2019版高考数学一轮复习矩阵与变换课时训练选修4-2

1、-1)2选修 4-2 矩阵与变换第 1 课时 线性变换、二阶矩阵及其乘法2B=3满足AX=B,求矩阵X订=戸得1.已知矩阵A=L 2由|.2 - 1 丄 2a- b= 1,所以X=1.解：设X=a,b 一a = 1,b =1,解得a + 2b = 3,2.已知变换矩阵A:平面上的点5)，求变换矩阵AP(2 , 1) , Q(- 1,2)分别变换成点 Pi(3 , - 4) , Q(0 ,解：设所求的变换矩阵A=ab_c d-1厂 4 小一c a= 2, b=1, c=- 1,d= 2,A=.-1匚2a b = 3,2c d = - 4,即-a+ 2b = 0,c+ 2d = 5,解得所以所求的

2、变换矩阵3.已知M=-x解：设X=依题意，可得-1 2-4N=L - 3，求二阶矩阵X,使M)=N2-1x y4-1=II- 43ILz wII-31w由题意有-z根据矩阵乘法法则有2x-z=4,I2yw=-1,解得彳4x+3z= 3,I4y+3w=1,y = -1,z = 5,w=- 1.X=92IL 5_ 14.曲线 x2+4xy+2y2=1在二阶矩阵 7 ba的作用下变换为曲线x2-2y2= 1,1实数 a, b 的值.解：设 P(x , y)为曲线 x2- 2y2= 1 上任意一点，=x y= bx+y,22P (x , y)为曲线 x + 4xy + 2y = 1+ ay ,22代入

3、 x -2y = 1 得(x + ay22222-2(bx + y) = 1,整理得(1 -2b )x + (2a -4b)x y + (a -2)y = 1,1 2b2= 1,又 x2+ 4x y + 2y 2= 1,所以 *；2a 4b= 4,解得la2- 2= 2,a= 2,b= 0.-2)210解A=_ 023一:5. ( 2017 扬州中学期初)已知点 M(3, 1)绕原点按逆时针旋转90 0对应的变换作用下，得到点 N(3, 5)，求 a, b 的值.-0解：由题意，又a 01=又! 2 b jk a=3,b = 1.-10 丄-1. |3 a = 3,2 + 3b= 5,解得6.

4、已知曲线 C: y2=2X在矩阵寸应的变换作用下得到曲线0 对应的变换作用下得到曲线C2的方程.后，在矩阵A=Ci, C 在矩阵N0 1解：设A=NM则A=_ 1 010 02= ,-02 .IL1 0C2,求曲线C2上的对应点为设 P(2 ,y)是曲线 C 上任一点，在两次变换作用下，在曲线P(x,y)，则；=_；-02门I- 2y-2x = -2y ,y=x,=y,1=-22.又点 P(X , y )在曲线 C: y2=2X上，12y=82.a 0A= -|ILb 1-222= 2y，即曲线 C2的方程为7. 设曲线2X2+2xy + y2= 1 在矩阵(a 0)对应的变换作用下得到的曲线

5、一为X2+ y2= 1.求实数 a, b 的值.解：设曲线2X2+ 2xy + y2= 1 上任一点y)，则a_bP(x ,y)在矩阵A对应变换作用下得到点P(2 ,所以因为:=:+ y =:rax =X,bx + y = y.X2+ y2= 1,所以(ax)2+ (bx + y)2= 1,即(a2+ b2)x2+ 2bxy + y2= 1, a2+ b2=2,i解得2b = 2.a = 1,b = 1.227 50 I8.求圆 C: X2+ y2= 1 在矩阵A=对应的变换作用下所得的曲线的方程.-0 2所以解：设圆 C 上任一点(X1, y1)在矩阵A对应的变换作用下得到点(X, y)，贝

6、U- 2 2，贝yX1=X, y1=y，代入 X2+ y2= 1 得所求曲线的方程为 +y= 1.522545 0210 2y25,_ 19.已知矩阵A=0-B=若矩阵AB对应的变换把直线 I :X+ y- 2 = 0变为直线 I ，求直线 I 的方程.410解A=_ 025 AA在直线 I 作用所得，X0又AB-1 -11 -,B=2一0 1一1 11 1|1| 1 -1 12=2I。11 _ 020 21 0F(X, y),点 Po(xo, yo)在直线 I : x+ y 2 = 0 上， xo+ yo 2= 0 .-上任取一点设它是由 I 上的点 Fb(xc，yo)经矩阵AB所对应的变换

7、V0 = I，即2；0=X，1Xo+ yo= X,1X0= X，2yo= y,1yo= yj 21.1 .将代入得 x jy +2 = 0,即直线 I 的方程为 4x+ y 8= 0.4x + y 8 = 0,10.在平面直角坐标系 xOy 中，设点-1F(X，3)在矩阵心 3 42对应的变换作用下得解：依题意,一:即 X+6=y-4，3x+ 12= y+ 2,所以MfX X 7 74 4J21_7104 二.15222410 0=22 丄 10100_22011.已知曲线 C1：_ 1 1对它先作矩阵A= _ 0 2 对应的变换，再作矩阵B=0 m_10 对应的变换，得到曲线2XC2： +

