四川省棠湖中学2019-2020学年高三下学期第二次月考数学(文)试题(解析版)

1、2020 年春四川省棠湖中学高三第二学月考试文科数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第 i 卷选择题（ 60 分）一、选择题：本题共12小题，每小题 5 分，共 60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1.设集合1,2,6,2,4,| 15abcxxr，则()abca. 2b. 1,2,4c. 1,2,4,6d. | 15

2、xrx【答案】 b 【解析】()12 4 6 151 24abc， ， ， , 选 b. 【考点】集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理. 2.已知复数 z 满足(1+ 2 )34i zi，则z（）a. 2b. 5c. 5d. 52【答案】 c 【解析】【分析】先由复数除法求出z ，然后再求模【详解】由题意34(34 )(12 )36481212(12 )(12 )5iiiiiziiii，2212( 1)( 2)5zi故选： c【点睛】本题考查求复数的模，考查复数的除法运算属于基础题本题还可以由模的性质求解：由(1+ 2 )3 4i

3、zi得(1+ 2 )34izi，|(1+ 2 )|34izi，55z，5z3.已知命题:0,1pm，12mxx，则p为（）a. 10,1 ,2mmxxb. 0010,1 ,2mmxxc. 001(,0)(1,),2mmxxd. 0010,1 ,2mmxx【答案】 d 【解析】试 题 分 析 ： 根 据 全 称 命 题 与 存 在 性 命 题 的 关 系 ， 可 知 命 题:0,1pm，12mxx， 则p为“0010,1 ,2mmxx”故选 d考点：命题的否定4.等差数列na的前n项和为ns，若24s，410s，则6s等于（）a. 12b. 18c. 24d. 42【答案】 b 【解析】【分析】

4、根据24264,sssss成等差数列列方程组，解方程求得6s的值 .【详解】由于na是等差数列，故24264,sssss成等差数列，所以422642 sssss，即62 104410s，解得618s.故选 b.【点睛】本小题主要考查等差数列前n项和的性质，考查方程的思想，属于基础题.5.在abcv中， d 为边 bc 上的一点，且3bddcuuu ru uu r，则aduu u r( )a. 3144abacuu u ruu u rb. 1344abacuu u ruu u rc. 1344abacu uu ruuu rd. 3144abacuuu ruuu r【答案】 b 【解析】【分析】d

5、 为边 bc 上的一点，且3bddcuuu ru uu r，d 是四等分点，结合adabbduu u ruu u ruu u r，最后得到答案【详解】 d 为边 bc 上的一点，且3bddcuu u ruuu r， d 是四等分点，33134444adabbdabbcabacababacu uu ruuu ruuu ruuu ru uu ruuu ruuu ruuu ru uu ruuu r，故选： b【点睛】本题考查了向量的线性运算及平面向量基本定理的应用，属于基础题.6.已知2sin3，则cos2（）a. 79b. 19c. 19d. 59【答案】 c 【解析】【分析】由三角函数的诱导公式

6、求得2sin3，再由余弦的倍角公式，即可求解.【详解】由三角函数的诱导公式，可得2sinsin3，即2sin3，又由2221cos212sin12( )39.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.“1,2x，210ax”为真命题的充分必要条件是（）a. 1ab. 14ac. 2ad. 0a【答案】 a 【解析】【分析】利用参变量分离法得出21ax，求出函数21yx在区间1,2 上的最小值， 即可得出实数a的取值范围，即可得出答案 .【详解】q“1,2x，210ax”为真命题，21

7、ax对任意的1,2x恒成立，由于函数21yx在区间1,2 上单调递增，则min1y，1a.故选： a.【点睛】本题考查利用全称命题的真假求参数的取值范围，灵活利用参变量分离法求解是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.8.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下， 折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1s， 圆面中剩余部分的面积为2s，当1s与2s的比值为512时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( ) a. (35)b. (51)c. ( 51)d. ( 52)【答案】 a 【解析】【分析】根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，

