江苏省南通市启东高二上期末数学试卷有答案

1、2017-2018 学年江苏省南通市启东高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1 （5 分）复数，其中 i 为虚数单位，则 z 的虚部是2 （5 分）命题“ ? xr ，x220”的否定是3 （5 分）执行如图所示的伪代码，若输出的y 值为 1，则输入 x 的值为4 （5 分）已知一组数据4.8，4.9 ，5.2 ，5.5 ，5.6 ，则该组数据的方差是5 （5 分）抛物线 x2=4y 的焦点到准线的距离为6 （5 分）某校高一年级有学生400 人，高二年级有学生360 人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56 人

2、，其中从高一年级学生中抽出20 人，则从高二年级学生中抽取的人数为7 （5 分）观察下列各式 91=8，164=12，259=16，3616=20，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示为8 （5 分）离心率为 2 且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是9 （5 分）将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6 个点为正方体玩具）先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和不小于9 的概率是10 （5 分）已知命题 p：“? x1 ，2 ，x2a0”；命题 q：“? xr ，x2+2ax+2a=0”，若命题“ pq”是真命题，则实数a 的取值范围

3、是11 （5 分）在平面直角坐标系xoy中，直线 mx y3m 2=0（m r）被圆（ x2）2+（y+1）2=4 截得的所有弦中弦长的最小值为12 （5 分）已知点 a的坐标是（ 1，1） ，f1是椭圆 3x2+4y212=0的左焦点，点 p在椭圆上移动，则 |pa|+2|pf1| 的最小值13 （5 分）已知圆和两点，（m 0） ，若圆c上存在点 p，使得 apb=60 ，则实数 m的取值范围是14 （5 分）如图，已知椭圆（ab0）的左、右焦点为f1、f2，p是椭圆上一点，m在 pf1上，且满足，po f2m ，o为坐标原点椭圆离心率e 的取值范围二、解答题：本大题共6 小题，共计 90

4、 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （14 分）已知 z 为复数， z+2i 和均为实数，其中i 是虚数单位（1）求复数 z 和|z| ；（2）若在第四象限，求实数m的取值范围16 （14 分）已知命题 p：? xr，tx2+x+t 0（1）若 p 为真命题，求实数t 的取值范围；（2）命题 q：? x2 ，16 ，tlog2x+10，当 pq 为真命题且 pq 为假命题时，求实数t的取值范围17 （14 分）已知椭圆 c的方程为+=1（1）求 k 的取值范围；（2）若椭圆 c的离心率 e=，求 k 的值18 （16 分）已知圆 o ：x2+y2=4，两

5、个定点 a（a，2） ，b （m ，1） ，其中 ar，m 0p为圆 o上任意一点，且（ 为常数） （1）求常数 的值；（2）过点 e（a，t ）作直线 l 与圆 c：x2+y2=m交于 m ，n两点，若 m点恰好是线段 ne的中点，求实数 t 的取值范围19 （16 分） （1）找出一个等比数列 an ，使得 1，4 为其中的三项，并指出分别是an的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明： 1，4 不可能为同一等差数列中的三项20 （16 分）已知椭圆 c：左焦点 f，左顶点 a，椭圆上一点 b满足 bf x 轴，且点b在 x 轴下方，ba连线与左准线 l 交于点 p，过点 p任意引一直线

6、与椭圆交于c、d，连结 ad 、bc交于点 q ，若实数 1，2满足：=1，=2（1）求 1?2的值；（2）求证：点 q在一定直线上 选修 4-2 ：矩阵与变换 （本小题满分 10 分）21 （10 分）已知矩阵 m=，其中 ar，若点 p（1，2）在矩阵 m的变换下得到点p（4，0）（1）求实数 a 的值；（2）求矩阵 m的特征值及其对应的特征向量 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 （本小题满分 20 分）22已知直线的极坐标方程为，圆 m 的参数方程为（其中 为参数） （）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（）求圆 m上的点到直线的距离的最小值23 （10 分）如图，正方形abcd 的中

