abc 中， cab30， acb90， ac3，d 为 ab 的中点，e 为线段 ac 上任意一点 （不与端点重合） ，当 e 点在线段ac 上运动时， 则 de+ce 的最小值为三、解答题（共8 个小题，

5、共72 分）17 （8 分） （1）计算： a3?a4?a+（ a2）4+（ 2a4）2（2）因式分解： 9x2y+6xy+y18 （8 分）已知；如图，adbc，acbd，求证： aeeb19 （8 分） （l）化简：（2）先化简（） ?，再取一个适当的数代入求值20 （8 分）如图， abc 三个顶点的坐标分别为a（1，1） 、b （4，2） 、c（3，4） （1）若 a1b1c1与 abc 关于y 轴成轴对称，则a1b1c1三个顶点坐标分别为：a1，b1，c1；（2）若 p 为 x轴上一点，则pa+pb 的最小值为；（3）计算 abc 的面积第4页（共 24页）21 （8 分）我们知道对

6、于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式例如由图1 可以得到a2+3ab+2b2（ a+2b） （a+b）请回答下列问题（1）写出图 2 中所表示的数学等式是；（2）如图 3，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么？（用含有x，y 的式子表示）（3）通过上述的等量关系，我们可知当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小，则积越（填“大“或“小“） ；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小，则和越（填“大”或“小” ） 22 （10 分）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种 已知乙种

7、树苗的价格比甲种树苗贵10 元，用 480 元购买乙种树苗的棵数恰好与用 360 元购买甲种树苗的棵数相同（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50 棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过 1500 元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？23 （10 分）如图，在等边abc 中，点 d，e 分别是 ac，ab 上的动点，且aecd，bd交 ce 于点 p第5页（共 24页）（1）如图 1，求证： bpc120；（2）点 m 是边 bc 的中点，连接pa，pm 如图 2，

8、若点 a，p，m 三点共线，则ap 与 pm 的数量关系是 若点 a，p， m 三点不共线，问 中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由24 （12 分） 已知 abc 中，如果过顶点b 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为abc 的关于点b 的二分割线例如：如图1，rtabc 中 a90， c 20，若过顶点b 的一条直线bd交 ac 于点 d，若 dbc20，显然直线bd 是 abc 的关于点b 的二分割线（1）在图 2 的 abc 中， c20， abc110，请在图2 中画出 abc 关于点 b的二分割线，且d

9、bc 角度是（2）已知 c20，在图 3 中画出不同于图1，图 2 的 abc，所画 abc 同时满足： c 为最小角； 存在关于点b 的二分割线，bac 的度数是（3）已知 ca， abc 同时满足： c 为最小角； 存在关于点b 的二分割线，请求出bac 的度数（用a 表示）第6页（共 24页）2019-2020 学年湖北省武汉市汉阳区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3 分，共 30 分）1 （ 3 分） “2019 武汉军运会”部分体育项目的示意图中是轴对称图形的是（）abcd【分析】 根据轴对称图形的定义进行分析即可【解答】 解： a不是轴对称图形，故本选项

10、不合题意；b不是轴对称图形，故本选项不符合题意；c是轴对称图形，故本选项符合题意；d不是轴对称图形，故本选项不合题意；故选： c【点评】 此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义2 （ 3 分）要使分式有意义，则x 的取值范围是（）ax1bx1cx 1dx 1【分析】 分式有意义的条件是分母不等于零【解答】 解：分式有意义，x 10解得； x1故选： b【点评】 本题主要考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键3 （3 分）2019 年下半年猪肉价格上涨，是因为猪周期与某种病毒叠加导致，生物学家发现该病毒的直径约为0.000 000 32mm， 数据 0.000

11、000 32 用科学记数法表示正确的是（）a3.2107b32108c3.2107d3.2108第7页（共 24页）【分析】 绝对值小于1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定【解答】 解： 0.000 000 323.2107故选： c【点评】 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a10n，其中 1|a|10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定4 （ 3 分）下列因式分解正确的是（）a3ax26ax3 （ax22ax）bx2+y2（ x+y