8、再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角.【详解】1s与2s所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设1s与2s所在扇形圆心角分别为,，则512，又2，解得(35)【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易.扇形的面积公式：21122srlr，其中是扇形圆心角的弧度数，l是扇形的弧长.9.已知定义在r上的奇函数fx满足0fxfx，且当0,x时，sinfxx，则233f（）a. 12b. 12c. 32d. 32【答案】 c 【解析】【分析】先推导出函数yfx的周期为2，可得出2333ff，然后利用函数yfx的奇偶性结合函数的解析式可计算出结果.【详解】q函数yfx是r上的奇函数，且0fxfx，f

9、xfx，2fxfxfx，所以，函数yfx的周期为2，则233sin33332fff.故选： c.【点睛】 本题考查利用函数的奇偶性和周期求函数值，解题的关键就是推导出函数的周期，考查计算能力，属于中等题 .10. 已知抛物线c：22(0)xpy p的准线l与圆m：22(1)(2)16xy相切，则p（）a. 6b. 8c. 3d. 4【答案】 d 【解析】【分析】先由抛物线方程得到准线方程，再由准线与圆相切，即可得出结果.【详解】因为抛物线2:2cxpy的准线为2py，又准线l与圆22:1216mxy相切，所以242p，则4p. 故选 d 【点睛】本题考查抛物线与圆的几何性质，熟记抛物线与圆的性

10、质即可，属于常考题型. 11.三棱锥pabc四个顶点均在同一球面上，pa正abc面，26paab，则该球体积（）a. 16 3b. 64 3c. 48d. 32 3【答案】 d 【解析】【分析】由题意把三棱锥pabc扩展为三棱柱，求出上下底面中心连线的中点与a的距离为球的半径，然后求出球的体积 .【详解】由题意画出几何体的图形如图，把三棱锥pabc扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与a的距离为球的半径，26paab，3oe，abcv是正三角形，3ab，22233?332ae，222 3aoaeoe，342 332 33v球，故选： d【点睛】本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利

11、用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径是解题的关键.12. 已知双曲线222210,0 xyabab的左、右焦点分别为12,ff，若双曲线的左支上存在一点p，使得2pf与双曲线的一条渐近线垂直于点h，且224pff h，则此双曲线的离心率为（）a. 2 63b. 43c. 132d. 53【答案】 d 【解析】【分析】利用2pf与双曲线的一条渐近线垂直于点h可求出h的坐标，再利用224pff h求出p的坐标（用, ,a b c表示） ，将p的坐标代入双曲线的方程后可求离心率. 详解】双曲线的渐近线为byxa，取一条渐近线为byxa，则直线2:aaacf hyxcxbbb，由aacyxb

12、bbyxa得2axcabyc，故2,aabhcc. 因为224pff h，故224pff huuu u ruuuu r，从而2,4,ppaabcxyccc，所以2434ppaxccabyc，将p的坐标代入双曲线的方程可以得到：222224431aabcccab，化简可得29250e，所以53e，故选 d. 【点睛】 圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于, ,a b c的一个等式关系而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于, ,a b c的不等式或不等式组第 ii 卷非选择题（ 90分）二、填空题：本题共4 小题，每小题 5分，共 20分.13

13、. 若变量x，y满足约束条件23603020 xyxyy，则3zxy的最大值是 _.【答案】 9【解析】【分析】做出可行域，根据可行域的图像特征，即可求出线性目标函数的最大值.【详解】做出可行域如下图所示：当目标函数3zxy过点(3,0)a时，取最大值为9.故答案为 :9【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，考查线性目标函数的最值，考查数形结合思想，属于基础题 .14.如图，在abc中，acbc，点m，n分别为,cacb的中点， 若5ab，1cb，则ag acuuu v u uu v_.【答案】83【解析】【分析】根据abcv为直角三角形，利用勾股定理可求出2ac，以及2cos5cab

