离散时间傅里叶变换.PPT

1、1ktjkketx0a)(TtjkkdtetxTa0)(1 nNjkNnkenxNa21 NknNjkkeanx2复习知识点：复习知识点：2 njknjktjktenheHdtethjkH0000 其中：h（t）h n3基本内容：基本内容：1. 1. 离散时间傅里叶变换；离散时间傅里叶变换；2. 2. 离散周期信号的傅里叶变换；离散周期信号的傅里叶变换；3. 3. 傅里叶变换的性质；傅里叶变换的性质；4. 4. 系统的频率响应与频域分析；系统的频率响应与频域分析；The Discrete time Fourier TransformThe Discrete time Fourier Trans

2、form4注释注释: vCFS ( the continuous Fourier series ): 连续时间傅里叶级数连续时间傅里叶级数 vDFS ( the discrete Fourier series ): 离散时间傅里叶级数离散时间傅里叶级数v CTFT (the continuous time Fourier transforms )： 连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换v DTFT( the discrete time Fourier transforms ): 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换55.1 5.1 非周期信号的表示：非周期信号的表示： 离散时间傅里叶变换离散时

3、间傅里叶变换 一、从傅里叶级数到傅里叶变换一、从傅里叶级数到傅里叶变换 本章将采用与讨论本章将采用与讨论CTFTCTFT完全相同的思想方法，来研完全相同的思想方法，来研究离散时间非周期信号的频域分解问题。究离散时间非周期信号的频域分解问题。 6nxnxN 即即 从从DFSDFS的分析中得出的分析中得出DTFTDTFT。周期信号周期信号nx非周期信号非周期信号nx71. 1. 傅里叶变换傅里叶变换NknNjkkeanx2NnnNjkkenxNa2121 NjknNknax n eN （当）8当当N 时时， nxnx,20dNNk2)(jnjnkeXenxNa离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换信

4、号的频谱信号的频谱NkjkkjeXNaNaeX2| )(1,)(njnjenxeX)(nNjknkenxNa21令令9)()()2(jnjnjeXenxeX为周期信号，周期为为周期信号，周期为2 。)(jeX重要结论重要结论：10当当N,nNjkeeXNeanxNkNjkNknNjkk2)(122 2)(21deeXnxnxnjj,211dN210N11nnjjenxeX)(离散非周期序列的傅里叶变换：2)(21deeXnxnjj傅里叶傅里叶变换变换傅里叶傅里叶逆变换逆变换12二、常用信号的离散时间傅里叶变换二、常用信号的离散时间傅里叶变换1|,anuanxn1.0)(nnjnnnjjeaen

5、xeX0)(nnjae)(| )(|11jeXjjjeeXaecos211|(|2)aaeXjcos1sin)(1aatgeXj130110ax nax n （ ）（ ）时时, ,低通特性低通特性, ,时时, ,高通特性高通特性, ,单调指数衰减单调指数衰减摆动指数衰减摆动指数衰减nxnx141| ,|aanxn10|)(nnjnnnjnnnjnjeaeaeaeX10)()(nnjnnjaeae22cos211111aaaaeaeaejjj 2. 15可以得出结论可以得出结论: :实偶序列实偶序列实偶函数实偶函数( (频域频域) )162sin)21sin()(111NeeXNNnnjj11N

6、nNn3 3 、矩形脉冲、矩形脉冲: :有同样的结论有同样的结论:实偶信号实偶信号实偶函数实偶函数10 nx17当当12N 时时,181sin(21)1,sinkkNNaNkN21()jkkNaX eN非周期矩形脉冲傅里叶变换的两点比较非周期矩形脉冲傅里叶变换的两点比较:1. 与对应的离散周期性矩形脉冲与对应的离散周期性矩形脉冲频谱系数频谱系数相比较相比较显然有显然有周期离散矩形脉冲的傅里叶级数系数：周期离散矩形脉冲的傅里叶级数系数：1001sin12sin2NkkN非周期离散矩形脉冲的傅里叶变换：非周期离散矩形脉冲的傅里叶变换：11sin2()sin2jNX e19连续时间非周期矩形脉冲傅里