12、） （ xy）ca2+2ab4b2（ a+2b）2dax22ax+aa （x1）2【分析】 根据分解因式的步骤：先提公因式，再用公式法进行分解，可得答案【解答】 解： a、 3ax26ax 3ax（x2） ，故原题分解错误；b、x2+y2不能分解，故原题分解错误；c、a2+2ab4b2不能分解，故原题分解错误；d、ax22ax+aa（x22x+1） a （x1）2，故原题分解正确；故选： d【点评】 此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解5 （ 3 分）下列各式与相等的是（）abc

13、d【分析】 根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0 的整式，分式的值不变，逐项判断即可【解答】 解：，选项 a 不符合题意；第8页（共 24页），选项 b 符合题意；，选项 c 不符合题意；，选项 d 不符合题意故选： b【点评】 此题主要考查了分式的基本性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0 的整式，分式的值不变6 （ 3 分）如图等边abc 边长为1cm，d、e 分别是ab、ac 上两点，将ade 沿直线de 折叠，点 a 落在 a处， a 在 abc 外，则阴影部分图形周长为（）a1cmb1.5cmc2cmd3c

14、m【分析】 由题意得aeae，ad ad，故阴影部分的周长可以转化为三角形abc的周长【解答】 解：将 ade 沿直线 de 折叠，点a 落在点 a处，所以 adad，aeae则阴影部分图形的周长等于bc+bd+ce+ad+ae，bc+bd+ce+ad+ae，bc+ab+ac，3cm故选： d【点评】 本题属于折叠问题，考查了折叠的性质与等边三角形的性质折叠问题的实质第9页（共 24页）是“轴对称”性质的运用，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系7 （ 3 分）对于任何整数m，多项式（ 4m+5）29 都能（）a被 8 整除b被 m 整除c被（ m1）整除d被（ 2m1）整除【分析】 将该

15、多项式分解因式，其必能被它的因式整除【解答】 解： （4m+5）2 9（ 4m+5）232，（ 4m+8） （4m+2） ，8（m+2） （2m+1） ，m 是整数，而（m+2）和（ 2m+1）都是随着m 的变化而变化的数，该多项式肯定能被8 整除故选： a【点评】 本题考查了因式分解的应用，难度一般8 （ 3 分）若 a2+2ab+b2c210，a+b+c5，则 a+bc 的值是（）a2b5c20d9【分析】 根据完全平方公式和平方差公式将a2+2ab+b2c2 10 的左边因式分解得到（a+b+c） （ a+bc） 10，再将 a+b+c5 整体代入即可求解【解答】 解： a2+2ab+b

16、2c210，（a+b）2c2 10，（a+b+c） （ a+bc） 10，a+b+c5，5（a+b c） 10，解得 a+bc2故选： a【点评】 考查了因式分解的应用，关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式，注意整体思想的应用9 （ 3 分）如图，acb 和 ecd 都是等腰直角三角形，ca cb6，cecd， acb的顶点 a 在 ecd 的斜边 de 上，若 ae：ad1：2，则两个三角形重叠部分的面积为（）第10页（共 24页）a6b9c12d14【分析】 设 ab 交 cd 于 o，连接 bd，证明 eca dcb（sas ） ，得出 e cdb45， aebd，作 omde 于 m

17、，onbd 于 n求出 abc 的面积再求出oa与 ob 的比值即可解决问题【解答】 解：设 ab 交 cd 于 o，连接 bd，作 omde 于 m， onbd 于 n，如图所示： ecd acb90， eca dcb，在 eca 和 dcb 中， eca dcb（sas） ， e cdb 45， aebd， edc 45， cdb edc，ae：ad1：2，bd： ad1：2，在 rtadb 中， cacb6，sabc66 18，od 平分 adb，omde 于 m，onbd 于 n，omon，2，第11页（共 24页）saoc18 12；故选： c【点评】 本题考查全等三角形的判定和性质