14、以,ac abuuu r uuu r为基底，表示出aguuu r，由数量积的运算即可求出ag acuu u r uuu r的值【详解】因为acbc，所以512ac，2cos5cab而点m，n分别为,cacb的中点，所以g为abcv的重心，即有22113323aganabacabacuuu ruuu ru uu ru uu ru uu ru uu r213+31ag acacab acabacacu uu r uuu ruuu u ruu u r uuu ru uu ru uu ruu u r128=25+4 =335故答案为：83【点睛】本题主要考查数量积的运算和三角形重心性质的应用，解题关键

15、是选择合适的基底，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题15. 已知函数2xfxeax，对任意1 0 x，20 x且12xx，都有21210 xxfxfx，则实数a的取值范围是_.【答案】,2e【解析】【分析】根据函数解析式可知函数fx为偶函数.由不等式21210 xxfxfx可知函数fx在0,为单调递增函数.即可根据函数单调性求得导函数,令导函数大于0.即可分离参数,构造函数 ,并利用导函数求得最值,进而求得a的取值范围 . 【详解】函数2xfxeax,由解析式可知函数fx为偶函数由不等式21210 xxfxfx可知函数fx在0,为单调递增函数所以当0 x时,2xexfxa所以20 xfxe

16、ax即2xeax令2xeg xx则22212242xxxexxeegxxx令0gx,解得1x当01x时, 0gx,则2xeg xx在01x时单调递减当1x时, 0gx,则2xeg xx在1x时单调递增所以当1x时,g x取得最小值 ,即min12eg xg所以2ea同理可求得当0 x时,2ea综上可知 ,a的取值范围为,2ea故答案为 :,2e【点睛】 本题考查了函数单调性与偶函数综合应用 ,导数与单调性的关系,分离参数法与构造函数法求参数的取值范围 ,属于中档题 .16.p为椭圆22194xy上异于顶点的任意一点，过p作直线pa、pb分别与圆224xy相切于a、b两点，则直线ab与两坐标轴围

17、成的三角形面积最小值为_.【答案】83【解析】【分析】设00,p xy为椭圆上的点，则2200194xy，由基本不等式可得003xy，再求出以op 为直径的圆的方程，和已知圆的方程作差求出两圆公共弦的方程，求出直线与坐标轴的交点，结合三角形面积公式即可得结果 .【详解】设00,p xy为椭圆22194xy上的点，则2200194xy，的222200000011294943xyxyxy，即003xy，当且仅当0023xy时等号成立，以 op 为直径的圆的方程为22220000224xyxyxy，整理得：22000 xyx xy y又圆224xy-得，直线ab的方程为004x xy y，取0y，得

18、04xx；取0 x，得04yy，直线ab与两坐标轴围成的三角形面积00116823sxy，即三角形面积的最小值为83，故答案为：83.【点睛】本题主要考查了圆的方程的求法，两圆相交公共弦所在的直线方程，关键是求出过点p与圆相切的两切线切点的直线ab 的方程，是中档题三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 .第 1721题为必考题， 每个试题考生都必须作答 .第 22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60 分.17. 在平面四边形abcd中，已知34abc，abad，1ab（1）若5ac，求abc的面积；（2）若2 5sin5cad，4ad，求cd的长

19、【答案】（ 1）12； （2）13. 【解析】【分析】（1）在 abc中，由余弦定理，求得2bc, 进而利用三角形的面积公式，即可求解；（2）利用三角函数的诱导公式化和恒等变换的公式，求解10sinbca10，再在 abc中，利用正弦定理和余弦定理，即可求解. 【详解】（ 1）在 abc中，222acabbc2ab bc cosabc即251bc2 bc2bc2bc40, 解得bc2. 所以 abc1121sab bc sinabc122222. （2）因为02 5bad90 ,sincad5, 所以2 5cosbac5，5sinbac5, sinbcasinbac4所以2cosbacsinb

20、ac222 551025510. 在 abc中，acabsinabcsinbca, ab sinabcac5sinbca. 222cdacad2ac ad coscad所以5516254135所以cd13. 【点睛】 本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18. 到 2020 年，我国将全面建立起新的高考制度，新高考采用33模式，其

