大物B课后题08-电磁感应电磁场

1、习题8-6 一根无限长直导线有交变电流i=I°sincot,它旁边有一与它共面的矩形线圈ABCD ,如图所示，长为l的AB和CD两边与直导向平行，它们到直导线的距离分别为 求矩形线圈所围面积的磁通量，以及线圈中的感应电动势。解 建立如图所示的坐标系，在矩形平面上取一矩形面元穿过该面元的磁通量为a和b,试dS = ldx ,载流长直导线的磁场d m = B dSldx2二 x通过矩形面积CDEF的总磁通量为m = ldx2二 x业糖sin ta2 :由法拉第电磁感应定律有d mdt2 二8-7有一无限长直螺线管，单位长度上线圈的匝数为顷 b +ln cos tan,在管的中心放置一绕了

2、N圈，半d/t ,球小径为r的圆形小线圈，其轴线与螺线管的轴线平行，设螺线管内电流变化率为线圈中感应的电动势。解 无限长直螺线管内部的磁场为B =0nI通过N匝圆形小线圈的磁通量为m = NBS = N0nI 二 r2由法拉第电磁感应定律有d m - L 2dI；=-N0n二 r dtdt8-8 一面积为S的小线圈在一单位长度线圈匝数为n，通过电流为i的长螺线管内，并与螺6线管共轴,若i =i0sinot ,求小线圈中感生电动势的表达式。解 通过小线圈的磁通量为=BS - '0niS由法拉第电磁感应定律有= - J°nS = - J0nSi0 , cos tdtdt8-9 如

3、图所示，矩形线圈面的法线方向之间的夹角为ABCD放在B =6.0勺。1丁的均匀磁场中，磁场方向与线圈平a =60“，长为0.20m的AB边可左右滑动。 若令AB边以速率1 ,v=5.0m，s向右您动，试求线圈中感应电动势的大小及感应电流的万向。解利用动生电动势公式B0.20-;=a（v B）.dl = o 5 0.6 Sim? -60 ）dl =0.30（V）感应电流的方向从 A > B.8-10如图所示，两段导体 AB和BC的长度均为10cm，它们在B处相接成角30%磁场 方向垂直于纸面向里，其大小为B=2.5x10T 。若使导体在均匀磁场中以速率v=1.5m，s运动，方向与 AB段平

4、行，试问 AC间的电势差是多少？哪一端的电势高？解 导体AB段与运动方向平行，不切割磁场线，没有电动势产生。 BC段产生的动生电动 势为C1.1023；=b(v B) .dl = ° 1.5 2.5 10 cos60dl=1.9 10 (V)AC间的电势差是UAC = -1.9 10'(V)C端的电势高。8-11长为l的一金属棒ab,水平放置在均匀磁场 B中，如图所示，金属棒可绕。点在水平面内以角速度 与旋转，。点离a端的距离为l/k。试求a,b两端的电势差，并指出哪端电势 高（设k>2）解 建立如图所示的坐标系，在 Ob棒上任一位置x处取一微元dx,该微元产生的动生电

5、动势为d ； =(v B) *dx - - xBdxOb棒产生的动生电动势为5_ 一 1_.21.2；Ob =- xBdx = -一 Bl （1 一一）02k同理，Oa棒产生的动生电动势为1k12 l2；Oa-xBdx = Bl 02 k2金属棒a,b两端的电电势差U ab = 一 ：ab = ；Oa 一 ；Ob1 2 l 12 1、212 2、Bl 7-一 Bl (1) = Bl (1-一)2 k22k 2k因k>2,所以a端电势高。8-12如图所示，真空中一载有稳恒电流I的无限长直导线旁有一半圆形导线回路，其半径为r,回路平面与长直导线垂直，且半圆形直径 cd的延长线与长直导线相交，

6、导线与圆心 。之间距离为l,无限长直导线的电流方向垂直纸面向内，当回路以速度V垂直纸面向外运动时，求：（1）回路中感应电动势的大小；(2)半圆弧导线cd中感应电动势的大小。解 (1)由于无限长直导线所产生的磁场方向与半圆形导线所在平面平行，因此当导线回路运动时，通过它的磁通量不随时间改变，导线回路中感应电动势& = 0。(2)半圆形导线中的感应电动势与直导线中的感应电动势大小相等，方向相反，所以可由直导线计算感应电动势的大小选取x轴如图8.7所示，在x处取线元dx,dx中产生感应电动势大小为d ； = v B «dl2二 x V；导线cd及圆弧cd产生感应电动势的大小均为1

