江苏省“丹靖沭”优秀学生培育联谊校2020届高三上学期10月份联考数学试题

1、- 1 - 20192020 学年度丹靖沭10 月份联考数学试题一、填空题：本大题共14 个小题 , 每小题 5 分, 共 70 分. 1. 已知集合02axx，11bxx，则abi_. 【答案】0,1【分析】根据交集的定义即可写出答案。【详解】02axx，11bxx，(0,1)abi故填0,1【点睛】本题考查集合的交集，需熟练掌握集合交集的定义，属于基础题。2. 复数i (12 i )z（i是虚数单位）的实部为_【答案】 2 复数i(12i)2zi, 所以实部为2. 点晴：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题，首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()(

2、)() ,abicdiacbdadbc i，( , , ,)a b c dr，其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数( ,)abi a br的实部为a，虚部为b，模为22ab，对应点为(, )a b，共轭复数为i( ,)ab a br. 3. 函数2( )log ( 31)f xx的定义域为 _【答案】13，由310 x，解得13x，所以定义域为1( ,)3. 4. 某校高三年级500 名学生中，血型为o型的有 200 人， a型的有 125 人， b型的有 125 人，ab型的有 50 人为研究血型与色弱之间的关系，现用分层抽样的方法从这500 名学生中抽取- 2 - 一个容量为60 的样本，

3、则应抽取_名血型为ab的学生【答案】 6 由题意60350025，故ab型血抽：350625人. 5. 下图是一个算法流程图，则输出的i的值为 _【答案】 3 第一次循环后s=400,i=1; 第二次循环后s=800,i=2; 第三次循环后s=1200,i=3; 第四次循环后s=16001200,输出 i=3. 点睛 : 本题考查的是算法与流程图. 对算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项 . 6. 抛一枚硬币3 次

4、，恰好2 次正面向上的概率为_【答案】38- 3 - 每枚硬币正面向上的概率都等于12, 故恰好有两枚正面向上的概率为223113() ( )228c. 7. 设命题:4p x；命题2:540q xx，那么p是q的_条件 . （选填“充分不必要”、“充要”、“既不充分也不必要”）【答案】充分不必要【分析】解不等式得到命题q中x的范围，根据集合的包含关系可得结果. 【详解】由2540 xx得：1x或4x，可知4x x是1x x或4x的真子集p是q的充分不必要条件本题正确结果：充分不必要【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定，关键是能够明确充分必要条件与集合包含关系之间的关系. 8. 用半径为1

5、0 2cm，面积为1002cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满水时的体积是【答案】31000cm3【分析】由圆锥的几何特征，我们可得用半径为10 2cm，面积为1002cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，圆锥的母线长等于扇形的半径，由此计算出圆锥的高，代入圆锥体积公式，即可示出答案【详解】设铁皮扇形的半径和弧长分别为rl、，圆锥形容器的高和底面半径分别为hr、，则由题意得r=10 2，由1100 22rl得20l；由2 rl得10r；由222rrh得10h；- 4 - 圆锥的体积23111000100 10cm333

6、vr h所以该容器最多盛水31000cm3故答案为31000cm3【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式、弧长公式以及圆锥的体积公式，属于基础题. 9. 在平面直角坐标系xoy中，双曲线2211xym的离心率为2，则实数m的值是_【答案】23【分析】根据题意，得双曲线的焦点在 x 轴上，由双曲线的离心率公式可得e2111m4，解得 m的值即可【详解】双曲线的方程为22xy1m1，分析可得双曲线的焦点在x 轴上，其离心率为2，则有 e2111m=4，解得 m 23；故答案为：23【点睛】本题考查由双曲线的离心率求双曲线的方程，注意先确定双曲线焦点的位置，属于基础题 . 10. 已知列na和nb，其

7、中2nan，nn，nb项是互不相等的正整数，若对于任意nn，nb的第na项等于2nan的第nb项，则149161 234lglgbb b bbb b b_. 【答案】2【分析】根据nb的第na项等于2nan的第nb项与2nan可知道22nnbb，再依次令1 2 3,4n，- 5 - 化简即可得出答案。【详解】nb的第na项等于2nan的第nb项即说明22nnabnnbabb当1n时，211bb；当2n时，242bb；当3n时，293bb；当4n时，2164bb；所以22149 1612341491612341234=lglg2lgb b b bb b b bb b b bb b b bb b

