第九周自测《费马点》

1、1 专题 9费马点破解策略费马点 是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离若三角形的内角均小于120 ，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于120 ，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点1. 若三角形有一个内角大于等于120 ，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点如图在abc中，bac120 ，求证：点a为abc的费马点证明：如图，在abc内有一点p延长ba至c，使得acac，作cap cap，并且使得apap，连结pp则apcapc，pcpc因为bac120 所以papcac60 所以在等腰pap中，appp

2、所以papbpcpppbpcbcabac所以点a为abc的费马点2. 若三角形的内角均小于120 ，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点2 如图，在abc中三个内角均小于120 ，分别以ab、ac为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在abc内的交点为o，求证：点o为abc的费马点证明：在abc内部任意取一点o，；连接oa、ob、oc将aoc绕着点a逆时针旋转60，得到aod连接oo则odoc所以aoo为等边三角形，ooao所以oaocobooobod则当点b、o、o、d四点共线时，oaoboc最小此时abac为边向外作等边三角形

3、，两个等边三角形的外接圆在abc内的交点即为点o如图，在abc中，若bac、abc、acb均小于 120 ，o为费马点，则有aobboccoa120 ，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心3 例 1 如图，在平面直角坐标系中，点a的坐标为（6，0），点b的坐标为（ 6，0），点c的坐标为（ 6，），延长ac至点d使得cdac，过点de作de/ab，交bc34的延长线于点e，设g为y轴上的一点， 点p从直线yx与y轴的交点m出发，336先沿y轴到达点g，再沿ga到达点a，若点p在y轴上运动的速度是它在直线ga上运动速度的 2 倍，试确定点g的位置，使点p按照上述要求到达a所用的时间最短解：tv

4、gmvvgm22gaga2当 2gagm最小时，时间最短如图，假设在om上存在一点g，则bgagmg2agmgagbg把mgb绕点b顺时针旋转60 ，得到mgb，连结gg，mmggb、mmb都为等边三角形则gggbgb又mgmgmgagbgmgggag点a、m为 定 点am与om的 交 点 为g， 此 时mgagbg最小点g的坐标为（ 0，）324 例 2 a、b、c、d四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，要建立一个公路系统使得每两个城市之间都有公路相通，并是整个公路系统的总长度为最小，则应当如何修建？解：如图，将abp绕点n逆时针旋转60 ，得到ebm；同样，将dcq绕点c顺时针旋转 60

5、，得到fcn，连结ae、df，则abe、dcf均为等边三角形，连结pm、qn，则bpm，cqn均为等边三角形所以当点e，m，p，q，n，f共线时， 整个公路系统的总长取到最小值，为线段ef的长，如图，此时点p，q在effnembcadpq进阶训练1如图，abc中，abc60，ab5，bc3，pabc内一点， 求papbpc的最小值，并确定当papbpcapc的度数5 bcap答案：papbpc的最小值为7apc120papacbeapb绕点b逆时针旋转60，得到abp ，连结pp ，ac 过点a 作aebc，交cb的延长线于点e解 rtaec求ac的长， 所得即为papbpc的最小值2 如图，四边形abcdabe是等边三角形，m为对角线bd上任意一点，将bm绕点b逆时针旋转60得到bn，连结am，cm，en（1）当m在何处时，amcm的值最小 ? （2）当m在何处时，ambmcm的值最小？请说明理由；（3）当ambmcm的最小值为时，求正方形的边长31necdbam答案：（ 1）当点m落在bd的中点时，amcm的值最小，最小值为ac的长；（2）连结ce，当点m位