重积分及其应用

1、重积分及其应用：f (x, y)dxdyf ( r cos, r sin)rdrdDD22曲面 z f (x, y)的面积 A1zzdxdyDxyM xx( x, y) dM yy( x, y) d平面薄片的重心：D,yDx( x, y) dM(x, y)dMDD平面薄片的转动惯量： 对于 x轴 I xy2( x, y) d,对于 y轴 I yx2( x, y)dDD平面薄片（位于xoy平面）对 z轴上质点 M(0,0, a), (a0)的引力： F Fx , Fy , Fz ，其中：Fxf( x, y) xdFyf(x, y) yd，Fzfa( x, y) xd3，33D ( x2y 2a2

2、 ) 2D ( x2y 2a2 ) 2D ( x2y 2a 2 ) 2柱面坐标和球面坐标：xr cos柱面坐标： yr sin,f (x, y, z)dxdydzF (r , z)rdrddz,zz其中： F (r , , z) f (r cos , r sin, z)xr sincos球面坐标： yr sinsin，dvrdr sin ddrr 2 sindrddzr cos2r (, )f ( x, y, z)dxdydzF (r ,)r 2 sindrddddF (r , ,)r 2 sindr0001xdv,y1y dv,z1z dv，其中 Mxdv重心： xMMM转动惯量： I x(

3、 y2z2 )dv，I y( x2z2 )dv，I z( x2y 2 ) dv曲线积分：第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：设 f ( x, y)在 L上连续， L的参数方程为： x(t ) ,(t),则：y(t)f ( x, y) dsf (t),(t )2 (t)2 (t )dt()特殊情况：xtLy(t)第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：设 L 的参数方程为 x(t )，则：y(t )P( x, y)dxQ( x, y)dy P(t ),(t )(t)Q(t ),(t )(t ) dtL两类曲线积分之间的关 系：PdxQdy( P cosQ cos，其中 和 分别为)dsLL上积分起止

4、点处切向量 的方向角。L格林公式：(QP) dxdy格林公式：(QP)dxdyPdxQdyxyPdx QdyxyDLDL当Py, Qx，即： QP时，得到D的面积：Adxdy1xdy ydxxy22 LD平面上曲线积分与路径 无关的条件：·、 是一个单连通区域；1G、，在G内具有一阶连续偏导数 ，且 QP 。注意奇点，如，应2P( x, y)Q( x, y)xy(0,0)减去对此奇点的积分，注意方向相反！·二元函数的全微分求积 ：在 Q P 时， Pdx Qdy才是二元函数 u( x, y)的全微分，其中：x y( x, y)，通常设x0。u( x, y)P(x, y) d

5、x Q(x, y) dyy0 0( x0 , y0 )曲面积分：对面积的曲面积分：f ( x, y, z)dsf x, y, z( x, y) 1 zx2 ( x, y) zy2 (x, y)dxdyDxy对坐标的曲面积分：P(x, y, z)dydz，其中：Q(x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdyR( x, y, z) dxdy，取曲面的上侧时取正 号；R x, y, z(x, y)dxdyD xyP( x, y, z) dydzP x( y, z), y, zdydz，取曲面的前侧时取正 号；D yzQ(x, y, z)dzdxQ x, y( z, x), zdzdx，

6、取曲面的右侧时取正 号。D zx两类曲面积分之间的关系： PdydzQdzdxRdxdy( P cosQ cosRcos ) ds高斯公式：PQR() dvPdydzQdzdxRdxdy( P cosQ cosR cos)dsxyz高斯公式的物理意义 通量与散度：散度： divPQR ,即：单位体积内所产生的流体质量，若 div0,则为消失 .xyz通量： A n dsAnds(P cosQ cosR cos)ds，因此，高斯公式又可写成：div AdvAnds斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：( RQ )dydz(PR)dzdx ( QP ) dxdyPdxQdyRdzyzzxxydydz dzdx dxdycoscoscos上式左端又可写成：