21、中语文、数学、英语三科为必考科目，满分各150 分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣、爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6 门科目中自选3 门（ 6 选 3）参加考试，满分各100 分. 为了顺利迎接新高考改革，某学校采用分层抽样的方法从高一年级1000 名（其中男生550 名，女生450 名）学生中抽取了n名学生进行调查. （1）已知抽取的n名学生中有女生45 名，求n的值及抽取的男生的人数. （2）该校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了解学生对这两个科目的选课情况，对在（ 1）的条件下抽取到的n名学生进行问卷调查（假定每名

22、学生在这两个科目中必须选择一个科目，且只能选择一个科目），得到如下22列联表 . 选择“物理”选择“地理”总计男生10 女生25 总计（i ）请将列联表补充完整，并判断是否有99%以上的把握认为选择科目与性别有关系. （ii ）在抽取的选择“地理”的学生中按性别分层抽样抽取6 名，再从这6 名学生中抽取2 名，求这2 名中至少有1 名男生的概率. 附：22()()()()()n adbckab cd ac bd，其中nabcd. 20()p kk005 0.01 0k3.841 6.635 【答案】 (1)100n， 55 人 (2) （i ）见解析；（ii ）35【解析】【分析】（1）根据题

23、意可得451000450n求解即可得出n的值，进而可得抽取的男生人数；（2）（i ）根据题中数据先完善列联表，再由题中公式，求出2k的值，结合临界值表即可的结果；（ii ）先由题易知抽取的选择“地理”的6 名学生中，有2 名男生，分别记为a，b，4 名女生，分别记为a，b，c，d；用列举法分别列举出“6名学生中随机抽取2 名”和“其中至少有1 名男生”所包含的.基本事件，基本事件个数比即是所求概率. 【详解】解： （1）由题意得451000450n，解得100n，则抽取的男生的人数为100550551000. （2） （i ）选择“物理”选择“地理”总计男生45 10 55 女生25 20 4

24、5 总计70 30 100 则22100(452025 10)8.12896.63555457030k，所以有99%以上的把握认为送择科目与性别有关系. （ii ）由题易知抽取的选择“地理”的6 名学生中， 有 2 名男生， 分别记为a，b，4 名女生， 分别记为a，b，c，d. 从 6 名学生中随机抽取2 名，有ab，aa，ab， ac ， ad ，ba，bb， bc ， bd ，ab， ac ，ad，bc，bd， cd 共 15 种情况，其中至少有1 名男生的有ab，aa，ab， ac， ad ，ba，bb， bc， bd 共 9种情况，故所求概率为93155. 【点睛】本题主要考查分层抽

25、样、独立性检验以及古典概型的问题，需要考生熟记分层抽样特征、独立性检验的思想、以及古典概型的计算公式，属于常考题型.19. 如图所示， 四棱锥 sabcd 中，sa底面abcd，/ /abcd，3adacab，4sacd，p为线段ab上一点，2appb，sqqc. （1）证明：/ /pq平面 sad ；（2）求四面体cdpq的体积 . 【答案】（ 1）见解析（ 2）4 53cdpqv【解析】【分析】（1） 想要证明线面平行， 就要证线线平行 取ds的中点t， 可以证明/ /tqdc， 进一步可以证明/ /tqap，这样根据平行四边形的性质可以得到线线平行，命题得证；（2）根据sa平面abcd，

26、q为sc的中点，可以求出q到平面abcd的距离，利用等积法可以求出四面体cdpq的体积【详解】解：（1）证明：由已知得223apab如图，取ds的中点t，连接at，tq，由n为pc中点知/ /tqdc，122tqdc. 又/ /abdc，故/ /tqap，/ /mnat，又at平面sad，从而证得/ /pq平面sad；（2）因为sa平面abcd，q为sc的中点，所以q到平面abcd的距离为12sa，如图，取dc的中点e，连接ae. .由3adac得aedc，则5ae. 故1452 52dcps. 所以四面体cdpq的体积4 53c dpqv. 【点睛】本题考查了线面平行的判定，一般取中点是常见

