2019年高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布第9节离散型随机变量的均值

1、2第九节离散型随机变量的均值与方差考纲传真(教师用书独具)1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念 会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决些简单实际问题.(对应学生用书第 189 页)基础知识填充1.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为P(X=a) =pi(i= 1,2，r).(1)均值E*砂 +a2p2+ +ap，均值EX刻画的是X取值的“中心位置”.(2)方差DX=巳XEX2为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度.2 均值与方差的性质(1)E(aX+b) =aEXF B.(2)D(aX+b) =

2、a2DXa,b为常数).基本能力自测1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“x”)(1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关.(2) 随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量.()(3) 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小()(4)在篮球比赛中，罚球命中 1 次得 1 分，不中得 0 分，如果某运动员罚球命中的概率为 0.7，那么他罚球 1 次的得分X的均值是 0.7.()双基自主测评I梳理自浪3.两点分布与二项分布的均值、方差均值方差变量X服从两点分布EX= pDX= p(1 p)xB(n p

3、)EX=npDX= n p(1 p)区分x、d2、EX DX知识拓展EX反映了x取值的平均水平，DX反映了X针对EX的稳定与波动，集中与离散 的程度.2答案x(2)V(3)VV2.(教材改编)已知X的分布列为31 1AEX=-仆尹0 x3+仆 6=EY=2EX+3= 3- |= |.3.设随机变量E的分布列为 RE=k) = 5(k= 2,4,6,8,10)设Y= 2X+ 3，贝 UEY的值为(A.C.lX-101E111 1)B. 4D. 1A. 8B.C. 10D.1 EE =(2+4+6+8+10)=6,5DE=12 2 2 2 25【(-4) + ( - 2) + 0 + 2 + 4

4、= 8.5124. (2017 全国卷n)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次，X表示抽到的二等品件数，则DX=.1.96由题意得XB(100,0.02),所以DX=100X0.02X(1 - 0.02) = 1.96.5.已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，若EX=30,DX=20,则p= y由于XB(n,p)，且EX= 30,DX=20,所以np= 30,np(1 p) = 20，题型分类突破I叮门解得p= 1.探求规律方法(对应学生用书第 190 页)离散型随机变量的均值、方差卜二 (2017 全国卷川)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进

5、货量相同，进货成本每瓶4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2 元的价格当天全部处理完根，则DE等于o)45据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：C)有关.如果最高气温不低于 25, 需求量为500 瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气 温数据，得下面的频数分布表：最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1) 求六月份这种酸奶一天

6、的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2) 设六月份一天销售这种酸奶的利润为单位：元)当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？解由题意知，X所有可能取值为 200,300,500，由表格数据知P(X= 200)=因此X的分布列为X200300500P0.20.40.4由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500瓶， 至少为200瓶， 因此只需考虑 200Wnw500.当 300n 500 时，若最高气温不低于 25,则Y= 6n4n=2n；若最高气温位于区间20,25)，贝 UY= 6X300+ 2(n 300) 4n= 1 200 2n； 若最高气温低于 20,

7、贝 UY= 6X200+ 2(n 200) 4n= 800 2n.因此EY=2nx0.4 + (1 200 2n)x0.4 + (800 2n)x0.2 = 640 0.4n.当 200wn300 时，若最高气温不低于 20,则Y= 6n4n=2n；若最高气温低于 20,贝 UY= 6x200+ 2(n 200) 4n= 800 2n，因此EY=2nx(0.4 + 0.4) + (800 2n)x0.2 = 160 + 1.2n.所以n= 300 时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520 元.规律方法求离散型随机变量X的均值与方差的步骤1 理解X的意义，写出X可能取的全部值.2求x取每个值时

8、的概率.2 + 1690=0.2，P(X= 300)3690=0.4F(X= 500)=25+ 7 + 490=046:j 写出X的分布列.-1 由均值的定义求EX;由方差的定义求DX易错警示：注意E aX+b=aEX+ b,D aX+b=a2DX的应用.跟踪训练(2017 青岛一模)为迎接 2022 年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展 滑雪促销活动该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1 小时免费，超过 1 小时的部分每小时收费标准为 40 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算).有甲、乙两人相互独立地1 1来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，6；小时离开的概率分别

9、为 2, |;两人滑雪时间都不会超过 3 小时.1112 1=：X：+;X +：X=7；;46 23 4612(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;1 小时以上且不超过 21.(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量E求E的分布列与数学期望EE，方差DE.两人都付(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0 元的概率为1 1 1F1= 4X6 =24,0,40,80 元.两人都付 40 元的概率为121F2= X -=,23 3两人都付则两人所付费用相同的概率为(2)设甲、乙所付费用之和为1 1 1=0) =X= ；4624115P=珀p2+p3= 24+3+万=石E,E可能取值为 0

10、,40,80,120,160，则:=40)12 111=4X3+ -X6=4；=80)【导学号：79140377】80 元的概率为1R12 卜 1 1 16 - 3 = 4X6=刃，71 1 1 =160)=4X6 =区的分布列为8E04080120160P115112441242411511EE =ox24+4OX4+80X12+120 x4+16x刃=80.21212521DE=(080)x24+(4080)X4+(8080)X乜+(12080)X4+(16080)2x1=僭243与二项分布有关的均值、方差质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，050 为优；51100 为良；1