8、b b即149161 234lg2lgb b b bb b b b故填 2 【点睛】本题综合考查数列的概念与对数的运算，根据题意写出关系式，是解本题的关键，属于基础题11. 已知sin3sin()6，则tan()12_【答案】2 34由sin3sin6，得sin3sin12121212，即sincoscossin3 sincoscossin1212121212121212整理得：sincos2cossin12121212，即tan2 tan1212，而31tantan23123413， 故tan2 3412， 故答案为2 34. 12. 若2,0ln5,0 xaxfxxxax，的最小值为0f，

9、则实数a的取值范围是- 6 - _. 【答案】0,3【分析】分段讨论fx，当0 x时，函数fx的最小值为0f，可知道0a；当0 x时，求出( )f x 在(0,1)上单调递减，在(1)，单调递增，根据题意有(1)(0)ff，解出不等式，再取交集，即可得出答案。【详解】 当0 x时，若0a，根据函数2( )fxxa，在(, )a上单调递减， 在(0)a，单调递增，2min( )(0)f xf aaa与fx的最小值为0f矛盾，所以0a，当0 x时，( )ln5f xxxa，11( )1xfxxx，( )f x 在(0,1)上单调递减，在(1)，单调递增，22min( )(1)6(0)=60f xf

10、afaaa，解得23a，综上所述：0,3a故填0,3【点睛】本题考查分段函数的最值问题，根据分段函数的最小值点，求参数的取值范围，解决关于分段函数的问题，分段讨论即可。属于中档题。13. 在平面直角坐标系xoy中，已知点1,0p，2,1q，直线:0laxbyc，其中实数a，b，c成等差数列， 若点p在直线l上的射影为h， 则线段qh的取值范围是_【答案】2,32【分析】根据a，b，c成等差数列，可知道直线l过定点(1, 2)m，又phl，故点h在以pm为直径的圆上，即可写出圆的标准方程，而线段qh的取值范围即为圆上动点到2,1q的取值范围，即可求出答案。【详解】因为直线:0laxbyc，实数a

11、，b，c成等差数列，- 7 - 所以02acaxyc，化简得()1022yya xc （）令=0=12=21=02yxxyy，即直线l过定点(1, 2)m, 又因为phl，所以点h在以pm为直径的圆上，其圆心为pm中点(0, 1)c，半径22( 10)(01)2r圆的方程为22(1)2xy，由22(20)(1 1)2 2qc所以qcrqhqcr，所以线段qh的取值范围是2,32【点睛】本题考查等差中项的应用，直线过定点，点与圆的位置关系，解本题的关键在于求出动点h的轨迹方程，属于中档题。14. 设0abc，若不等式log2019log2019log2019ababccd对于所有满足题设的a，b

12、，c均成立，则实数d的最大值是 _【答案】4【分析】利用换底公式可化简为11lglglglglglgdabbcac，观察分母的结构，前两者的倒数和为后者的分母，即可用算数平均数调和平均数，即可得出d的最大值。【详解】因为log2019log2019log2019ababccd所以lg 2019lg 2019lg 2019lglglglglglgdabbcac即11lglglglglglgdabbcac- 8 - 又因为算数平均数调和平均数，即2112abab411abab即1144=lglglglglglg+lglglglgabbcabbcac，当且仅当11=lglglglgabbc即2lg+

13、lg=2lgacbacb，即a，b，c成等比数列时取等号，故d的最大值为4 故填 4 【点睛】本题考查对数的换底公式，对数的基本运算，基本不等式的应用，属于中档题。三、解答题（本大题共6 小题，共70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设abc的内角a，b，c所对边分别为a，b，c，向量,3mabu r，sin, cosnbar，且mnu rr(1) 求a的大小；(2) 若64nr，求cosc的值 . 【答案】（1）3a（2）6148【分析】（1）由题意知0m nu r r，再利用正弦定理将边的关系化为角的关系，再化简即可得出答案；（2）根据64nr与3a可计算出2sin

14、4b，则可求出14cos4b，再代入公式coscos=coscabab即可求出答案。【详解】解：(1)mnu rrq，0m nu r r即sin3 cos0abba，由正弦定理得，sinsinabab- 9 - sinsin3 sinbcos0aba在abc中，0,b，sin0bsin3 cosaa. 若cos0a，则sin0a，矛盾若cos0a，则sintan3cosaaa在abc中，0,a，3a(2) 由 (1) 知3a，sin, 0.5nbr64nrq，2216sin()24b解得2sin4b( 负值已舍 ) 21sin42bq又在abc中，3a故06b，cos0bsincos22bb1