27、的方法同时本题也考查了利用等积法求三棱锥的体积20. 设,p q是曲线2:20c xpy p上两点，,p q两点的横坐标之和为4，直线pq的斜率为2.（1）求曲线c的方程；（2）设m是曲线c上一点，曲线c在m点处的切线与直线pq平行，且25pm qmuu uu v u uu u v，试求三角形mpq的面积 .【答案】（ 1）22xy； （2）5 10mpqs.【解析】【分析】（1） 由题意设出直线pq方程 ,并设1122,p x yq xy.联立直线与抛物线方程,用韦达定理求得p,即可得曲线c的方程 ;（2）将曲线c 的方程变形 ,求得导函数 .根据题意可求得切点m 的坐标 .联立直线与抛物线

28、,结合韦达定理可得121 2,xx xx.结合直线方程可表示出1212,yyy y.利用平面向量数量积定义,表示出pm qmu uu u r uu uu rg.根据25u uu u r uu uu rgpm qm即可得b.所以可得直线pq方程 .结合弦长公式即可求得pq,利用点到直线距离公式可得点m到直线pq的距离 ,进而求得三角形mpq的面积 .【详解】（ 1）设直线pq方程为：11222,yxb p xyq xy则2224202xpyxpxpbyxb,则1244xxp,所以1p即曲线 c 的方程为22xy；（2）设00,mxy,曲线2:2cxy,变形可得212yx,则yx曲线c在点m处的切

29、线与直线pq平行可得：000|22xxkyxy,所以2,2m,222xyyxb,化简可得2420 xxb则12124,2xxx xb16802bb,121212222282yyxbxbxxbb2221221212224gx xxxy yb11222,22,2u uu u r uu uu rggpm qmxyxy12122222xxyy121212124242xxx xyyy y2616bb25u uu u r uu uu rgpm qm,261625bb,即2690bb3b直线pq方程为：23yx弦长22121214102pqkxxx x,高为点m到直线pq的距离42355h,所以15 102

30、mpqspq h【点睛】本题考查了抛物线方程的几何性质,直线与抛物线的综合应用,平面向量数量积的定义,点到直线距离公式的应用 ,综合性较强 ,属于难题 .21. 已知函数( )ln(1)1xf xexaxx（1）若0a，证明：0fx（2）若函数fx在0 x处有极大值，求实数a的取值范围【答案】（ 1）见解析；（2）12a【解析】【分析】（1）求出导函数，( )1xfxe，讨论单调性得最值，即可证明；（2）分析极大值点左右两侧导数值的符号，分类讨论即可得解.【详解】（ 1）若0a，( )1xf xex，( )1xfxe，由( )0fx得0 x，由由( )0fx得0 x，所以( )1xf xex在

31、(),0-?单调递减，在()0,+?单调递增，所以( )100 xf xexf恒成立；（2）( )ln(1)1xf xexaxx，1,x，( )1ln(1)1xxfxeaxx，0(0)100fea，函数fx在0 x处有极大值，即1( )1ln(1)1ln(1)111xxxfxeaxeaxxx，0 x处左正右负，且在0 x处连续，必存在0，,x，必有,0 x，( )0fx，0,( )0 xfx，记2l1( )11xfxeaxx，若2l10,( )011xafxeaxx恒成立，则( )1ln(1)1xxfxeaxx在定义域单调递增，0,( )(0)0 xfxf，不合题意，舍去；若221l1l10,0,2,2211111,xaxeaaxxxx2l1( )12011xfxeaaxx，( )fx在0,x上单调递增，即0,( )(0)0 xfxf，不合题意，舍去；当21l1,( )211xafxeaxx单调递增，(0)120fa，必存在0，使得当,x时，( )0fx，此时( )fx在,x单调递减，0(0)100fea必有,0 x，( )0fx，0,( )0 xfx，即函数fx在,0 x递增，在0,x递减，即函数fx在0 x处有极大值，综上所述：12a【点睛】 此题考查利用导函数证明不等式，通过导函数讨论单调性分析函数极值最值问题，涉及分类讨论，第