7、rolv 1 r dx MIv l r；= vBdx = =InJ 2- J x 2-1 -r8-13在半径R=0. 50n的圆柱体内有均匀磁场，其方向与圆柱体的轴线平行，且dB/dt =1.0x10'T，s° ,圆柱体外无磁场，试求离开中心 O的距离分别为0.1m,0.25m,0.50 m,1.0m和各点的感生电场的场强。解变化的磁场产生感生电场线是以圆柱轴线为圆心的一系列同心圆，因此有七感.dl 二一 JBdSLS吐B一 dB 2而将E感,dl =£感2兀r,-HB,dS =-福兀r2 S :tdtS当r <R时,dB 2E感2：r = -丁 二rl 1

8、dB"2、所以r =0.1m时,E感=5.0K10"4V，m；r=0.25m时，。E感=1.3x10；V，m匚 R dBE2r dt所以r =0.50m时,31E感=2.5乂10 V，m ; r =1.0m时 E感= 1.25 103，m8-14如图所示，磁感应强度为 B的均匀磁场充满在半径为 R的圆柱体内，有一长为l的金属棒ab放在该磁场中，如果 B以速率dB/dt变化，试证：由变化磁场所产生并作用于棒两端的电动势等于理1l R2 1dt 2 2证明方法一连接Oa,Ob,设想Oab构成闭合回路，由于 Oa,Ob沿半径方向，与通过该处 的感生电场处垂直，所以Oa,Ob两段均

9、无电动势，这样由法拉第电磁感应定律求出的闭合回路Oab的总电动势就是棒 ab两端电动势。根据法拉第电磁感应定律abfb=S胆我JJr2仁dt dt 2 2方法二变化的磁场在圆柱体内产生的感生电场为dB dt棒ab两端的电动势为blE感,dx = £E感 cos8dx =dBdt 2(1 fI- f12)8-15如图所示，两根横截面半径为 方向相反的电流，属于同一回路，长为l的一段的自感为L= 01 lna的平行长直导线，中心相距 设导线内部的磁通量可以忽略不计, d -aoad,它们载有大小相等、试证明这样一对导线2 二 R7解两根平行长直导线在它们之间产生的磁感应强度为B 2- x

10、 2二 dx穿过两根导线间长为dx的一段的磁通量为ldx2 - x 2d - xd -ad -aIm = a B *dS= a ji所以，一对长为的一段导线的自感为L =工I 二8-16 一均匀密绕的环形螺线管,环的平均半径为 R,管的横截面积为S ,环的总匝数为N ,管内充满磁导率为 卜的磁介质。求此环形螺线管的自感系数L。解当环形螺线管中通有电流I时，管中的磁感应强度为B=nI =迪通过环形螺线管的磁链为则环形螺线管的自感系数为:'-m N2S L =8-17由两薄圆筒构成的同轴电缆,内筒半径R1,外筒半径为R2，两筒间的介质 巴=1。设内圆筒和外圆筒中的电流方向相反，能为多少？解

11、 有安培环路定理可求得同轴电缆在空间不同区域的磁感应强度为而电流强度I相等，求长度为l的一段同轴电缆所储磁r 时,R <r *时,B2*r >R2 时,B0在长为L ,内径为外径为r+dr的同轴薄圆筒的体积dV=2?rrldr中磁场能量为1 B；dW =1-B2dVm 2。*r所以，长度为l的一段同轴电缆所储能为R2、I 2rWmMdr4 二R1补充在同时存在电场和磁场的空间区域中，某点P的电场强度为E，磁感应强度为 B,此空间区域介质的介电常数%。求P点处电场和磁场的总能量体密度解电场能量密度为磁场能量密度为_ 1 B2 wm 2。总能量密度为W = We Wm1 2 . 1 B