15、q，14cos4b在abc中，abccoscoscabcoscossinsinabab1143261424248【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，解三角形，属于基础题，解本题的关键在于正确利- 10 - 用题干所给信息进行化简求值，需要注意的是，解题过程中有些解是要舍去的。16. 如图，在四棱锥pabcd中，已知底面abcd为矩形，且2ab，1bc，e，f分别是ab，pc的中点，pade. (1) 求证：/ /ef平面pad；(2) 求证：平面pac平面pde【答案】（1）详见解 +析（ 2）详见解 +析【分析】（1）取pd中点g，连ag，fg，根据g，e，f分别是pd，ab，pc的中点，可

16、知道四边形aefg 为平行四边形，即可说明/ /ef平面pad（2）要证明平面pac平面pde由题意已知pade，即只需证明deac, 根据矩形abcd中，e为ab的中点，2ab，1bc，即可说明deac，即平面pac平面pde【详解】证明：(1) 取pd中点g，连ag，fg，fq，g分别是pc，pd的中点/ /fgcd，且12fgcd又eq为ab中点/ /aecd，且12aecd/ /aefg，aefg四边形 aefg 为平行四边形/ /efag，又ef平面pad，ag平面pad/ /ef平面pad(2) 设acdehi- 11 - 由aehcdh:及e为ab中点得12ahaechcd又2a

17、bq，1bc3ac，1333ahac23ahabaeac又bad为公共角gaebac:90aheabc即deac又depa，paacaide平面pac，又de平面pde平面pac平面pde【点睛】本题考查线面平行，面面垂直证明，其中要证线面平行有两个方向：利用线面平行的判定定理：,lm mll；利用面面平行的性质定理：,ll。要证面面垂直，需利用面面垂直判定定理：在其中一个平面内找到一条直线说明这条直线垂直于另一个平面。属于基础题。17. 如图，已知ab是一幢 6 层的写字楼，每层高均为3m，在ab正前方 36m处有一建筑物cd，从楼顶a处测得建筑物cd的张角为45o1求建筑物cd的高度；2一

18、摄影爱好者欲在写字楼ab的某层拍摄建筑物.cd已知从摄影位置看景物所成张角最大- 12 - 时，拍摄效果最佳.问：该摄影爱好者在第几层拍摄可取得最佳效果(不计人的高度)？【答案】 (1)30米;(2) 当6n时，张角cmd最大，拍摄效果最佳. 【详解】试题分析： （ 1）先作aecd于e，构造直角三角形dae，然后运用两角差的正切公式求出tan cae，再求出36tancecae； （ 2）先依据题设求出tan cmn，tan dmn，然后建立目标函数2120tan12155cmdnn，通过求函数的最值使得问题获解：解： （ 1）如图，作aecd于e，则/ /aebd. 所以18deab，36

19、aebd. 因为181tan362dae，所以1tan1tantan 451tan3daecaedaedaeo. 所以36tan12cecae. 答：建筑物的高度为30 米. （2）设在第n层m处拍摄效果最佳，则摄影高度为31n米（如图）- 13 - （16,nnn）. 作mncd于n，则31dnn，3031333cnnn. 11tan12cnncmnmn，1tan12dnndmnmn，111tantan1212tantan1111tantan11212nncmndmncmdcmndmnn ncmndmn22120120120121551196119nnn（当6n时取等号） . 因为函数tan

20、yx在0,2上是单调增函数，所以当6n时，张角cmd最大，拍摄效果最佳. 答：该人在6 层拍摄时效果最好. 18. 如图，已知椭圆2222:10 xyeabab的左顶点2,0a，且点31,2在椭圆上，12ff、分别是椭圆的左、右焦点。过点a作斜率为0k k的直线交椭圆e于另一点b，直线2bf交椭圆e于点c. （1）求椭圆e的标准方程；- 14 - （2）若12cf f为等腰三角形，求点b的坐标；（3）若1f cab，求k的值 . 【答案】（1）22143xy（2）8 3 3,55b（ 3）612k试题分析：(1) 由题意得到关于, ,a b c的方程组，求解方程组可得椭圆e的标准方程：2214

