安徽省示范高中培优联盟2017-2018学年高一下学期春季联赛数学(理)试题(含答案)

1、安徽省示范高中培优联盟2017-2018 学年高一下学期春季联赛数 学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 如图，全集, , ,ua b c d e，, ,ma b cnb d e，则图中阴影部分所表示的集合是（）a, ,a b d b, a e c,d e d, ,c d e2. 函数1xxfxe的定义域为（）a0, b0, c,0d1,3. 已知向量sin,cos,1,033ab，则,a b的夹角为（）a6b6 c3 d234. 已知na是等比数列，20122024

2、4,16aa，则2018a（） a4 2 b4 2c8 d85. 已知abc的面积为4，090a，则2abac的最小值为（）a8 b4 c. 8 2 d4 26. 若实数ab，则下列不等式中一定成立的是（）a22ab babab c. 2abab d20ab c7. 已知函数12logyx的定义域为, a b，值域为0,1，则ba的取值范围为（）a0,3 b1,33 c.80,3 d2 8,3 38. 函数2sinsincos1222xxxfx的最小正周期为（）a2b c. 2d49. 已知abc中，02,3,120abacbac，0papbpc，则ap（）a1 b63 c. 73 d1931

3、0. 已知实数, x y满足111xxyx，1,1a，则zaxy的最大值与最小值之差为（）a1 b2c. 4 d与a的取值有关11. 函数1ln1xfxx的大致图像是（）a b c. d12. 已知数列na中，5nnaa恒为定值，若16n时，2nan，则2018a（）a1 b9 c. 28 d2018第卷（共 90 分）二、填空题（每题5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 幂函数的图像经过点22,4，则它的单调递减区间是14. 已知非零向量,am n，,bp q，若32ab且0a bab，则mnpq15. 若0cos35cos60，则0tan3016. 已知32, ,fxaxbx

4、cxd b c dz bc，若3fbba，3fcca，则d三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17. 设等差数列na的前n项和ns，且4151,75as（1）求6a的值；（2）求ns取得最小值时，求n的值18. 设函数sin0,0,fxaxa图像中相邻的最高点和最低点分别为17,2 , 21212（）求函数fx的单调递减区间；（）若函数fx的图像向左平移0个单位长度后关于点1,0对称，求的最小值19. 设abc的内角,a b c所对的边分别是, ,a b c，且coscc是cosab与cosba的等差中项（）求角c；（）设2c，求abc周

5、长的最大值20. 如图，等腰直角abc中，2bc，,m n分别在直角边,ab ac上，过点,m n作边bc的垂线，垂足分别为,q p，设2mnx，矩形mnpq的面积与周长之比为fx（）求函数fx的解析式及其定义域；（）求函数fx的最大值21. 已知数列na的前n项和2nnsqq（其中q为常数），且24a（1）求na；（2）若na是递增数列，求数列nnqqa的前n项和nt22. 已知222212fxaxxaxar中（）当2a时，解不等式0fx；（）已知0 x时，恒有0fx，求实数a的取值集合试卷答案一、选择题1-5:cabca 6-10:ddbcb 11、12：dc 二、填空题13. (,0)和

6、(0,) 14. 23 15. 4 3 16.16三、解答题17. 解： （1）法一 ：设na的公差为d，由题，41151311510575aadsad，解得121ad，6153aad法二 ：由题，1581575sa，85a，于是48632aaa（2）法一 ：21(1)522nn nnnsnad，当2n或3时，ns取得最小值法二 ：1(1)3naandn，12340aaaa，故当2n或3时，ns取得最小值18. 解： （1）由题，2a，周期712()11212t，22t，再由11()2sin(2)21212f，即sin()16，得：2()62kkz，又|，3，( )2sin(2)3f xx，由

7、3222232kxk，得( )f x的单减区间为17,()1212kkkz（注：亦可结合周期及最高点、最低点的坐标获得函数的单调递减区间）（2）函数( )f x的图象向左平移(0)个单位长度后，得( )2sin2()3g xx，由题，( 1)2sin2(1)03g，2 (1)()3kkz，5()26kkz，当1k时，的最小值为1319. 解： （1）法一 ：由题，coscos2 cosabbacc，由正弦定理，sincossincos2sincosabbacc，即sin()2sincosabcc，解得1cos2c，所以60c法二 ：由题，由余弦定理得：222222coscos22acbbcaa

8、bbacc2 cosccc，解得1cos2c，所以3c（2）法一 ：由余弦定理及基本不等式，22224()3cabababab222()()3()24ababab，得4ab，当且仅当2ab时等号成立，故abc周长abc的最大值为6法二 ：由正弦定理，4 3sinsinsin3abcabc，故周长4 3(sinsin)23abcab4 3sinsin(60 )23aa4 3 33(sincos)2322aa4sin(30 )2a(0,120 )a，当60a时，周长abc的最大值为6法三 ：如图，延长bc至d使得cdac，则030adccad，于是，在abd中，由正弦定理：sinsinbdabba

9、dadb，即24sin(30 )sin30aba，故周长4sin(30 )2abca，(0,120 )a，当60a时，周长abc的最大值为620. 解： （1）由题，2mnx，则1mqx，2 (1)(1)( )42(1)1xxxxf xxxx，又mnbc，( )f x的定义域为(0,1)（ 6 分）（2）22(1)3(1)2( )11xxxxf xxx2(1)31xx，1(1,2)x，22(1)32(1)32 2311xxxx，于是( )32 2f x，即当21x时，( )f x的最大值为32221. 解：（ 1）由2221224assqq得：1q或2q，1q时，2(1)1nns，111,1,

10、1,24 (1) ,2nnnnns nassnn，2q时，122nns，112,1,1,22 ,2nnnnns nassnn*2 ()nnn（2）法一 ：由题，2q，122nnnqnqa，231342222nnnt，34121341222222nnnnnt，相减得：2341212213111231124()()122222244222nnnnnnnnnt，1422nnnt法二 ：由题，2q，122nnnqnqa13422nnnn，所以122311455634422222222nnnnnnnt22. 解： （1）当2a时，不等式( )0f x即为2(22)(232)0 xxx，等价于(1)(2)(21)0 xxx，由数轴标根法知不等式的解集为1( 2, 1)(,)2x（2）法一 ：由题，(2)(22)(44)0faa，于是只能1a，而1a时，22( )(2)(232)(2) (21)f xxxxxx，当0 x时，2(2)0 x，210 x，恒有( )0f x，故实数 1a法二 ：当0 x时，( )0f x恒成立，即211()()02aaxxx恒成立，不妨设2( )(0)g xxx，11( )(0)2h xxxx，则问题转化为0 x时，( )( )