圆锥曲线离心率范围的四种题型

1、圆锥曲线离心率范围四种题型椭圆的离心率的范围是高考的重点，其主要是列出a,b,c的不等式，进而求出离心率的范围。其中列不等式是这种题目的重点，下面我们说下列不等式的几种方法。一、根据圆锥曲线中所隐含的不等关系列式22例1：已知椭圆 与十% = 1(a ">0)的左右焦点分别是 F1(c,0),F2(c,0),若椭圆a b上存在点P (异于长轴的端点)，使得csin£PF1F2 nasinYPRFj ,则该椭圆的离心率的 范围是.解：由已知得e = c=S&PF2Fi, a sin. PF1 F2|PF1 2aPF2所以e =；,进而 IlPF2lPF2|土 牛

2、 PFisiPF2F1由正弦正理侍 =PF2| sinZPFR2a22 =°a + c又因为 ac<PF2 <a+c 且 0<e<1,解得离心率范围是(. 2 -1,1)。22变式训练1:设椭圆与+ %=1(ab0)的两焦点为F1,F2,若在其右准线上存在一 a b点P,使得线段PF1的中垂线过点F2 ,求椭圆离心率的范围。22变式训练2：双曲线 %=1(a >0,b0)的两个焦点为 胃后，若P为其上一点， a b且PF1 =2PF2 ,则双曲线离心率的取值范围。22变式训练3:双曲线一Yy = 1(a a 0, b a 0)的两个焦点为F1, F2，若

3、P为右支上一点， a b且PF1 =4PF2 ,则双曲线离心率的取值范围。二、有关存在性问题求离心率22x V例2：设P是椭回 F= 1(a Ab >0)上的一点，F1, F2是椭圆的左右焦点，已知 a b2F1PF2 =60° ,求椭圆离心率的范围。分析：要想使得存在椭圆上的一点P ,满足N F1 PF2 = 60°，也就是要求当点 P在椭圆上运动时，（£FiPF2）min <60°,（NFiPF2）max芝60°即可。当点 P在椭圆的长轴端点时，22变式训练1：椭圆与+y2a bZF1PF2取得最小值为0°,所以当点P

4、在椭圆的短轴端点时，NRPF2取得最大值大于或者 等于60°即可。=1（ab a 0）的两焦点为Fi,F2 ,若椭圆上存在一点 P ,使得PR _L PF2,求椭圆离心率的范围。22变式训练2:双曲线 与_y2 = l（a A0,b0）的两个焦点为F1,F2，若P为右支上一点, a bBL的最小值为8a ,则双曲线离心率的取值范围。PF2三、有关恒成立问题求离心率例3:已知Fl, F2是椭圆的两焦点，满足M百，MF = 0的点M总是在椭圆内部，贝U椭 圆离心率的取值范围。分析：由条件 MF1，MF2 = 0知，MFi MF2，贝U点M在以F1F2为直径的圆上，又 因为点M在椭圆内部，

5、则圆在椭圆内部。四、根据题目中的不等关系列不等式求离心率。22例4：已知椭圆与十与=1（aAb>0）的右焦点为F，短轴的一个端点为 M ,直线 a b.一 _ 、，一 一，. 4l : 3x 4y =0交椭圆于A,B两点，若 AF + BF =4，点M到直线l的距离不小于 一，5求椭圆离心率的范围。一， _4分析：根据AF+BF =4得到a =2，进而求出点 M到直线l的距离d ,根据d苴，5求出离心率的范围。22变式训练1:已知椭圆X2 + y2 =1(a a b a 0)的两个焦点分别是 F1,F2,斜率为k的直 a b线l过左焦点，且与椭圆的焦点为A, B ,与y轴的交点为C，又B为线段。葛的中点，若 14k|三一,求椭圆离心率的取值范围。变式训练2:已知梯形ABCD中，AB