高考备考指南数学第13章第2讲

1、第十三章第 2 讲a 级基础达标 1已知曲线c：x24y291，直线 l：x2t，y22t(t 为参数 )(1)写出曲线c 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线 c 上任意一点p 作与 l 夹角为 30 的直线， 交 l 于点 a，求|pa|的最大值与最小值【解析】 (1)曲线 c 的参数方程为x2cos ，y3sin (为参数 )直线 l 的普通方程为2xy60. (2)曲线 c 上任意一点p(2cos ，3sin )到 l 的距离为d55|4cos 3sin 6|. 则|p a|dsin 302 55|5sin( )6|，其中 为锐角，且tan 43. 当 sin( ) 1 时，

2、|pa|取得最大值，最大值为2255. 当 sin( ) 1 时， |pa|取得最小值，最小值为2 55. 2 (2016 年南昌校级二模)在直角坐标系xoy 中， 曲线 c1的参数方程为x2tcos ，y1tsin (t 是参数， 0 )，以原点o 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程为221cos2. (1)求曲线 c1的普通方程和曲线c2的直角坐标方程；(2)当 4时，曲线c1和 c2相交于 m，n 两点，求以线段mn 为直径的圆的直角坐标方程【解析】 (1)对曲线 c1消去参数 t，得当 2时， y1tan (x2)；当 2时， x2. 对于曲线 c2：22c

3、os2 2， x2y2x22，则 x2y22 1. (2)当 4时，曲线c1的方程为x y10，联立 c1， c2的方程消去y 得 3x22x10， |mn|223243423，圆心为13，23，从而所求圆的方程为x132 y23289. 3(2016 年邯郸二模 )已知曲线c 的极坐标方程为 4cos ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为x532t，y12t(t 为参数 )(1)求曲线 c 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；(2)设曲线 c 与直线 l 相交于 p，q 两点， 以 pq 为一条边作曲线c 的内接矩形， 求该矩形的面积【解析】 (1)对于

4、 c：由 4cos ，得 24 cos ，进而 x2y24x. 对于 l：由x532t，y12t(t 为参数 )，得 y13(x5)，即 x3y50. (2)由(1)可知 c 为圆，且圆心为(2,0)，半径为2，则弦心距 d|2305|1332，弦长 |pq|2223227，因此以 pq 为边的圆c 的内接矩形面积s2d |pq|3 7. 4(2016 年南昌模拟 )以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 c 的参数方程为x2cos t，y2sin t(t 为参数 )(1)若曲线 c 在点 (1,1)处的切线为l，求 l 的极坐标方程；(2)若点 a 的极坐标为2 2

5、，4，且当参数t 0， 时，过点a 的直线 m 与曲线 c 有两个不同的交点，试求直线m 的斜率的取值范围【解析】 (1)由x2cos t，y2sin t，可得 x2y22，点 (1,1)在圆上，故切线方程为xy 2， sin cos 2，l 的极坐标方程为 sin 42. (2)点 a 的直角坐标为 (2,2) ，设 m：yk(x 2)2，m 与半圆 x2y2 2(y0)相切时，|2k2|1k22， k24k 10， k23或 k23(舍去 )设点 b(2，0)，则 kab202222，由图可知直线m 的斜率的取值范围为(23，22b 级能力提升 5(2016 年郑州模拟 )在直角坐标系xo

6、y 中，以 o 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 c 的极坐标方程为 22cos 4，直线 l 的参数方程为xt，y 122t(t 为参数)，直线 l 与圆 c 交于 a，b 两点， p 是圆 c 上不同于a，b 的任意一点(1)求圆心的极坐标；(2)求 pab 面积的最大值【解析】 (1)圆 c 的直角坐标方程为x2 y2 2x2y0，即 (x1)2(y1)22. 所以圆心坐标为(1， 1)，圆心极坐标为2，74. (2)直线 l 的普通方程为22xy 10，圆心到直线l 的距离 d|2 211|3223，所以 |ab|22892 103，点 p 到直线 ab 距离的最大值为22

7、 23523，故最大面积smax1221035 231059. 6(2016 年鹰潭一模 )已知曲线c 的极坐标方程是 4cos .以极点为平面直角坐标系的原点， 极轴为 x 轴的正半轴， 建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是x1tcos ，ytsin (t 是参数 )(1)将曲线 c 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线 l 与曲线 c 相交于 a， b 两点，且 |ab|14，求直线的倾斜角的值【解析】 (1) cos x， sin y，2 x2 y2，曲线c 的极坐标方程 4cos 可化为24 cos ， x2y24x， (x2)2y24. (2)将x1tcos ，ytsin

8、 代入圆的方程(x2)2 y2 4，得(tcos 1)2(tsin )24，化简得 t22tcos 30. 设 a，b 两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t22cos ，t1t2 3， |ab|t1t2|t1t224t1t24cos2 12. |ab|14， 4cos2 1214. cos 22. 0， )， 4或 34.直线的倾斜角 4或 34.7(2016 年洛阳二模 )已知曲线c 的极坐标方程是 2cos ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴， 建立平面直角坐标系， 直线 l 的参数方程是x32tm，y12t(t 为参数 )(1)求曲线 c 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)设点 p(m,0)，若直线l 与曲线 c 交于 a，b 两点，且 |pa| |pb|1，求实数m 的值【解析】 (1)曲线 c 的极坐标方程是 2cos ，化为 22 cos ，可得直角坐标方程x2y22x. 直线 l 的参数方程是x32tm，y12t(t 为参数 )，消去参数t 可得