高考备考指南数学第13章第4讲

1、第十三章第 4 讲a 级基础达标 1(2016 年宝鸡一模 )已知函数f(x)2 x5x. (1)求证： f(x)5，并说明等号成立的条件；(2)若关于 x 的不等式f(x)|m2|恒成立，求实数m 的取值范围【解析】 证明： (1)由柯西不等式可得(2x5x)2(2212)(x)2(5x)225， f(x)2x5x 5，当且仅当x25x1，即 x4 时等号成立(2)解： 关于 x 的不等式f(x)|m2|恒成立，等价于|m2|5， m7 或 m 3. 2已知正数x，y，z 满足 x 2y3z1，求1x2y3z的最小值【解析】1x2y3z1x2y3z(x2y 3z)14 92yx3zx2xy6

2、zy3xz6yz1422yx2xy23zx3xz26zy6yz 36(当且仅当xyz16时等号成立 )，所以1x2y3z的最小值为36 3设函数f(x)|x4| |x3|，f(x)的最小值为m. (1)求 m 的值；(2)当 a2b3c m(a， b，cr)时，求 a2b2c2的最小值【解析】 (1)f(x)|x4|x3|(x4)(x3)| 1，故函数f(x)的最小值为1，即 m1. (2)(a2b2 c2)(122232)(a2b3c)21，故 a2b2c2114，当且仅当 a114，b17，c314时取等号故 a2b2c2的最小值为114. 4(2016 年长春质检 )(1)已知 a，b

3、都是正数且a b，求证： a3b3a2bab2；(2)已知 a，b，c 都是正数，求证：a2b2b2c2c2a2a bcabc. 【证明】 (1)(a3b3) (a2b ab2) (ab)(ab)2. 因为 a，b 都是正数，所以ab0. 又 ab，所以 (ab)20. 于是 (ab)(ab)20，即(a3b3)(a2bab2)0，所以 a3b3a2b ab2. (2)因为 b2 c22bc，a20，所以 a2(b2 c2)2a2bc.同理， b2(a2 c2)2ab2c.c2(a2b2)2abc2.相加得2(a2b2b2c2c2a2)2a2bc2ab2c2abc2，从而 a2b2b2c2c2

4、a2abc(abc)由 a，b，c 都是正数，得abc0，因此a2b2b2c2c2a2abcabc. 5设 a，b，c 为正数且a bc1，求证：a1a2 b1b2 c1c21003. 【证明】a1a2 b1b2 c1c213(121212)a1a2 b1b2 c1c2131 a1a1 b1b1 c1c21311a1b1c2131 abc1a1b1c213(19)21003. 即原不等式成立b 级能力提升 6不等式 |x14|112的解集为 x|nxm(1)求实数 m， n；(2)若实数 a，b 满足： |a b| m， |2ab|n，求证： |b|518. 【解析】 (1)由x14112得1

5、12x14112，即16 x13，不等式|x14|112的解集为 x|nxm， n16， m13. (2)证明： 3|b|3b|2(ab)(2a b)|2|ab|2ab|， |ab|m，|2a b| n， |ab|13，|2ab|16，则 3|b|2|ab|2ab|2131656，即|b|518. 7已知函数f(x)|x1|x 3| m(mr)，不等式f(x) 5 的解集为 ( 4,2)(1)求 m 的值；(2)实数 a，b，c 满足 a2b24c29m，求证： abc14. 【解析】 (1) f(x)|x1|x 3| m，当x 3 时，由不等式2x 2m5，得 xm72. 当 3 x1 时，

6、 4m5. 当 x1 时，由不等式2x2 m 5，得 x3m2. 不等式 f(x)5 的解集为 (4,2)，x00m72x3 m2x|4x2， m1. (2)证明：由 (1)知， a2b24c291， (abc)2 1a2b23c32(122232) a2b24c2914， abc14. 8(2016 年湖南一模 )已知实数m，n 满足：关于x 的不等式 |x2mxn|3x2 6x9|的解集为 r. (1)求 m，n 的值；(2)若 a，b，c 均为正实数，且a bcmn，求证：abc3. 【解析】 (1)不等式|x2mxn|3x26x9|的解集为r，令 3x2 6x9 0，得 x 1 或 x3，故 x 1 或 x3 时， x2mxn0，则 x 1 和 x3 为方程 x2mxn 0 的两根，故 1 32 m， 13 3 n，解得 m 2，n 3，当 m 2，n 3 时，不等式 |x2mxn| |3x26x9|即为 |x22x3|3|x22x3|，即有 |x22x3|0，则解集为r. 故 m 2，n 3. (2)证明：若a， b，c 均为正实数，且abcmn1，由 ab2ab，bc2 bc，ca 2 ca，累加得，