11、01150 为轻度污染；151200 为中度污染；201300 为重度污染；大于 300 为严重污染. 环保人士记录 2017 年某地某月 10 天的 AQI 的茎叶图如图 10-9-1 所示.455075 493 0II7 H199215图 10-9-1E0123F8125361255412527125显然EB3,33,EE= 3X5 = 1.8，随机变量E的方差DE= 3X5xf 3325.规律方法1.求随机变量E的期望与方差时，可首先分析E是否服从二项分布，如果EBn,p，则用公式EE=np,DE=np1p求解，可大大减少计算量2.有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随

12、机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E aE+b=aEE+b以及EE=np求出E aE+b I同样还可求出D aE+b I跟踪训练一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方I题型(2017 郑州诊断)空气质量指数(Air QualityLndex,简称 AQI)是定量描述空气125故E的分布列为C355=覆，27T25.9将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.A(1) 求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概率；(2)用X表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数，求随

13、机变量X的分布列，A I期望EX及方差DX解(1)设A表示事件“日销售量不低于100 个”，A 表示事件“日销售量低于 50 个”，B表示事件“在未来连续 3 天里，有连续 2 天日销售量不低于于 50 个”，因此RA)=(0.006+0.004+0.002)X50=0.6,F(A)=0.003X50=0.15,F(E)=0.6X0.6X0.15X2=0.108.(2)X可能取的值为 0,1,2,3 ，相应的概率为F(X= 0) = C0 (1 0.6)3= 0.064 ,RX= 1) = d 0.6(1 0.6)2= 0.288 ,F(X= 2) = C2 0.62(1 0.6) = 0.4

14、32 ,F(X= 3) = C3 0.63= 0.216.所以X的分布列为X01230.0640.2880.4320.216因为XB(3,0.6)，所以期望EX=3X0.6 = 1.8，方差DX=3X0.6X(1 0.6) = 0.72.均值与方差在决策中的应|题型3|用卜(2018 广州综合测试(二)某商场拟对某商品进行促销，现有两种方案供选择，每种促销方案都需分两个月实施，且每种方案中第一个月与第二个月的销售相互独立根据以往促销的统计数据，若实施方案1,预计第一个月的销量是促销前的1.2 倍和 1.5图，如图 10-9-4 所示.100 个且另一天销售量低10倍的概率分别是 0.6 和 0

15、.4，第二个月的销量是第一个月的1.4 倍和 1.6 倍的概率都是0.5 ;若实施方案 2,预计第一个月的销量是促销前的1.4 倍和 1.5 倍的概率分别是 0.7和 0.3，第二个月的销量是第一个月的1.2 倍和 1.6 倍的概率分别是0.6 和 0.4.令Ei(i=1,2)表示实施方案i的第二个月的销量是促销前销量的倍数.(1) 求E1,E2的分布列；(2) 不管实施哪种方案，Ei与第二个月的利润之间的关系如下表，试比较哪种方案第二个月的利润更大.销量倍数Eiw1.71.7Ei2.3利润(万元)152025解(1)由题意，E1的所有取值为 1.68,1.92,2.1,2.4 因为F(E1=

16、 1.68) = 0.6X0.5 = 0.30 ,PE1=1.92)=0.6X0.5=0.30,F(E1=2.1)=0.4X0.5=0.20,F(E1=2.4)=0.4X0.5=0.20,所以E1的分布列为E11.681.922.12.4R0.300.300.200.20由题意，E2的所有取值为 1.68,1.8,2.24,2.4,因为 RE2= 1.68) = 0.7X0.6 = 0.42 ,F(E2=1.8)=0.3X0.6=0.18,11F(E2=2.24)=0.7X0.4=0.28,RE2=2.4)=0.3X0.4=0.12,所以E2的分布列为E21.681.82.242.4F20.4

17、20.180.280.12（2）令Q表示实施方案i在第二个月所获得的利润，则所以EQ= 15X0.30 + 20X0.50 + 25X0.20 =19.5 ,EQ=15X0.42+20X0.46+25X0.12=18.5.因为EQEQ,所以实施方案 1,第二个月的利润更大.规律方法利用均值、方差进行决策的两个方略_ TL1 当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断2 若两随机变量均值相同或相差不大 V.则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离 散程度或者稳定程度，进而进行决策.跟踪训练（2018 呼和浩特一调）春节前夕我市某公司要将一批新鲜牛羊肉用汽车运往指定城市 A,

18、如果能按约定日期送到，则该公司可获得销售收入30 万元，每提前一天送至打可获得奖励 1 万元，每迟到一天送到，销售收入将少获得 1 万元.为保证按时送达， 公司只能在约定日期的前两天出发，若行驶路线只能选择公路1 或公路 2 中的一条，运、）费及其他信息如下表所示.【导学号：79140378】路线统计不堵车的情况下送达到城市A所需的时间（天）堵车的情况下送达到城市A所需的时间（天）堵车的概率运费（万元）公路 1230.14公路 2140.32Q152025P0.300.500.20Q152025P0.420.460.1212（1）记汽车走公路 2 时公司获得的毛利润（收入运费）为E（万元），求E的分布