8、y2= 1，求实数 m 的值.解：BA=；0m ；101;o2m 10 -!o2 7110 一BA变换作用下变成点 P (x y ),，设 P(X0, yo)是曲线 G 上的任一点，它在矩阵则；=一 02mX = 2my ，则 ly = xo,xo= y,1, 又点 P 在曲线 C 上,yo= 2mr .所以 ni= 1,所以 m= 1.第 2 课时1.已知变换 T：:- := :+2y逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量试写出变换 T 对应的矩阵A,并求出其逆矩阵A610解A=_ 027设A解:则AA-1:=一 11;,1 2 得A=0 12 a b1_c da+ 2c b+ 2dJT，所

9、以a + 2c= 1,-a= 1,b + 2d= 0,解得所以A-1b =-2,.d = 1.1 21IL012. （2017 苏北四市期末）已知矩阵-1A=-1aI 的一个特征值为 2，其对应的一个特b征向量为a1 求实数 a, b 的值.解：由条件知，Aa= 2a所以 f+a=4,解得2+ b = 2,-1，即-1a = 2,b = 4.a7_,b 亠 1 J3. （2017 扬州期末）已知 a, b R,2 + a，即_-2+b若点 M（1, - 2）在矩阵A=a 1对应的变换作用下得到点 N（2 , - 7），求矩阵A的特征值._b1解：由题意得即 r2=2,解得 b - 8 =-7,

10、所以A=4-1所以矩阵A的特征多项式为 f（入）=a = 4,b = 1,入一 4+15.令 f（入）=0,入=5 或入=3， 即矩阵A的特征值为 :a b H4.已知二阶矩阵A=.-Cd_解得5 和 3.，矩阵A属于特征值入1=- 1 的一个特征向量为a1=1_- 1 ,解：由特征值、特征向量定义可知，Aa1=-T j3a + 2b= 12,3c + 2d = 8.属于特征值 入2= 4 的一个特征向量为求矩阵Aa b即-Lc d .II- 1a-b=- 1,c- d= 1.-a= 2,同理可得b= 3,解得c=2,d= 1.因此矩阵A=23一 2 15.已知矩阵3A=_2A的逆矩阵A-1I

11、3IL b0】，求A的特征值.80109解S=10IL0 17-+ ab= 0,则30 =1，-30- A=IL2 1a=1，解得2b=-3,A的特征多项式f（入）=入一 3=（入3） （入一 1）.令 f（入）=0，解得入 A 的特征值为 3 和_ a 心 b6.已知矩阵阵的另一个特征值._ a解：因为Lbra = 1, 解得b=2,由 f（入）=3 或入=1.1.2若矩阵A属于特征值 3 的一个特征向量为a=121-1 2则a+2=3,b + 1 = 3,所以A=IL2 1入一 1 2-2 入一 1 入3）=0,解得1.-a2=（入一 1） 4= 0,，求该矩所以（入+ 1）（ 所以另一个

12、特征值是入1= 1 , 入2= 3.7.已知 a, b R,矩阵A=IL1，若矩阵A属于特征值 1 的一个特征向量为a1=属于特征值 5 的一个特征向量为a2= fl 求矩阵A,并写出A的逆矩阵.解：由矩阵A属于特征值 1 的一个特征向量为a1=_a b 得IL1 4 3a b= 3.由矩阵A属于特征值 5 的一个特征向量为a2= I得一 ；：一 1= 5：，- a + b = 5.联立，解得:=：即A=-4.58.（1）A的逆矩阵A-1r 是IL3求实数 a 的值； 求矩阵 M 的特征值.的一个特征向量.10解：则a 2IL3 2设是矩阵M属于特征值入的一个特征向量,_32=X_3，故9.(

13、1)I 入一 1 入)=33-2已知矩阵A=IL 1求直线 I的方程；判断矩阵A是否可逆.令 f(2a + 6= 2 入12 = 3 入2将直线解得 =4， a = 1.a = 1.=(入一 1)(入一 2) 6= 0,解得 入1= 4,入2= 1.I : x+ y 1 = 0 变换成直线 I求出矩阵A的逆矩阵A1;若不可逆，请说明理由.(1)在直线 I 上任取一点 P(xo, yo)，设它在矩阵A=变为 Q(x, y). 匸；贮=若可逆,解:2 113 对应的变换作用下x= 2xo+ yo,y= xo+ 3yo,3x yxo= 丁, 即x + 2y ly=.点 P(xo, yo)在直线 I

14、: x+ y 1 = 0 上,3x y x + 2y丁+ 一1= ,即直线 I 的方程为 4x + y 7= 0./ det(A=矩阵A可逆. 设心 a1 01L o 13a= 7AA1=-2a+ b= 1,2c + d= 0,a+ 3b = 0,1b= 7,c+ 3d= 1, A1解得1c=710.在平面直角坐标系 xOy 中，设点 P(x , 5)在矩阵 M=到点 Q(y 2, y)，求对应的变换作用下得1112-1解：依题意，3-3X+ 10= y 2, 3x+ 20= y, 由逆矩阵公式知，即*2W L ?-4 _5 = _yx =- 4,y =8,解得矩阵M=1IL3际矩阵M1= |r所以MT1=y-1泰州期末)已知向量li-1平面直角坐标系 xOy 中，点 P(1 , 1)在矩阵A对应的变换作