常微分方程期末试题复习资料

1、常微分方程期末试题答案、填空题(每空 2分，共16分)。1、方程 x2 y2满足解的存在唯一性定理条件的区域是xoy平面 .dxdY2 .方程组 F(x,Y),x R, YRn的任何一个解的图象是n+1dx空间中的一条积分曲线.3 . fy (x, y)连续是保证方程dy f (x, y)初值唯一的充分 条件.dxy的奇点(0,0)的类型是中心dx4 .方程组出 dydt12 , .1 25.方程y xy(y)2的通解是y Cx C2226 .变量可分离方程 MxNydx p x q y dy 0的积分因子是 N y P x7 .二阶线性齐次微分方程的两个解y 1(x),y2(x)成为其基本解

2、组的充要条件是线性无关8 .方程y 4y 4y 0的基本解组是e 2x, xe 2x二、选择题(每小题3分，共15分)。9 . 一阶线性微分方程 dy p(x)y q(x)的积分因子是(A ). dx p(x)dxq(x)dxp (x) dxq(x)dx(A)e (B) e(C)e(D) e10 .微分方程 y ln ydx (x ln y)dy 0 是(B )(A)可分离变量方程(B)线性方程(C)全微分方程(D)贝努利方程11 .方程 x(y21)dx+y(x21)dy=0 的所有常数解是( C ).(A) x 1(B) y 1(C) y 1, x 1( D) y 1, x 112 . n

3、阶线性非齐次微分方程的所有解( D ).8 / 6(A)构成一个线性空间(C)构成一个n 1维线性空间(B)构成一个n 1维线性空间(D)不能构成一个线性空间13 .方程 y Jy2 x22 ( D )奇解.(A)有一个(B)有无数个(C)只有两个(D)无三、计算题(每小题 8分，共48分)。14.求方程dy dx2xy y22X的通解.2行入 ydy dy .口 du u u u斛：令上 u，则 1 u x,于是， ,Cxxdx dxdx x 1 u ，C 2所以原方程的通解为y x2 ,y x1 Cx15.求方程ydx (y3 In x)dy 0的通解 x解：取 M x, y , N x,

4、 y y3 In x x则M y x,yNx x, y -,于是原方程为全微分方程x所以原方程的通解为xydxy y3dy C1 x 1一1 ,即 y In x y C4116.求方程y (y) xy -x2的通解222x斛:令 y p,得到y p xp (*),两端同时关于求导,2整理得 2p x dp 10,则dxxx2取2 P x 0得p 代入(*) 得解y 一24取dp 1 0相p x C ,代入(*)得原方程得通解为 dx2x2y Cx Cx217 .求方程y 3y e5x的通解解对应的齐次方程的牛I征方程为2 30 ,特征根为1 0, 2 33x故齐次方程的通解为y C1 C2e因

5、为5不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为5xy1( x) Ae代入原方程，得5x5x 5x25Ae 15 Ae err1即 A ,103x 1 5x故原方程的通解为y C1 C2ee5x10x18 .求万程 y y 2y e (cosx 7sin x)的通解解：先求解对应的其次方程：y y 2y 0,则有,20, 11, 22;y gex C?e 2x因为数 i 1 i不是特征根，故原方程具有形如 xy1 e Acosx Bsinx的特解。将上式代入原方程，由于 y1 ex Acosx Bsinxy1 ex A B cosx B A sin xy1 ex 2Bcosx 2Asin x故 y

6、y 2y ex 2Bcosx 2Asin x ex A B cosx B A sin x xx2e A cosx Bsinx e cosx 7 sin x或 3B A cosx B 3A sin x cosx 7sin x比较上述等式两端的cosx,sin x的系数，可得A 3B1 , 3A B 7因此，A 2 , B 1 .故 y1 ex 2cosx 1 sin x所求通解为 y ex 2 cosx 1sin xC1ex C2exdY 3 519 .求方程组 Y的实基本解组dx 5 3解：方程组的特征多项式为,其特征根是1,23 5i ,那么i属于1的特征向量111属于2的特征向量2i则方程

7、的基本解组为 1 x,3 5i xie3 5i xe3 5i xe一 3ie5i x其实基本解组为1x 110。而11 0因此所求实基本解组为1 cx 1x103 5i x3 5i x1 ie ei 123 5i x .3 5i xe ie 1 ie3t cos5x_3te sin 5x3tesin5x3tecos5x四、应用题(每小题 11分，共11分)。at20 . (1)求函数f(t) e的拉普拉斯变换一 一 一 3t(2)求初值问题的解x 3x 2x 2ex(0) 0, x (0) 0解：(1)at est ats a t1 s a te e dt e dt es a1 ,s s a,

8、s(2)设,x t是已知初值问题的解。对已知方程两端同时使用拉普拉斯变换,可分别得到x 3x2x22s2 3s 2 X s s2 3s2e3t3t e故有 X使用部分分式法，可得由(1)可知，et2t e3t e131s 3c 2t2e3t e得分评卷教师1故所求的初值解为五、21证明题(每小题.证明：对任意10分，共10分)。xo及满足条件01 的 yo,方程)上存在。证：由于 f (x, y)dy dxy(y 1)d 221 x y的满足条件 y(x0)y0的解y y(x)在y(y1 x21)2 yfy (x, y) T2x2 xy2) y(y 1)2y2X2 y )在全平面上连续，所以原方程在全平面上满足解的存在唯一性定理及解的延展定理 条件.