勾股定理知识讲解

1、1 / 13 勾股定理知识点学习要求：学习重点是利用计算面积和拼图的方法探索并验证勾股定理借助三角形三边关系来判断一个三角形是否是直角三角形。难点是各种拼图的理解和勾股定理的应用。中考热点：主要考查勾股定理与直角三角形判定条件的应用和勾股数常与三角形其他知识结合考查。一、探索勾股定理：勾股定理（重点）内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b，斜边为 c ，那么222abc即：直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方注：勾股定理揭示的是直角三角形三边关系的定理，只使用与直角三角形。使用勾股定理时首先确定最长边即斜边。.勾股定理

2、的证明（难点）勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4efghsss正方形正方形 abcd，2214()2abbac ，化简可证cbahgfedcba方法二：见右图四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422sabcabc大正方形面积为222()2sabaabb所以222abc方法三：1() ()2sabab梯形，2112s222adeabessabc梯形，化

3、简bacbaccabcababccbaedcba2 / 13 得证.勾股定理的适用x 围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形（22ab2c）和钝角三角形（22ab2c的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形.勾股定理的应用（重点）已知直角三角形的任意两边长，求第三边在abc中，90c，则22cab，22bca，22acb知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系。可运用勾股定理解决一些实际问题不能直接用勾股定理解决问题可通过添加辅助线转化为直角三角形在用勾股定理、勾股定理的应用题型：折叠问题中的应用；

4、测量问题中的应用；实际生活中的应用；方案问题中的应用。注： 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解5、例 1、如图 1 是边长分别为 a 、 b 的两个正方形，经如图 2 所示的割补可以得到边长为 c 的正方形，且面积等于割补前的两正方形的面积之和利用这个方法可以推得或验证勾股定理现请你通过对图 2 的观察指出下面对割补过程的理解不正确的是（）a. 割补 b.

5、 割补 c. 割补 d. 割补解答：b 2、 （2013 资阳）如图 1，点e在正方形abcd内，满足90aeb，ae=6 ，be=8 ，则阴影部分的面积是a48b60c76d80 图 13 / 13 (6 题图 )abcdfe3、 （ 2013xx）如图，有两颗树，一颗高10 米，另一颗高4 米，两树相距8 米一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）a8 米 b10 米c12 米d 14 米4、如图，在直角坐标系中，点a、b 的坐标分别为 (1，4)和 (3，0)，点 c 是 y 轴上的一个动点，且 a、b、c 三点不在同一条直线上，当abc 的周长最小时，点c 的坐标是a

6、(0，0) b(0 ，1) c (0，2) d (0， 3) 5、如图是一段楼梯，高bc 是 3 米，斜边ac 是 5 米，若在楼梯上铺地毯，则至少需要地毯的长是（）a、5m b、6m c 、 7m d 、8m 6、 （2011xx）如图，矩形纸片abcd中，已知ad =8 ，折叠纸片使ab边与对角线ac重合，点b落在点f处，折痕为ae，且ef=3，则ab的长为 ( ) a.3 b.4 c.5 d.6 7、 （2016宿迁）如图，把正方形纸片abcd沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为mn ，再过点 b 折叠纸片，使点a 落在 mn 上的点 f 处，折痕为be 若 ab 的长为 2，则fm

7、的长为a2 b3c2d1 nmfedcba8、图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.在 rt abc 中，若直角边ac=6 ，bc=5 ，将四个直角三角形中边长为6 的直角边分别向外延长一倍， 得到图乙所示的 “数学风车” ， 则这个风车的外围周长（图乙中的实线） 是 （）a. 52b. 48c. 72d. 764 / 13 9、.如图rtabc，90c3,4acbc,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积bac21edcba10 、如图abc中，90c，12，1.5cd，2.5bd，求ac的长分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来11 、 （20

8、16xx）如图，将一 x 矩形纸片abcd折叠， 使两个顶点a、c 重合， 折痕为 fg ，若 ab=4 ，bc=8 ，则 abf 的面积为 . 二、一定是直角三角形吗？1、直角三角形的判定条件（重点）如果三角形三边长a ，b， c 满足222abc ，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22ab 与较长5 / 13 边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b， c 为三边的三角形是直角三角形；若222abc ，时，以 a ，b， c 为三边

9、的三角形是钝角三角形；若222abc ，时，以 a ，b，c 为三边的三角形是锐角三角形；定理中 a ，b， c 与222abc 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a ，b， c 满足222acb ，那么以 a，b， c 为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形2、勾股数（难点）能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222abc中， a ，b， c 为正整数时，称a ，b， c 为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ；

10、5,12,13； 7,24,25 等用含字母的代数式表示n组勾股数：221,2 ,1nn n（2,nn为正整数）；2221,22 ,221nnnnn（ n为正整数）2222,2,mnmn mn （,mnm ， n 为正整数）注：判断勾股数的方法：必须满足222abc，必须是正整数，两者缺一不可。、 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形， 在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论3、例 1、已知：如图，b= d=90 ， a=60 ， ab=4 ，cd=2 。求：四