18、、等腰直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法确定线段之间的关系，属于中考选择题中的压轴题10 （3 分）已知a，b 为实数且满足a 1，b 1，设 m+，n+ 若 ab1 时， mn 若 ab1 时， mn 若 ab1 时， mn 若 a+b 0，则 m?n0则上述四个结论正确的有（）个a1b2c3d4【分析】 根据分式的加法法则计算即可得结论； 根据分式的加法法则计算即可得结论； 根据分式的加法法则计算即可得结论； 根据方式的乘法运算法则计算，再进行分类讨论即可得结论【解答】 解： m+，n+，mnm+ （+） +， 当 ab1 时， mn0，mn，故

19、正确； 当 ab1 时， 2ab2，2ab2 0，当 a0 时， b0， （a+1） （ b+1） 0 或（ a+1） （b+1） 0，mn0 或 mn0，mn 或 m n，故 错误； 当 ab1 时， a 和 b 可能同号，也可能异号，（ a+1） （ b+1） 0 或（ a+1） （b+1） 0，而 2ab 20，第12页（共 24页）mn 或 m n，故 错误； m?n（+） ? （+）+，a+b0，原式+，a 1， b 1，（ a+1）2（ b+1）20，a+b0ab0，m?n0，故 正确故选： b【点评】 本题考查分式的运算法则，解题的关键是分类讨论思想的熟练运用二、填空题（每题3

20、分，共 18 分）11 （3 分）分式的值为 0，则 x 的值是1【分析】 根据分式的值为零的条件得到x10 且 x0，易得 x1【解答】 解：分式的值为 0，x 10 且 x0，x 1故答案为1【点评】 本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零12 （3 分）已知等腰三角形的一边长等于4cm，一边长等于9cm，它的周长为22cm【分析】 题目给出等腰三角形有两条边长为4cm 和 9cm，而没有明确腰、 底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形【解答】 解：分两种情况：当腰为 4 时， 4+4 9，所以不能构成三角形；当腰为 9

21、 时， 9+9 4，994，所以能构成三角形，周长是：9+9+4 22故答案为： 22cm第13页（共 24页）【点评】 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键13 （3 分）若 4?2n2，则 n1【分析】 根据同底数幂的乘法法则计算即可，同底数幂相乘，底数不变，指数相加【解答】 解： 4?2n22?2n22+n2，2+n1，解得 n 1故答案为：1【点评】 本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键14 （3 分）分式方程的解是x9【

22、分析】 观察可得最简公分母是x（x 3） ，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解【解答】 解：方程的两边同乘x（x3） ，得3x92x，解得 x9检验：把x9 代入 x（x3） 540原方程的解为：x 9故答案为： x9【点评】 本题考查了解分式方程，注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解（2）解分式方程一定注意要验根15 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，有一个正三角形abc，其中b，c 的坐标分别为（1，0）和 c（2，0） 若在无滑动的情况下，将这个正三角形沿着x 轴向右滚动，则在滚动的过程中，这个正三角形的顶点a，b，c 中，会过

23、点（ 2020，1）的是点a，c第14页（共 24页）【分析】 先作直线y1，以 c 为圆心以1 为半径作圆， 发现在第一次滚动过程中，点a、b 经过点（ 2，1） ，同理可得，再根据每3 个单位长度正好等于正三角形滚动一周即可得出结论【解答】 解：由题意可知：第一次滚动：点a、b 经过点（ 2，1） ，第二次滚动：点b、c 经过点（ 3，1） ，第三次滚动：点a、c 经过点（ 4，1） ，第四次滚动：点a、b 经过点（ 5，1） ，发现，每三次一循环，所以（20201） 3673，这个正三角形的顶点a、b、c 中，会过点（ 2020， 1）的是点 a、c，故答案为： a，c【点评】 本题考查