7、叶变换：连续时间非周期矩形脉冲傅里叶变换：2. 与对应的与对应的连续时间矩形脉冲连续时间矩形脉冲比较比较,0, 1)(tx11TtTt12TjXsin)(11sin2()sin2jNX e离散时间矩形脉冲的傅里叶变换：离散时间矩形脉冲的傅里叶变换：20 4. nnx1)(jeX 1njnnjnjenenxeX21三、离散时间傅里叶变换的收敛性三、离散时间傅里叶变换的收敛性这是一个无限项的求和，存在着一个这是一个无限项的求和，存在着一个收敛条件：收敛条件：条件条件1 1： 条件条件2 2：nnx|nnx2|njnjenxeX)(例例5.1，5.2是无限长序列是无限长序列其傅里叶变换存在。其傅里叶

8、变换存在。此时此时;| ,|1aanxn1|,anuanxn225.2 5.2 周期信号的周期信号的DTFTDTFTDTFT for periodic signalsDTFT for periodic signals 002,jte （）对连续时间信号对连续时间信号, ,有有由此由此推断对离散时间信号或许有相似的情况推断对离散时间信号或许有相似的情况. .但由于但由于DTFTDTFT一定是以一定是以2为周期的为周期的, ,因此因此, ,频域的冲激应该是周频域的冲激应该是周期性的冲激串期性的冲激串: :022kk （）对其作反变换有对其作反变换有 njnjnjjededeeXnx0202211F

9、230022jnkke （）可见可见, ,由由DFS ,DFS ,有有 NeanxNknjkk2,000 ()2(2)jkkNlx nX eakl 因此因此, ,周期信号周期信号可表示为可表示为DTFTDTFT nx1F24lljlalaeX)2(2)2(2)(010lNlNa)2) 1(2.01N/2,0比较：比较：可以看出与周期性连续时间傅里叶变可以看出与周期性连续时间傅里叶变 换的形式是基本一样的。换的形式是基本一样的。如图如图P263 Fig5.9:下页下页kkjkNaeX)2(2)(如果周期函数中包含连续相继的如果周期函数中包含连续相继的N次谐波，则有：次谐波，则有：2526kjkk

10、eX)2()2()(00)(jeX0220200002202例例1 1不一定不一定是周期的是周期的, ,当当02kN时是周期的时是周期的. .如图所示如图所示: :)(21cos000njnjeennx nnx0cos27NenNenxNanjkNnNnnjkk1110010kjkNNeX)2(2)(nx1N0NN2N2nN2N2)(jeXN20N4N4例：例：均匀脉冲串均匀脉冲串比较比较: :与连续时间情况下对应的一致与连续时间情况下对应的一致. . kNnnxk28 5.3 5.3 离散时间傅里叶变换的性质离散时间傅里叶变换的性质1. . 周期性周期性)(jeX是以是以2 为周期的。为周期

11、的。比较比较: :这是与这是与CTFTCTFT不同的不同的)()()(),(21212211jjjjebXeaXnbxnaxeXnxeXnx2. 2. 线性线性jjeXeX229)(jeXnx0)(0njjeeXnnx3. 3. 时移与频移性质时移与频移性质)()(00jnjeXnxe30例：求例：求02)21(knknnx的的)(jeX1nkjekn222022)21(11)21()(jkkjkjeeeX022)21(kkknnx解：解：3132)(jeXnx5. 5. 共轭对称性共轭对称性)(*jeXnx)(*)(jjeXeX*nxnx若若 是实序列，则是实序列，则nx)(),(jjeXn

12、xeXnx4 4、时间反转、时间反转: :33)()(),()(*jjjjeXeXeXeX)(Im)(Im)(Re)(Re)()()()(jjjjjjjjeXeXeXeXeXeXeXeX)(*jeXnxnxnx),()()(*jjjeXeXeX即即v 若若nx是实信号是实信号, ,则则*nxnx因此因此: :v 若若nx是实偶信号是实偶信号, ,则则,nxnx于是有于是有: :即即是实偶函数是实偶函数. .)(jeX由此可进一步得到以下结论由此可进一步得到以下结论: :)(*)(jjeXeX34,*nxnxnxnx),()()(*jjjeXeXeX)(Im)(RejojeoeeXjnxeXnx

13、nxnxnx，v若若是实奇信号是实奇信号, ,则则nx于是有于是有: :表明表明是虚奇函数是虚奇函数. .)(jeXv若若则则说明说明: :这些结论与连续时间情况下完全一致这些结论与连续时间情况下完全一致. .356. 6. 时域差分与累加时域差分与累加)(jeXnx)()1 ( 1jjeXenxnxkjjjnmkeXeeXmx)2()(1)(0kjnmkenunmnu)2(111例例: :累加器：累加器：367. 7. 时域与频域的尺度变换时域与频域的尺度变换0,)(knxnxkn是是k的整倍数。的整倍数。其它其它nrrkjknnjkjkerkxenxeX)()()()()(jkrrkjeX