11、边形abcd的面积。2、如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现ab=dc=8m，ad=bc=6m，ac=9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格? 考点： 矩形的判定6 / 13 分析： 本题是数学问题在生活中的实际应用，所以要把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判别条件，验证它是否为直角三角形4、方案设计方面的应用如图 ,铁路 a、 b 两站相距 25km,c、 d 是两个工厂位于铁路的同侧，其中 ca ab，db ab，且 ac=15km，bd=10km 1）尺规作图，在铁路ab 上找一个点e 建中转站，使得ce=de ，请作这个

12、点。（作cd的中垂线与ab 的交点即为e 点）2）此时中转站e 距 a 站多远，请求出来。三、 勾股定理的应用勾股定理与其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决1、确定几何体上的最短路线（重点）在平面上解决最短路线的根据是线段的性质：在平面上，两点之间，线段最短，在立体图形中， 由于有一些面是曲面，两点间的最短路线就不一定是两点间的线段长，故应将其展开成平面图形，利用平面图形中线段的性质确定最短路线. 例、 （2012xxxx3分） 如图，圆柱形玻璃杯高为12cm

13、、底面周长为18cm ，在杯内离杯底 4cm 的点 c 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点 a 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（）cm 考点 圆柱的展开，矩形的性质，轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理。分析 如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点a 竖直剖开）后侧面是一个长18 宽 12 的矩形，作点 a 关于杯上沿mn 的对称点b，连接 bc 交 mn 于点 p，连接 bm ，过点 c 作 ab 的垂7 / 13 线交剖开线ma 于点 d 。由轴对称的性质和三角形三边关系知ap pc 为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且ap=bp 。由已知和矩形的性质，得dc=9 ，

14、bd=12 。在 rt bcd 中，由勾股定理得2222bcdcbd91215。appc=bp pc=bc=15，即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm 。2、2、直角三角形的判别法的应用直角三角形的判别法常用于判断一个角是否是直角或判断三边关系，解题时一般需构造三角形，再根据三边关系判别该三角形是否为为一边的平方是否等于其它两边的平方和即可解答： 直角三角形的判别法常用于判断一个角是否是直角或判断三边关系，解题时一般需构造三角形，再根据三边关系判别该三角形是否为一边的平方是否等于其它两边的平方和即可8 / 13 例、如图正方形abcd ，e 为 bc 中点，f 为 ab 上一点，且bf= 14a

15、b请问 fe 与 de 是否垂直 ?请说明。常见图形：abc30dcbaadbccbda专题训练：一、选择题1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）a、8，15 ，17 b、 4，5，6 c、5，8，10 d 、8， 39 ，40 2、 、如图，每个小正方形的边长为1，a、b、c是小正方形的顶点，则abc 的度数是（）a、90 b、60 c、 45 d 、30 3、 （2012xx）如图，在矩形abcd中， ab=2 ， bc=4 ，对角线 ac 的垂直平分线分别交ad 、ac 于点 e、 o，连接 ce ，则 ce 的长为（）9 / 13 a3b 3.5c 2.5d 2.8 考点 ：

16、线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质。4、若 abc 的三边长a、b、c 满足222506810abcabc，那么 abc 是（）a、锐角三角形、b、直角三角形、c、钝角三角形、d 、无法确定5、abc 中，ab=15 ，ac=13 ，高 ad =12 ，则 abc 的周长为（）a. 42b. 32c. 42或 32d. 37或 33考点： 勾股定理分析：本题应分两种情况进行讨论：（1） 当abc 为锐角三角形时，在 rtabd和 rtacd 中，运用勾股定理可将bd 和 cd 的长求出， 两者相加即为 bc 的长，从而可将 abc 的周长求出； （2）当abc 为钝角三角形时， 在 r

17、tabd和 rtacd 中，运用勾股定理可将bd 和 cd 的长求出，两者相减即为b二、填空题1、直角三角形周长为12cm ，斜边长为5cm ，则直角三角形的面积为2、矩形纸片abcd中， ab 3cm ，bc 4cm ，现将纸片折叠压平，使a 与 c 重合，设折痕为ef ，则重叠部分aef 的面积等于3、4、（ 2010?xx ）把一 x 矩形纸片（矩形abcd ）按如图方式折叠，使顶点b 和点 d 重合，折痕为 ef 若 ab=3cm ，bc=5cm，则重叠部分def的面积是 _cm210 / 13 5、（ 2014?xx ）如图，在 rt abc 中， b=90 ， ab=3 ， bc=

18、4 ，将 abc 折叠，使点 b 恰好落在边ac 上，与点b重合， ae 为折痕，则eb = 1.5 6、如图， abc 中，有一点p 在 ac 上移动若ab=ac=5 ，bc=6 ，则 ap+bp+cp的最小值为（）a. 8 b. 8.8 c. 9.8 d. 10 答案 c. 三、解答题1、四边形abcd中， b=90 ， ab=3 ，bc=4 ，cd=12 ，ad=13 ，求四边形abcd的面积。2、如图所示，折叠矩形的一边ad ，使点 d 落在 bc 边的点 f 处，已知 ab=8cm，bc=10cm，求 ef 的长。3、如图 ,一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙),有一只蚂蚁从柜角a处沿着木柜表面爬到柜角c1处。11 / 13 (1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当ab=4,bc=4,cc1=5 时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；(3)求点b1到最短路径的距离。4、 （ 2013? 湘西州）如图，rt abc中，c=90 ， ad 平分cab， de ab 于 e，若 ac=6 ，bc=8 ，cd=3 （1）求 de 的长；（2）求adb的面