7、心为 o，四边形 obef 为矩形，平面 obef 平面 abcd ，点 g为 ab的中点， ab=be=2 （1）求证： eg 平面 adf ；（2）求二面角 o ef c的正弦值；（3）设 h为线段 af上的点，且 ah= hf ，求直线 bh和平面 cef所成角的正弦值24 （10 分）在平面直角坐标系xoy中，直线 l ：x=1，点 t（3，0） ，动点 p满足 ps l ，垂足为 s，且?=0，设动点 p的轨迹为曲线 c（1）求曲线 c的方程；（2）设 q是曲线 c上异于点 p的另一点，且直线pq过点（1，0） ，线段 pq的中点为 m ，直线 l 与 x 轴的交点为 n求证：向量与

8、共线参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1 （5 分）复数，其中 i 为虚数单位，则 z 的虚部是【解答】解：复数=i ，则 z 的虚部 =故答案为：2 （5 分）命题“ ? xr ，x220”的否定是? xr ，x220 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“? xr ，x220”的否定是：? xr，x220故答案为： ? xr，x2203 （5 分）执行如图所示的伪代码，若输出的y 值为 1，则输入 x 的值为1 【解答】解：由程序语句知：算法的功能是求f （x）=的值，当 x0 时，y=2x+1=1

9、，解得 x=1，不合题意，舍去；当 x0 时，y=2x2=1，解得 x=1，应取 x=1；综上， x 的值为 1故答案为： 14 （5 分）已知一组数据4.8，4.9 ，5.2 ，5.5 ，5.6 ，则该组数据的方差是0.1 【解答】解：数据4.8 ，4.9 ，5.2 ，5.5 ，5.6 的平均数为：=（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2，该组数据的方差为：s2= （4.8 5.2 ）2+（4.9 5.2 ）2+（5.2 5.2 ）2+（5.5 5.2 ）2+（5.6 5.2 ）2=0.1 故答案为： 0.1 5 （5 分）抛物线 x2=4y 的焦点到准线的距离为2 【解答】解：

10、抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：p=2故答案为： 26 （5 分）某校高一年级有学生400 人，高二年级有学生360 人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56 人，其中从高一年级学生中抽出20 人，则从高二年级学生中抽取的人数为18 【解答】解：设从高二年级学生中抽出x 人，由题意得=，解得 x=18，故答案为： 187 （5 分）观察下列各式 91=8，164=12，259=16，3616=20，这些等式反映了自然数间的某种规律， 设 n 表示自然数，用关于 n 的等式表示为（n+2）2n2=4 （n+1）（nn?） 【解答】解：观察下列各式91=3212=8=4（1+1） ，16

11、4=4222=12=4（1+2） ，259=5232=16=4（1+3） ，3616=6242=20=4（1+4） ，分析等式两边数的变化规律，我们可以推断（n+2）2n2=4（n+1） （nn?）故答案为：（n+2）2n2=4（n+1） （nn?）8 （5 分）离心率为 2 且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是=1 【解答】解：根据题意，椭圆+=1 的焦点为（ 4，0） ，又由双曲线与椭圆有共同焦点，则双曲线的焦点在x 轴上，且 c=4，设其方程为=1，又由双曲线的离心率e=2，即 e= =2，则 a=2，b2=c2a2=164=12，则双曲线的方程为：=1；故答案为：=19 （5 分）将

12、一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6 个点为正方体玩具）先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和不小于9 的概率是【解答】解：将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6 个点为正方体玩具）先后抛掷2 次，基本事件总数 n=66=36，出现向上的点数之和不小于9 包含的基本事件有：（3，6） ， （6，3） ， （4，5） ， （5，4） ， （4，6） ， （6，4） ， （5，5） ， （5，6） ， （6，5） ， （6，6） ，共有 10 个，出现向上的点数之和不小于9 的概率： p=故答案为：10 （5 分）已知命题 p：“? x1 ，2

13、，x2a0”；命题 q：“? xr ，x2+2ax+2a=0”，若命题“ pq”是真命题，则实数a 的取值范围是a2，或 a=1 【解答】解：若命题p：“? x1 ，2 ，x2a0”为真；则 1a0，解得： a1，若命题 q：“? xr，x2+2ax+2a=0”为真，则=4a24（2a）0，解得： a2，或 a1，若命题“ pq”是真命题，则a2，或 a=1，故答案为： a2，或 a=111 （5 分）在平面直角坐标系xoy中，直线 mx y3m 2=0（m r）被圆（ x2）2+（y+1）2=4 截得的所有弦中弦长的最小值为【解答】解：直线mx y3m 2=0过定点 i （3，2） ，圆（x

