小波分析的基本理论

1、东北大学研究生考试试卷评分注意事项1. 考前研究生将上述项目填写活楚2. 字迹要活楚，保持卷面活洁3. 交卷时请将本试卷和题签一起上交东北大学研究生院小波分析的基本理论小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，是分析和处理非平稳信号的一种有力工具。经过大量学者不断探索研究，它是以局部化函数所形成的小波 基作为基底而展开的。小波分析在保留傅里叶分析优点的基础上，具有许多特殊的性能 和优点。而小波分析则是一种更合理的时频表示和子带多分辨分析方法。所以理论基础 渐已扎实，理论体系逐步完善，在工程领域已得到广泛应用。1小波变换理论1.1 连续小波变换定义1.1 小波函数的定义：设w (x

2、)为一平方可积函数，也即w (x)亡L2 (0, 若其傅里叶变换甲(3)满足条件：3= +；'d 与 < + oo1-1-则称甲(x)是一个基本小波或小波母函数(Mother Wavelet ),并称上式为小 波函数的容许性条件。由定义1.1可知，小波函数具有两个特点：(1) 小：它们在时域都具有紧支集或近似紧支集。由定义的条件知道任何满足可容许性条件的L2 (0空间的函数都可以作为小波母函数(包括实数函数或复数函数、 紧支集或非紧支集函数等)。但是在一般的情况下，常常选取紧支集或近似紧支集的同 时具有时域和频域的局部性实数或复数函数作为小波母函，让小波母函数在时域和频域都具有较

3、好的局部特性，这样可以更好的完成实验。(2) 波动性：若设平(切)在点=0连续，则由容许性条件得：+一、x dx = ' 0 = 01-2-也即直流分量为零，同时也就说明平(x)必是具有正负交替的波动性，这也是其 称为小波的原因。定义1.2 连续小波基函数的定义：将小波母函数平(x)进行伸缩和平移，设其收缩 因子(即尺度因子)为a,平移因子为b,使其平移伸缩后的函数为a,b (x)，则有:甲a b x = a-% 已,a> 0, b R1-3a, ba 5'称队,b (x)为依赖丁参数a,b的小波基函数。由丁伸缩因子a,平移因子b都是取连 续变化的值，因此乂称平a,b (

4、x)为连续小波基函数。它们是一组函数系列,这组函数系列 是由同一母函数甲(x)经伸缩和平移后得到的。定义1.3 若f (x)肴L2 (R)，函数f(x)在小波基下进行展开，则f(x)的连续小波 变换(CWT陀义为：Wf a, b = f x ,甲a, b x = 土 _甘f x 甲dx 1-4由定义1.3可知，小波基具有收缩因子a和平移因子b,若将函数在小波基下展开， 就是把一个时间函数投影到二维的时间-尺度相平面上，把一个一维函数变换为一个二 维函数，即连续小波变换 Wf (a,b)是f (x)在函数？a,b (x)上的“投影”。小波函数若满足容许性条件(1-1),则存在其逆变换。由小波变换

5、的系数可以重构信 号，其重构公式为：f x = 3-Ewm a, b n bx 京b 1-5定理i连续小波变换是一种线性变换，具有如下性质：(1) 叠加性：设 f (x) =kifi (x) +lf (x)，则:Wf (a,b ) = k1 Wf1 (a,b ) +k2 Wf2 (a,b )1-6(2) 时移不变性:设g (x) =f (x-c),则:Wg (a,b ) = Wf (a,b-c )1-7(3) 尺度变换：设g (x) =f (cx)，贝U：Wg a, b = C-；Wf - , bc1-8c该性质说明，信号在连续小波变换的尺度 a和位移b上做拉伸时，其信号也在时域 拉伸，且能保

6、持拉伸前后的形状不变。(4) 内积定理：对丁 f (x)在L2 (R)，则有 Wf (a,b)在L2 (R2),并且对f (x), g (x)在 L2 (R),会有： Wf (a,b ), Wg (a,b ) =CM f (x), g (x) 1-9(5) 能量关系：当内积定理中的信号f (x)三g (x)时，内积定理变为：；°° 土da + °° Wf a, b I db = 3 +" f (x) I dx 1-100 a2- CXD1* - OO 、 /同时称式1-1。为能量关系。性质(4)和性质(5)表明，信号的变换域内积和时域内积之间保