21、3xy；(2) 由题意可得点c在x轴下方据此分类讨论有：0,3c，联立直线bc的方程与椭圆方程可得8 3 3,55b；(3) 设直线ab的方程:2ablyk x，联立直线方程与椭圆方程，可得2228612,3434kkbkk利用几何关系1f cab计算可得281, 8ckk，利用点c在椭圆上得到关于实数k的方程，解方程有：612k . 试题详细分析：（1）由题意得2222219144aabcb，解得231abc椭圆e的标准方程：22143xy（2）12cf f为等腰三角形，且0k点c在x轴下方1若12f cf c，则0,3c；2若122f fcf，则22cf，0,3c；3若112f cf f，

22、则12cf，0,3c；- 15 - 0,3c直线bc的方程31yx，由2231143yxxy得03xy或853 35xy8 3 3,55b（3）设直线ab的方程:2ablyk x，由222143yk xxy得2222341616120kxk xk221612234abbkxxxk228634bkxk212234bbkyk xk2228612,3434kkbkk若12k，则31,2b，31,2c，11,0f，134cfk，1f c与ab不垂直；12k，21,0f，21241,14bfcfkkkkk，直线2bf的方程224:114bfklyxk，直线1cf的方程 :11:1cflyxk由24114

23、11kyxkyxk解得2818xkyk281, 8ckk又点c在椭圆上得222818143kk，即22241890kk，即2124k0k，612k点睛： 解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1) 注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2) 强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦- 16 - 长、斜率、三角形的面积等问题19. 已知数列na的前n项和为ns，13a，且对任意的正整数n，都有113nnnss，其中常数0设3nnnab()nn（1）若3，求数列nb的通项公式；（2）若1且3，设233nnnca()nn，证明数列nc是等比

24、数列；（3）若对任意的正整数n，都有3nb，求实数的取值范围【答案】（1）213nnb（2）详见解 +析（ 3）7(03，试题分析：（1）先根据和项与通项关系，将条件113nnnss转化为12 3nnnaa，即132 3nnnaa，再根据题设条件进行构造数列nb：112333nnnnaa，即123nnbb，最后根据等差数列定义得证（2）先根据等比数列定义明确目标：111233233nnnnnnacca为一个常数，因此利用12 3nnnaa，代入化简得为，因此nc是首项为3(1)3，公比为的等比数列，（ 3）先化简不等式3nb，实质讨论数列na：当3时，213nnb，当1且3时，112()333

25、nnb若1，则1nb，然后分别解不等式3nb，难点在当1且3时，需分类讨论： 若3时，103，1nnbb，nn，1,)nb，不符合，舍去若01时，103，203，1nnbb，只须11133ab即 可 ， 显 然 成 立 故01符 合 条 件 ； 若13时 ，103，203，从而1nnbb，故21)3nb，只须233即可，于是713试题详细分析：解：113nnnss，nn，当2n时，-13nnnss，- 17 - 从而12 3nnnaa，2n，nn又在113nnnss中，令1n，可得1212 3aa，满足上式，所以12 3nnnaa，nn（1）当3时，132 3nnnaa，nn，从而112333

26、nnnnaa，即123nnbb，又11b，所以数列nb是首项为1，公差为23的等差数列，所以213nnb（2）当0且3且1时，1122323333nnnnnncaa11111223(33)(3)33nnnnnaac，又163(1)3033c，所以nc是首项为3(1)3，公比为的等比数列，13(1)3nnc（3）在（ 2）中，若1，则0nc也适合，所以当3时，13(1)3nnc从而由（ 1）和（ 2）可知11(21)333(1)23333nnnnna，当3时，213nnb，显然不满足条件，故3当3时，112()333nnb若3时，103，1nnbb，nn，1,)nb，不符合，舍去若01时，103

27、，203，1nnbb，nn，且0nb所以只须11133ab即可，显然成立故01符合条件；若1时，1nb，满足条件故1符合条件；- 18 - 若13时，103，203，从而1nnbb，nn，因为110b故21)3nb， 要使3nb成立，只须233即可于是713综上所述，所求实数的范围是7(03，考点：等差数列与等比数列定义，数列单调性20. 设函数()sin(0)fxxaxa（1）若函数()yfx是r上的单调增函数，求实数a的取值范围；（2）设1()()ln1 (0)2ag xfxbxbr b，()gx是()g x的导函数若对任意的0()0 xgx，求证：存在0 x ，使0()0g x；若1212()()()g xg xxx，求证：2124x xb【答案】 (1)01a；(2) . 证明见解 +析； . 证明见解 +析. 【详解】试题分析： （1）由题