14、2）2+（y+1）2=4的圆心坐标 c（2，1） ，半径为 r=2如图，|ci|=，直线mx y3m2=0 被圆（ x2）2+（ y+1）2=4 截得的所有弦中弦长的最小值为故答案为：12 （5 分）已知点 a的坐标是（ 1，1） ，f1是椭圆 3x2+4y212=0的左焦点，点 p在椭圆上移动，则 |pa|+2|pf1| 的最小值5 【解答】解：由椭圆3x2+4y212=0作出椭圆如图，由 a2=4，b2=3，得 c2=1，c=1，=，由椭圆的第二定义可得，椭圆上的点到左焦点的距离|pf1| 与到左准线的距离的比值为e=，2|pf1| 为椭圆上的点到左准线的距离，过 a作 ab 左准线 l

15、与 b，交椭圆于 p，则 p点为使 |pa|+2|pf1| 最小的点，最小值为a到 l 的距离，等于 1+=1+4=5故答案为： 513 （5 分）已知圆和两点，（m 0） ，若圆c上存在点 p，使得 apb=60 ，则实数 m的取值范围是m| 【解答】解：如图，当d （0，3m ）时， adb=60 ，故满足条件的点 p必在以 a、b、d三点所确定的圆周上，该圆圆心为 m （0，m ） ，要使圆 c上存在点 p，由两圆必有交点，即|rmrc| |mc|rm+rc| ，如图，|rmrc|2|mc|2|rm+rc|2，（2m 2）2（3）2+（m 5）2（2m+2 ）2，由 m 0，解得 2故答

16、案为： m| 14 （5 分）如图，已知椭圆（ab0）的左、右焦点为f1、f2，p是椭圆上一点，m在 pf1上，且满足， po f2m ， o为坐标原点椭圆离心率 e 的取值范围（， 1） 【解答】解：设 p（x0，y0） ，m （xm，ym） ，=（x0+c，y0）=（xm+c，ym）m （x0c，y0） ，=（x0c，y0） ，po f2m ，=（x0，y0）（x0c）x0+y02=0即 x02+y02=2cx0，联立方程得：，消去 y0得：c2x022a2cx0+a2（a2c2）=0，解得： x0=或 x0=，ax0a，x0=（0，a） ，0a2acac 解得： e，综上，椭圆离心率e

17、的取值范围为（，1） 故答案为：（，1） 二、解答题：本大题共6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （14 分）已知 z 为复数， z+2i 和均为实数，其中i 是虚数单位（1）求复数 z 和|z| ；（2）若在第四象限，求实数m的取值范围【解答】解：（1）设 z=a+bi （a，br） ，则 z+2i=a+（b+2）i ，由 z+2i 为实数，得 b+2=0，则 b=2由=为实数，得，则 a=4，z=42i ，则；（2）由=4+3m+ （m24）i 在第四象限，得，解得16 （14 分）已知命题 p：? xr，tx2+x+t 0（1）

18、若 p 为真命题，求实数t 的取值范围；（2）命题 q：? x2 ，16 ，tlog2x+10，当 pq 为真命题且 pq 为假命题时，求实数t的取值范围【解答】解：（1）? xr，tx2+x+t0，t 0 且=14t20，解得p 为真命题时，（ 6 分）（2）? x2 ，16 ，tlog2x+10? ? x2 ，16 ，有解又 x2 ，16 时，t 1（ 8 分）pq 为真命题且 pq 为假命题时， p 真 q 假或 p 假 q 真，当 p 假 q 真，有解得；当 p 真 q 假，有解得 t 1；pq 为真命题且 pq 为假命题时， t 1 或（ 14 分）17 （14 分）已知椭圆 c的方

19、程为+=1（1）求 k 的取值范围；（2）若椭圆 c的离心率 e=，求 k 的值【解答】解：（1）方程为+=1表示椭圆，则，解得 k （1，5）（ 5，9）（ 6 分） （未去 5 扣 2 分）（2）当 9kk1 时，依题意可知 a=，b=，c=，=，k=2；当 9kk1 时，依题意可知 b=，a=，c=，=，k=8；k 的值为 2 或 8 （一种情况（ 4 分）共 8 分）18 （16 分）已知圆 o ：x2+y2=4，两个定点 a（a，2） ，b （m ，1） ，其中 ar，m 0p为圆 o上任意一点，且（ 为常数） （1）求常数 的值；（2）过点 e（a，t ）作直线 l 与圆 c：x2