7、持着一定的联系, 小波变换系数的幅度平方在尺度位移平面内的积分实际上是在尺度位移域内能量的积 累，它与原始信号的能量成正比。1.2 离散小波变换由前文定义的连续小波基函数：2-11甲a, b x =号¥式中a, bR, a0,平满足容许性条件，并且伸缩因子a,平移因子b是连续变化的。 由丁连续小波变换系数的信息量是冗余的虽然在有些情况下连续小波变换的冗余性是 有益的。例如，在图像降噪进行数据恢复及特征提取时，连续小波变换以牺牲计算量、 存储量为代价来获得更好的结果。但是许多情况下需要考虑的是在数字处理中压缩数据 和节约计算量，这样便希望可以再不丢失原信号的情况下， 尽量减小小波变换的

8、冗余度， 为了解决这一问题，提出了将其离散化，最大程度地消除或降低冗余性，这才适合数字 计算机处理。离散小波变换是相对丁连续小波变换的变换方法，本质上是对收缩因子a和平移因子b分别进行离散化处理。(1) 收缩因子离散化：将收缩因子按籍级数进行离散化，即取a=aoj , pZ, a°#1, 这时离散后的函数 褊(x)变为aoj/2平(aoJ (x-b), j Z(2) 平移因子离散化：在尺度j下，平移因子均匀离散化，即使平移量以Ab=kao-Jbo 作为采样间隔量，其中bo是j=o时的均匀采样间隔量。因而离散后的函数 甲a,b (x)变为 a°j/2 平(aoJ (x- ka

9、 o-Jbo) , j Z在实际运用中，我们通常取ao=2, bo=1，这时？a,b (x)变为22平(2j (x-k ),这时 记半,k (x) =2/2甲(2j (x-k ),称甲a,b (x)为离散小波。定义1.4 若f (x) e L2 (R2)，则f (x)的离散小波变换定义为：Wf j, k = f, % k = 2j 2 _"f x W (2j (x- k) dx 1-12其相应的逆变换为：f x =技 +疽 W5 j, k 2j 2 甲(2j (x- k)1-13上文表述的对连续小波进行离散化时，若取离散的栅格 a=2, Ab =0,即相当丁只 将伸缩参数a进行二进制

10、离散，而平移参数b仍取连续变换，则得到的离散小波称为二 进小波。定义1.5 函数W (x) e L2 (0，若存在二常数0<ABe使得 ._.2A < ；二忡 2-y | < B1-14那么称甲(x)为二进小波。其时域表示为： 吟=2/2平(2j (x-b )函数f (x)在L2 (R)的二进小波变换定义为：+°°.;。Wj fb = f x ,2j叩(2j(x- b) = -g2j 2fx w(2j(x- b) dx 1-15其相应的逆变换为：，+8山.c .f x =_gWjfb 2j2(2j(x- b)db 1-16二进小波是介丁连续小波和离散小波之

11、间的一种“半离散”化小波，它只是对伸缩 参数进行了离散化，而在时间域上的平移参数仍保持连续变化，因此二进小波变换仍具 有连续小波变换的时移共变性，这是它与离散小波相比所具有的独特优点。正因为如此,它在奇异性检测、图像处理等方面十分有用。2多分辨率分析理论由丁离散化小波的信息量仍是冗余的，因此再次从数字计算机处理的角度考虑，人 们仍然希望减小离散化小波的冗余量，直到得到一组正交基。这组正交基称为正交小波 基。如何构成正交基，构造小波母函数 甲(x),而解决这些问题的方法就是多分辨率分 析理论。多分辨分析(Multi-resolution Analysis MRA ), 乂称为多尺度分析，是建立在

12、函 数空间概念上的理论。其创建者 S.mallat是在1988年在构造正交小波基时提出，在研 究图像处理问题时建立这套理论的。MR"仅为正交小波基的构建提供了 一种比较简单的方法，并且对正交小波变换的快速算法提供了理论根据。但其思想乂同多采样滤波器 不谋而合，这样把小波变换和数字滤波器理论相结合起来。这使在小波变换理论中多分 辨率分析具有重要的地位。2.1多分辨分析多分辨分析的基本思想是随着尺度由大到小的变化，在各尺度上可以由粗到细地观察目标。为了更好的理解这个思想，把尺度想象为照相机的镜头，当尺度由大到小变化 时，就相当丁照相机镜头由远及近的观察目标。在大的尺度空间里对应远镜头下观

13、察到 的目标，只能看到目标的大概。而在小尺度空间里，对应近镜头下观察目标，则可观看 到目标的细微部分。定义2.1 L 2 (R)空间中的多分辨分析是L2 (R)中满足如下条件的一个闭子空间 序列Vjj.Z：(1) 一致单调性：u V2=ViuV)uVuM；(2) 渐进完全性：j%Vj = L2 R , jMV = 0 ;(3) 伸缩规则性：f (x)在Vu f (2jx), j £Z;(4) 平移不变性:f (x) Eg f (x-n ) WV0, wnZ;(5) 正交基存在性：正交基存在性条件可放宽为 Riesz基存在性，存在函e (x-n ) nm构成V0的Riesz基，即存在0