14、erx)()(jkkeXnx)(jeXnx信号的反转：信号的反转：图图5.1337返回返回0,)(knxnxkn是是k的整倍数。的整倍数。其它其它n3839例例5.9 作为时域扩展性质在确定傅里叶变换应用中的一个例子作为时域扩展性质在确定傅里叶变换应用中的一个例子408. 8. 频域微分特性频域微分特性)(jeXnxdedXjnnxj)(419. 帕斯瓦尔定理帕斯瓦尔定理若若则则deXnxjn222| )(|21| |22| |1NkkNnanxN)(jeXnx非周期信号非周期信号 能量能量周期信号周期信号 功率功率对比：对比：说明：说明：一个周期信号中的平均功率等于它各次谐波一个周期信号中的

15、平均功率等于它各次谐波分量的平均功率之和。分量的平均功率之和。4243444545 njknjktjktenheHdtethjkH0000 其中：h（t）h n复习上节课内容：第四章第五节第四章第五节()()()Y jX jH jjXjbjYjaMkkkkNkk00NkkkMkkkjajbjH004646nnjjenxeX)(第五章：2)(21deeXnxnjj 002,jknkkNx na eNkkjkNaeX)2(2)(离离散散非非周周期期序序列列离离散散周周期期序序列列47472| |2112 ,| 11112cosjnjjaeax naaaeaeaa、11,|11njx na u na

16、a e、2sin)21sin()(111NeeXNNnnjj11NnNn3 3 、矩形脉冲、矩形脉冲: :10 nx 4.4. nnx1)(jeX常用信号的离散时间傅里叶变换常用信号的离散时间傅里叶变换 0005cos()(2)(2)jkx nnX ekk 、 226()()jkkx nnkNX ekNN 、48 若若 则则卷积特性是频域分析卷积特性是频域分析LTILTI系统的理论基础。系统的理论基础。)(jeXnx)(jeHnh)()(*jjeHeXnhnx49)()(jjnkeUeXkxkjjkeeX)2(11)(kjjjkeXeeX)2()(1)(0例例: :累加性质的证明累加性质的证明

17、*nunxkxnk证明：证明：50例例5.12：离散时间的理想低通滤波器：离散时间的理想低通滤波器51例例5.14 分析系统互联的应用。分析系统互联的应用。52 若若 则则调制特性在信息传输中是极其重要的。调制特性在信息传输中是极其重要的。)(jeYny)(jeXnx)()(21jjeYeXnynx2)()()(21deYeXjj周期卷积周期卷积(调制特性调制特性)53ncnxnyncnx, 1nnckjnjnkeCenc)2(2)( 1)()()()(2121)()(20)(2jjjjjjjjeXdeXdeXdeXeCeXeCeY例例: :由此可见，周期卷积可以转化成非周期卷积来求解。见例题

18、由此可见，周期卷积可以转化成非周期卷积来求解。见例题5.155.15545556575858ktjkketx0a)(TtjkkdtetxTa0)(1 nNjkNnkenxNa21 NknNjkkeanx2复习知识点：复习知识点：nnjjenxeX)(2)(21deeXnxnjj傅里叶傅里叶变换变换傅里叶傅里叶逆变换逆变换59一、离散时间傅里叶级数的对偶性一、离散时间傅里叶级数的对偶性kaanxk对离散周期序列对离散周期序列nNjkNnenxNka21kNjmNmemxN211kxNnanNjkNkekxNna21 5.7 5.7 对偶性对偶性60,1kxN这表明这表明序列的序列的DFSDFS系

19、数就是系数就是即即: :na kxNaanxDFSnkDFS 1611kxNaanxnkkMNjMnekxNa21MkMnNjMkMnNjaenxaNenxN2211，MkMnNjkaenxanx2例例1:1:从时移到频移从时移到频移利用利用时移性质时移性质有有: :由对偶性有由对偶性有: :即是即是频移特性频移特性62)()(jnjnjeXenxeX),(jteX2)()(21,)(0dteeXaeaeXtkjjtkktjkkjt二、二、DTFTDTFT与与CFSCFS间的对偶间的对偶由由可知可知是一个以是一个以2为周期的连续函数为周期的连续函数, ,deeXnxnjj2)(21若在时域构造