20、+y2=m交于 m ，n两点，若 m点恰好是线段 ne的中点，求实数 t 的取值范围【解答】解：（1）设点 p（x，y） ，x2+y2=4，因为，所以（ xa）2+（y2）2=2 （xm ）2+（y1）2 ，化简得 2ax+4ya28=2（2mx+2y m25） ，因为 p为圆 o上任意一点，所以，又 m 0，0，解得，所以常数（ 8 分）（2）设 m （x0，y0） ，m是线段 ne的中点， n（2x02，2y0t ） ，又 m ，n在圆 c上，即关于 x，y 的方程组有解，化简得有解，即直线 n：8x+4ty t27=0与圆 c：x2+y2=1有交点，则，化简得： t42t2150，解得（

21、 16 分）19 （16 分） （1）找出一个等比数列 an ，使得 1，4 为其中的三项，并指出分别是an的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明： 1，4 不可能为同一等差数列中的三项【解答】解：（1）取一个等比数列 an ：首项为 1、公比为，则，2分则令=4，解得 n=5，所以 a1=1，a5=4 4 分（2）证明：假设是有理数，则存在互质整数h、k，使得，5 分则 h2=2k2，所以 h 为偶数，7 分设 h=2t，t 为整数，则 k2=2t2，所以 k 也为偶数，则 h、k 有公约数 2，这与 h、k 互质相矛盾，9 分所以假设不成立，所以是有理数10 分（3）证明：假设 1，4

22、 是同一等差数列中的三项，且分别为第 n、m 、p 项且 n、m 、p 互不相等， 11 分设公差为 d，显然 d0，则，消去 d 得，13 分由 n、m 、p 都为整数，所以为有理数，由（2）得是无理数，所以等式不可能成立，15 分所以假设不成立，即1，4 不可能为同一等差数列中的三项16 分20 （16 分）已知椭圆 c：左焦点 f，左顶点 a，椭圆上一点 b满足 bf x 轴，且点b在 x 轴下方，ba连线与左准线 l 交于点 p，过点 p任意引一直线与椭圆交于c、d，连结 ad 、bc交于点 q ，若实数 1，2满足：=1，=2（1）求 1?2的值；（2）求证：点 q在一定直线上【解答

23、】解：（1）由椭圆 c ：，得 a2=16，b2=12，则 f（2，0） ，由 bf x 轴，不妨设 b（2，3） ，a（4，0） ，直线 ab ：y=（x+4） ，又左准线 l ：x=8，p（8，6） ，又=1，得，由=2，得，得，又，由系数相等得，得；（2）证明：设点 c（x1，y1） ，d（x2，y2） ，q （x0，y0） ，由=1，得（ x1+2，y1+3）=1（x0 x1，y0y1） ，得，代入椭圆方程：，得：，显然 10，同理得：，又由（ 1），整理得： x0+y0+2=0，即点 q在定直线 xy+2=0上 选修 4-2 ：矩阵与变换 （本小题满分 10 分）21 （10 分）已

24、知矩阵 m=，其中 ar，若点 p（1，2）在矩阵 m的变换下得到点p（4，0）（1）求实数 a 的值；（2）求矩阵 m的特征值及其对应的特征向量【解答】解：（1）由=，22a=4? a=3（2）由（1）知m=，则矩阵m的特征多项式为令 f （）=0，得矩阵 m的特征值为 1 与 4当 =1 时，矩阵 m的属于特征值 1的一个特征向量为；当 =4 时，矩阵 m的属于特征值 4 的一个特征向量为 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 （本小题满分 20 分）22已知直线的极坐标方程为，圆 m 的参数方程为（其中 为参数） （）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（）求圆 m上的点到直线的距离的最小值【解答】解：（）以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系 （1 分），sin +cos=1 （2 分）该直线的直角坐标方程为：x+y1=0 （3 分）（）圆 m的普通方程为： x2+（y+2）2=4（4 分）圆心 m （0，2）到直线 x+y1=0的距离 （5 分）所以圆 m上的点到直线的距离的最小值为 （7 分）23 （10 分）如图，正方形abcd 的中心为 o，四边形 obef 为矩形，平面 obef 平面 abcd ，点 g为 ab的中点， ab=be=2