14、<A, Be,使得对 f V0均能唯一地分解为：f x = +二oo CkB (x- k)2-1其中A+三ooCk2< II+=!8CkB(x-n)|2 < B +胃-Ck22-2定义2.1所描述的多分辨分析在人类视觉系统对物体认识的直观解释。事实上，如 果把V看作是某人眼睛在尺度j下观察到的一个物体，而这个物体实际上是三维物体的 两面。那么当尺度增加到j+1时，这个人所观察到的就是物体的全部，也就是三维物体 的三个面，这样就表示人进一步的观察了物体，相当丁拉近了照相机的镜头。因而V+1比V包含更多的信息，即V=V+1。所以，尺度越大，距目标越近，贝U观察到的信息越丰 富；尺

15、度越小，距目标越远，则观察到的信息越少。多分辨率分析的空间关系可用图2-1 来表明。Vci图2-1多分辨率分析的空间关系图正交多分辨率分析就是在多分辨率分析中，存在 © (x) 使得9 (x-n ) k&是V) 的正交基。定理2.1 若巾(x)的平移族6 (x-n ) km构成V0空间的标准正交基，即：_"令x - m令x - n dx= n的充要条件是+二“梆+ 2k兀)2 = 1。正交多分辨率分析是由尺度函数生成每个空间 V的一组正交基所完全刻画而成的。 正交多分辨率分析对小波基函数的构造提供了理论基础，由多分辨率分析的伸缩规则性可知，我们通过尺度函数的伸缩，在

16、已知任意一个子空间基函数的情况下，可以得到与 这个子空间相邻空间的基函数，从而得出所有子空间的基函数。设Vj n早是L2 (R) 一个正交多分辨率分析，若存在一个函数 * (x) f (x)的 平移族 6 (x-k ) /构成子空间M的正交基。因为VUV+1, 乂因巾(x) EV0UV1,所以 一定存在唯一的序列hk V使得* x =2 +； oo hk 巾 2x- k2-3式中，hk = x , 2 2x - k+ oo (,2 _8 (x)2x-k dx,序歹0 hk为离散滤波器,称式2-3是双尺度方程对式2-3的两边同时作傅里叶变换，有：*0=4 +二oo hk e- ik®

17、2e 22-4+=hke-W 则2-5定理2.2式为：若* (x)亡L2 (R)是个尺度函数，则"满足频域正交条件的等价形h 切 f + h co + Tt2-62.2 L 2 (R)的正交分解L2 (R)空间中2.3。因为MM+i,则令 W是M在M+1中的正交补，即M+1=VW,则存在 的小波函数甲亦=2/2平(2j (x-k )为W的标准正交基。从而，得出了定理定理2.3 L 2 (R)二号叫证明：由 丁 j'Vj = lim noo V n = 0 ,则Vo = W-1 二V 1 = W-1 二 W-2 二 V-2 =二 W-j二 V-n =：W-下面用Vj岷示V在L2

18、 (R)中的正交补，故：V j= V+1v+1 = VWjv+i，所以v=叫睇彳土 ,?j Z乂因为j Z'zV= l2(R)Vj在L2 (R)中稠密，"=j： zEmX所以n- 100V- = w0 + j = wo 二 W1 二 v 汗 二 Wj 二 v= 二 w这就证明了-100l2r = v)-v)-=二 W 二 二 W =.三舟jj = - 8 j = 0 j &Z一 、 2所以定理2.3实现了对L (R)的正交分解。2.3 Mallat 算法1989年，Mallat在图像处理的运用和小波变换多分辨率分析理论的研究中，受到 塔式算法的启发，提出了信号的塔式多

19、分辨率的分解与重构的算法，这种算法就称之为 Mallat 算法。若4 n n二和平j, n位是V和W的标准正交基，6 , n = <f ,由，nA和dj , n=<f ,由，n> 用来表示f在V和"的投影，则可以得到以下定理：定理3信号的小波分解：2-72-82-9+ oo , n= - s hn- 2p aj+1,n+ OOdj,p n= - 8 gn-2paj+1,n信号的小波重构:a+00aj+1,p-n=-00 hp- 2n aj,n+ n= - 00gp-2n dj,n式中，h, g为共扼镜像滤波器，其值由所选择的小波基决定。式 2-2 0可以看作是 先将