12、2=-0 E2 02°8-19 一小圆线圈面积为2S1 = 4.0cm，由表面绝缘的细导线绕成，其匝数为N1=50,把它放在另一半径R2 =20cm, N2 =100匝的圆线圈中心，两线圈同轴共面。如果把大线圈在小线圈中产生的磁场看成是均匀的，试求这两个线圈之间的互感；如果大线圈导线中的电流每秒减少50A，试求小线圈中的感应电动势。12解 当大圆形线圈通有|2时，它在小圆形线圈中心处的磁感应强度大小为B2 =N2勺22R2若把大圆形线圈在小圆形线圈中产生的磁场看成是均匀的，则通过小圆形线圈的磁链为'- m =Ni35 =NiN2、52R2两个线圈之间的互感为NN2S 50 1

13、00 4二 10刀 4.0 10W_62 0.21 2 °”6.28 10 (H)如果大线圈导线中的电流每秒减少50A ,则小线圈中的感应电动势为di_64；=M =6.28 1050 =3.14 10"(V)dt8-20 一螺线管长为 30cm。由2500匝漆包导线均匀密绕而成，其中铁芯的相对磁导率此=100，当它的导线中通有 2.0A的电流时，求螺线管中心处的磁场能量密度。解 螺线管中的磁感应强度为B =0nI =岫律1螺线管中的磁场能量密度为w - =1.74 105J/m3m 20七I,且I均匀地分布在导线的横截面上，试求在长度为l的一段8-21 一根长直导线载有电

14、流导线内部的磁场能量。解 有安培环路定理可得长直导线内部的磁感应强度为lrB2 二 R在长度为l的一段导线内部的磁场能量1 B2=dVm2。22 4 2二 rldr 0 4R4512%2|16:8-22 一同轴线由很长的直导线和套在它外面的同轴圆筒构成，它们之间充满了相对磁导率为=1的介质，假定导线的半径为R,圆筒的内外半径分别为R2和R3，电流I由圆筒流出，由直导线流回，并均匀地分布在它们的横截面上，试求：(1)在空间各个范围内的 磁能密度表达式;(2)当R =10mm,R2 = 4.0mm, R3= 5.0mm, I =10A时，在每米长度的同轴线中所储存的磁场能量。解 （1）有安培环路定

15、理可得在空间各个范围内的磁感应强度为r < R1 时JoIr0IBi =2 ; Ri<r<R2 时 & =2: R12二 r22oI R；-r2R,: r :凡时B3= 22 ； rR3 时2二 rR3- R22B4 =0相应地，空间各个范围内的磁能密度为r :Ri时Wm=1牛=c02：2 ； R ： r ：R2 时 wm208乍2八22,8 二 rR :：: r :R3 时WmC 2 2228h r、R3 R?（2）每米长度的同轴线中所储存的磁场能量为W! WmdV!WimdV r gdV r iW3mdV r iW4mdV =Ri E20 8二 2R2弓22 二

16、rdr凡 8二 2r2R30I22 - rdr0足 8 2r22 r2 -r2 R-R。2二 rdr 0=uLq + R34|n(RR)4兀L4R 代-戚)R2r|- R22+ 54 _2_ 2 24gR )5= 1.7 10 (J)dU 口8-23证明电容C的平行板电容器，极板间的位移电流强度扁=C #，U是电容器两极板间的电势差。证明由于平行板中D =。，6D平行板电容器中的位移电流强度Id所以穿过极板位移电位移通量=D dS =二一 S = q = CUSd CU dU=C一dt dt dt518-24设圆形平行板电容器的交变电场为E =720sin （10兀t M，m ,电何在电容器极

17、板上均匀分布，且边缘效应可以忽略，试求：（1）电容器两极板间的位移电流密度；（2）在距离电容器极板中心连线为r=1.0cm处，经过时间七=2.0乂10圣、时的磁感应强度的大小。解 （1）电容器两极板间的位移电流密度为-:dE二5.2jd =；02.00 10 cos 10 t A m：:t：:t（2）以电容器极板中心连线为圆心，以r=1.0cm为半径做一圆周。由全电流安培环路定律有H，dlLdt所以dE8-25(1)(2)(4)(5)(6)(8)(9)NH *dl IiL旧(2), (4);2- r ；0dt1 dEH = r p _2 dt5经过时间时t =2.0勺0 s,磁感应强度的大小为r dE11B -oH =0=1.26 10 T2 dt试确定哪一个麦克斯韦方程相当于或包括下列事实：电场线仅起始或终止与电荷或无穷远处；位移电流；在