24、的是等边三角形的性质、旋转的性质及坐标与图形的性质，根据题意作出辅助圆，利用旋转的性质得出经过（2，1） 、 （3，1）的等边三角形的顶点，利用数形结合解决问题16 （3 分）如图，在abc 中， cab30， acb90， ac3，d 为 ab 的中点，e 为线段 ac 上任意一点 （不与端点重合） ，当 e 点在线段ac 上运动时， 则 de+ce 的最小值为【分析】 可以作 cgab 构造 gca cab30，再过点d 作 dfcg 交 ac 于点e，得 efce，所以 de+cede+efdf 最小，根据特殊角三角函数值即可求得第15页（共 24页）df 的长【解答】 解：如图，在 a

25、bc 中， cab30， acb90， ac3，作 cgab gca cab30过点 d 作 df cg 交 ac 于点 e，efce所以 de+cede+efdf 最小， cab30， acb90， ac3，ab 2d 为 ab 的中点，cdadab dcf 60df dc?cos60所以 de+ce 的最小值为故答案为【点评】 本题考查了直角三角形斜边上的中线、含30 度角的直角三角形，解决本题的关键是构造适当的辅助线三、解答题（共8 个小题，共72 分）17 （8 分） （1）计算： a3?a4?a+（ a2）4+（ 2a4）2（2）因式分解： 9x2y+6xy+y【分析】（1）直接利用

26、同底数幂的乘法法则和积的乘方法则分别计算，再合并同类项即可；第16页（共 24页）（2）先提取公因式，再套用完全平方公式【解答】 解： （1）a3?a4?a+（a2）4+（ 2a4）2a8+a8+4a86a8；（2）9x2y+6xy+yy（ 9x2+6x+1）y（ 3x+1）2【点评】 本题主要考查了同底数幂的乘法运算和积的乘方运算及整式的因式分解，正确掌握相关运算法则是解题关键18 （8 分）已知；如图，adbc，acbd，求证： aeeb【分析】 首先利用sss 定理证明 adb bca，再根据全等三角形对应角相等可得cab dba，再根据等角对等边可得aebe【解答】 证明；在abd 和

27、 bac 中， adb bca（sss ） ， cab dba，aebe【点评】 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握证明三角形全等的方法19 （8 分） （l）化简：（2）先化简（） ?，再取一个适当的数代入求值【分析】（1）根据分式的加减运算法则计算，再约分即可得；（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x 的值代入计算可得【解答】 解： （1）原式；第17页（共 24页）（2）原式?3x+3x+12x+4，当 x2 时，原式4+4 8【点评】 本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则20 （8 分）如图， abc

28、三个顶点的坐标分别为a（1，1） 、b （4，2） 、c（3，4） （1） 若 a1b1c1与 abc 关于 y轴成轴对称， 则 a1b1c1三个顶点坐标分别为：a1（1， 1）， b1（ 4，2），c1（ 3，4）；（2）若 p 为 x轴上一点，则pa+pb 的最小值为3；（3）计算 abc 的面积【分析】（1）分别作出点a， b，c 关于 x 轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；（2）作出点 a 的对称点，连接ab，则 ab 与 x 轴的交点即是点p 的位置，则pa+pb 的最小值 ab，根据勾股定理即可得到结论；（3）根据三角形的面积公式即可得到结论【解答】 解： （1）如图所示，a1b1

29、c1即为所求，由图知， a1的坐标为（ 1，1） 、b1的坐标为（4， 2） 、c1的坐标为（3，4） ；（2）如图所示：作出点 a 的对称点，连接ab，则 ab 与 x 轴的交点即是点p 的位置，则 pa+pb 的最小值 ab，ab3，第18页（共 24页）p a+pb 的最小值为3；（3） abc 的面积 3 3 311223，故答案为：（ 1，1） ， （ 4，2） （ 3，4） ，5【点评】 本题主要考查作图轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质及利用轴对称性质求最短路径21 （8 分）我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式例如由图1