20、2j+1的尺度系数和小波系数分别在每两个数据点间插零的采样的形式，再分别和序 列h和g卷积，再将卷积的结果相加。图 2-2a描述了式2-7和2-8的一步分解算法， 图2-2b描述了式2-9的一步重建算法。(ab图2-2 一步离散小波分解与重建算法图3常用小波函数介绍在小波分析理论在数学和工程领域中一个很重要的问题就是小波基的选择，选择一个最优的小波基，可以使图像处理更加优化。在小波分析理论中有很多种的小波函数， 下面介绍一些常用的小波基函数：(1) Haar 小波Haar小波是Haar 丁 1990年提出的一种正交小波，它是小波理论分析发展过程中用 的最早的小波。Haar小波是由一组互相正交归

21、一的函数集，即 Haar函数衍生产生的， 其是具有紧支撑的正交小波函数，其定义如下：1,- (x)-1,01-< x < 12 otherHaar小波是一个最简单的时域不连续的二进小波，它类似一个阶梯函数，由丁它的CIS4J.S图3-1 Haar小波函数图像紧支性和正交性，使得Haar小波的应用很普遍。图2-3所示为Haar波的函数图像。(2) Mexican hat(墨西哥草帽)小波Mexican Hat小波乂被称Marr小波。Marr小波函数就是高斯函数的二阶导数，其 表达式为：, t = (1 -其波形如图3-2所示。Marr小波的时域、尺度函数不存在，主要用丁信号处理和边缘

22、检测t2频域都有很好的局部特性，但它的正交性0668图3-2 Mexicat小波函数图像(3) Morlet 小波Morlet小波是高斯下的单频率复正弦函数:式中，i表示虚数，与常数。其波形如图3-3所示。虽然Morlet小波有解析表达 式，但其不具有正交性的同时也不存在紧支集。 Morlet小波的特点是能够提取信号中的 幅值和相应信息，广泛应用丁地球物理信号处理中。Morlet 1 i-t 函教图3-3 Morlet 小波函数图像(4) Daubechies 小波Daubechies小波是法国学者 Daubechies所创造，Daubechies小波的研究是基丁对 尺度取为2的整数籍条件下的

23、小波变换。Daubechies小波无明确的解析方程，不具有对 称性，可以由尺度函数求出。Daubechies小波是紧支集正交小波，它的出现使离散小波 分析成为可能。Daubechies系列的小波简写为dbN,其中N表示阶数，图3-4所示为db2 小波的形状。(a)Db2小波函数(b)图3-4 Db2的小波函数和尺度函数(5) Meyer小波Db2的尺度函数Meyer小波是具有紧支撑的(2 兀)-1 23 2sin(2vx =(2 兀)-1 %住 2 cos(2v孔-12 Tt：x- 12 Tt),x ),x e3 32兀8兀 x -,其中V为构造Meyer小波的辅助函数,3 3其函数图像如图

24、3-5所示。Meyer小波的小波函数平(x)是在频域中进行定义的, 正交小液(a) MeyerMeyer尺度函数(b) Meyer尺度函数小波函数图3-5 Meyer小波函数和尺度函数4图像小波变换小波变换应用丁图像处理中，首先因为图像是二维信号，则需要将多分辨率分析扩 展到二维信号，所以一开始把小波分解从一维推广到二维。对丁二维正交小波，我们常 用的是正方形二维正交小波基。根据一维空间尺度的定义，我们定义j尺度下的二维尺度空间V为:V = V®V = g x ,f(x) ?f x cVj,g x w ,j e Z式中，符号表示空间相乘，则，n (x ) 9, m(x ) n,旧一定

25、是可的标准正交基， 且有：V-1 = V-1 二 V-1 = V 二 W；1 二财二 Wj3其中叫1 = wv，W2 = V康WjWj3 = Wj®Wj分别称为二维小波空间。从上式中不难 看出，Wj1的标准正交基一定是Wj, n (x) % m (x) n,归，Wj2的标准正交基一定是 ，n (x) Wj,m(x) n,定Z, Wj3 的标准正交基一定是%，n (x) j, m(x) n,归。所以在L2 (R)空间中任一个函数f (x, y)在祐，在正方形二维正交小波基下的展 开公式为：f x，y =扁,n% x j y + ikn 如m x % y + Wj,m x % yj m,n+&m,n 4j,m x 4j,n ym,n式中，小波二维空间W1 ,Wj2,Wj3的小波展开系数分别为ajm n, Ejm n, 7m, n。尺度空间V；的 尺度展开系数是Sm n。正方形二维正交小波变换的快速算法与一维是相似的。其快速分解公式为：j -ai,l-k,mhik