圆环形电流的磁场分布

1、圆环形电流的磁场分布福建省石狮市石光中学陈龙法摘 要本文详细推算出圆环形电流的磁场分布(包括磁标势、磁感应强度)，证明了圆电流平面上圆内的磁感应强度为r的单调增函数，且在圆心处磁感应强度有极小值。设圆环形电流强度为 I,圆半径为 R0,以圆心为原点，过圆心垂直于圆面的轴为极轴，建立球坐 标系。如图所示。用半径为 R。的球面把整个空间分成两个区域，在这两个区域内，磁场的标势分别满 足拉普拉斯方程 2©mi =0(r<R0),V2 虬2=0(r>R0)由于具有轴对称性，磁标势与方位角(f)无关，所以满足边界条件虬2 有限的通解可取为：a*Pn cosu(r<Ro)m2与

2、已cosu r(r>Ro)R0r=R 0的球面上，*m1和©m2满足边值关系:er " m2 一 " ml = -： fe r , m2 一 " ml = 0解上列式得:n -1anR0d，dPn COS_匕nbn dPn COS=otZ " L" Pn (cos。)+£ nanRPn(cos日)=0D n T nR0n其中，面电流密度I _、af = 0日一一 l, I是圆环中的电流强度R° L 2 Jf ji、。8 H可按连带勒让德函数展L 2)开：-1fnPn(cos)=E BJPn'(cosH

3、)2n 2(n"又 Pn'(COSB )=dPn,SH ) 哥(0)=0 ,?2上(0 )= (-1 fWk! 2于是式可化为：Z anR0'-与2 |Pn'(cosB )= -：£ nan RPNcosB )n、RoJR0 n、' n n12bn Pn COS。' nanR；Pn COSU =0nRon于是得到系数an和bn满足的方程：4anR”bnRon2I 2n 1Ro 2n n 1Pn 0b" BanR；" =0 n 1解式，当 n=2k时，有：b2k - a2k R - 0b2k2k4k 1a2k R00

4、2k 1这是关于a2k木日b2k的齐次方程组，其系数行列式2k2k 1R04k1=0(10)所以方程组只有零解，即2k =b2k =0当n=2k+1时，有:2k _b"1 I 4k 32k!"R0 "R° 2k 2 22k1 k!2=0.2k 1 4k 3 膈 1 2k 2 a2k 1R0解得:a2k 12k!=-1 k 1 1_ 1R" k!222k1(11)j-E2*壬(12)由(10)(11)(12)及式，得到球内外的磁标势:mim2k 1 I -1RO?*"E"(r<R0)(13)-"g'kH

5、irLSi*(r>Ro)(14)于是球内外的磁感应强度为:Bl -已叫=U (-1) g +1 RkgsB & + dp2二;应)品kRo k! 2Ro_d(r<Ro)(15)B2 -瞄 m2 f 1 2k 1!k2k 3|.2k 2 F2k 1 co er Ro 2k 2 k!222k1 r _dF2k 1 cos d(r>R0)(16)根据(i5)(i6)式，当e =二时，利用2Re(0)=0,dF2k 1 cos _1 k 2k 1!d(cos” 一 一 (k!)222k便得到圆电流平面上圆内和圆外的磁感应强度为：口 f z S (r '广、BJ)= 2r£ ak J 弼(r<Ro)P- |ZD *2k 右B2(EW" %(r>Ro)甘击2k 1!：2k 1!2ak =4 ,- k =42k 1 24k k!2k 2 24k k!(17)(18)从(17)式知，dB1')> 0,故圆电流平面上圆内的磁感应