30、 可以得到a2+3ab+2b2（ a+2b） （a+b）请回答下列问题（1）写出图 2 中所表示的数学等式是2a2+5ab+2b2（ 2a+b） （a+2b）；（2）如图 3，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么？（用含有x，y 的式子表示）4xy（ x+y）2（ xy）2（3）通过上述的等量关系，我们可知当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小，则积越大（填“大“或“小“） ；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小，则和越小（填“大”或“小” ） 【分析】（1）图 b 面积有两种求法，可以由长为2a+b，宽为 a+2b 的矩形面积求出，也

31、可以由两个边长为a 与边长为b 的两正方形，及 4 个长为 a， 宽为 b 的矩形面积之和求出，表示即可；（2）阴影部分的面积可以由边长为x+y 的大正方形的面积减去边长为xy 的小正方形第19页（共 24页）面积求出，也可以由4 个长为 x，宽为 y 的矩形面积之和求出，表示出即可；（3）两正数和一定，则和的平方一定，根据等式4xy（ x+y）2（ xy）2，得到被减数一定，差的绝对值越小，即为减数越小，得到差越大，即积越大；当两正数积一定时，即差的绝对值越小，得到减数越小，可得出被减数越小；【解答】 解： （1）2a2+5ab+2b2（ 2a+b） （ a+2b） ；（2）4xy（ x+y

32、）2（ xy）2；（3）当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小则积越大；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小则和越小；故答案为： 2a2+5ab+2b2（ 2a+b） （a+2b） ，4xy（ x+y）2（ xy）2，大，小【点评】 本题考查了完全平方公式的几何背景，弄清题意是解本题的关键22 （10 分）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种 已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10 元，用 480 元购买乙种树苗的棵数恰好与用 360 元购买甲种树苗的棵数相同（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种

33、树苗共50 棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过 1500 元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？【分析】（1）可设甲种树苗每棵的价格是x 元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，根据等量关系： 用 480 元购买乙种树苗的棵数恰好与用360 元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可；（2）可设他们可购买y 棵乙种树苗，根据不等关系：再次购买两种树苗的总费用不超过1500 元，列出不等式求解即可【解答】 解： （1）设甲种树苗每棵的价格是x 元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，依题意有，解得： x30经检验， x3

34、0 是原方程的解，x+1030+1040答：甲种树苗每棵的价格是30 元，乙种树苗每棵的价格是40 元第20页（共 24页）（2）设他们可购买y 棵乙种树苗，依题意有30（ 110%） （50y）+40y1500，解得 y11，y 为整数，y 最大为 11答：他们最多可购买11 棵乙种树苗【点评】 考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系和不等关系是解决问题的关键23 （10 分）如图，在等边abc 中，点 d，e 分别是 ac，ab 上的动点，且aecd，bd交 ce 于点 p（1）如图 1，求证： bpc120；（2）点 m 是边 bc 的中点，连接pa，pm 如图 2，若点 a

35、，p，m 三点共线，则ap 与 pm 的数量关系是ap2pm 若点 a，p， m 三点不共线，问 中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由【分析】（1）由“ sas”可证 aec cdb，可得 ace cbd，由三角形的内角和定理可得结论；（2） 由等边三角形的性质和已知条件得出bac abc acb 60，am bc，bap capbac30，得出pbpc，由等腰三角形的性质得出pbcpcb30，得出pc2pm，证出 acp60 30 30 cap，得出 ap pc，即可得出ap2pm； 延长 bp 至 h，使 phpc，连接 ah、ch，延长 pmmn，连接 cn，由“ s

36、as ”可第21页（共 24页）证 ach bcp，可得ah bp， ahc bpc120，由“ sas ”可证 cmnbmp，可得cnbp ah， ncm pbm ，由“ sas ”可证 ahp ncp，可得appn2pm；【解答】 证明： （1） abc 是等边三角形，abacbc， a abc acb60，且 aecd， aec cdb（sas） ace cbd， bpc+dbc+bcp180， bpc+ace+bcp180， bpc180 acb120；（2） ap2pm，理由如下： abc 是等边三角形，点m 是边 bc 的中点， bac abc acb60， ambc， bap capbac 30，pbpc， bpc120， pbc