20、一个以若在时域构造一个以为周期的连续时间信号为周期的连续时间信号则可将其表示为则可将其表示为CFS:CFS:263 nxakka比较比较和和的表达式可以看出的表达式可以看出这表明这表明 利用这一对偶关系利用这一对偶关系, ,可以将可以将DTFTDTFT的若干特性对的若干特性对偶到偶到CFSCFS中去中去; ;或者反之。或者反之。nx kxeXeXnxCFSjtjDTFT 64kCFSkaTjtxdtd2)( )(),(kxeXeXnxCFSjtjDTFT )(2)(2)(jCFSjteXddnjnxTkxkjkkxTjeXdtd），（例例: :从从CFSCFS的时域微分到的时域微分到DTFTD

21、TFT的频域微分的频域微分-CFSCFS的时域微分的时域微分特性特性若若则则-DTFTDTFT的频域微分的频域微分特性特性65可以将对偶关系归纳为如下图表可以将对偶关系归纳为如下图表: :CFS连续时间傅里叶级数katx)(离散、非周期连续、周期DFS离散时间傅里叶级数 离 散 、 周 期 离 散 、 周 期连续、非周期连续、非周期CTFT连续时间傅里叶变换)(2)()()(xjtXjXtxDTFT离散时间傅里叶变换)(jeXnx连续、周期离散、非周期)2(1kTjXTak)(12kNjkeXNa)(jDTFTeXnx )(kxeXCFSjt kanxkxNan166时域的连续性时域的连续性

22、频域的非周期性频域的非周期性时域信号与其频域频谱的关系时域信号与其频域频谱的关系非周期、连续非周期、连续 非周期、离散非周期、离散周期、周期、 离散离散周期、周期、 连续连续连续、非周期信号连续、非周期信号离散、非周期信号离散、非周期信号连续、周期信号连续、周期信号时域的周期性时域的周期性 频域的离散性频域的离散性离散、周期信号离散、周期信号时域的离散性时域的离散性 频域的周期性频域的周期性 时域的非周期性时域的非周期性 频域的连续性频域的连续性67P28268 5.8 5.8 离散时间离散时间LTILTI系统的频域分析系统的频域分析一、一、LTI系统的频域分析系统的频域分析时域：时域：nhn

23、xny)()()(jjjeHeXeY)(jeHnh)(,jeH称为系统的称为系统的频域响应频域响应。频域：频域：LTInx)(jeXnhny)(jeYjeH69二、系统的频域响应二、系统的频域响应)(jeH kkh)(jeH这说明了只有稳定系统，才能求其频率响应这说明了只有稳定系统，才能求其频率响应。* 所表征的系统一定是一个稳定系统。所表征的系统一定是一个稳定系统。 刻画了刻画了LTI系统的频域表征，它是系统单位冲系统的频域表征，它是系统单位冲激响应的傅里叶变换。激响应的傅里叶变换。但所有的但所有的LTI系统并不一定都存在频域响应。这里有一系统并不一定都存在频域响应。这里有一个先决条件，即个

24、先决条件，即70MkkNkkknxbknya00MkjjkkNkjjkkeXebeYea00)()(NkjkkMkjkkjjjeaebeXeYeH00)()()(三、由线性常系数差分方程表征的系统三、由线性常系数差分方程表征的系统例例5.1971 由差分方程所描述的系统通过求频率响应由差分方程所描述的系统通过求频率响应可直接求出其单位脉冲响应。可直接求出其单位脉冲响应。 当然，求出了单位冲激响应，理论上就能当然，求出了单位冲激响应，理论上就能够求出任何激励的响应了。够求出任何激励的响应了。见例见例A.4 P66872频域分析的方法：频域分析的方法：1、将信号与系统的时域表征转换为频域表征；、将

25、信号与系统的时域表征转换为频域表征； )(jeXnx)(jeHnh2、利用卷积性质：、利用卷积性质：)()()(jjjeHeXeY3、将频域表征转换为时域表征；、将频域表征转换为时域表征；)(1jeYFny 利用频域分析方法，对输入、输出与系统的表征，若已知利用频域分析方法，对输入、输出与系统的表征，若已知其中两个表征就可求出第三个，从而不仅可以分析系统而且还其中两个表征就可求出第三个，从而不仅可以分析系统而且还可以设计系统。可以设计系统。例例5.2073v本章与第本章与第4 4章平行的讨论了章平行的讨论了DTFT,DTFT,讨论的基本思路讨论的基本思路和方法与第和方法与第4 4章完全对应章完全对应, ,许多结论也很类似许多结论也很类似. . v通过对通过对DTFTDTFT性质的讨论揭示了离散时间信号时域性质的讨论揭示了