来自四面体的挑战

1、来自四面体的挑战杨 路人们对三角形已知道很多，上个世纪最后三十年是三角形几何学兴旺发达的年代。本世纪初人们试图将三角形的许多性质引申到四面体最简单的多面体，事实证明，发展四面体的几何学比三角形几何学困难得多，有些提法并不复杂的问题至今未能解决。本文涉及的10 个问题的解虽然其中绝大部分现在是知道了，但在我念中学的时代，大多数还是没有解决的。这些问题的解见于国内外高级或中级学术刊物，本文的读者不一定都知道。读者如果乐意，不妨尝试独立地作出问题的解。当然，希望所获解法是较为初等的，不依赖于较高深的数学工具。问题 1 已知一个四面体的六条棱之长，计算这个四面体的各个二面角。近年来的数学普及刊物上常有

2、介绍根据四面体六条棱长计算体积的公式的文章，但计算二面角的公式却难于见到。这公式在确定分子三维结构的计算中是有用的。问题2 给定了六条线段，它们的长度是六个正数。试问这六个正数满足什么样的条件时，这六条线段可以构成某个四面体的六条棱？所求条件相当于三角形不等式对于四面体的推广，困难在于证明条件的充分性。问题3 证明：四面体的四条高线中如果有三条交于一点，则第四条高线也必通过这个公共点。顺便说明一下， 不要错误地认为任何四面体的四条高线必然共点，一般的四面体并不象三角形那样具有垂心性质，事实上三角形的垂心性质也不是平凡和显然的。希腊时代的大几何学家包括欧几里德都不知三角形的三高线共点，爱因斯坦称

3、之为 “美丽而非凡”的性质。问题 4 设一个四面体的体积为v，它的内切球在每面上有一个切点，设以这四个切点为顶点的小四面体体积为v。求证：127vv，并且等号何时成立？这个结果早有人猜想到，最近又有人写出了严格证明，但迄今尚未发表。问题 5 为了能够存在一个球与给定四面体的六条棱都相切，这个四面体应当满足什么样的条件？这问题在最近国外一篇论文中已经解决。当然，比较困难的是证明条件的充分性。问题 6 设四面体体积为v，其四个侧面三角形的面积为1f，2f，3f和4f。求证：31841234742() ()3vf f f f，并且这里的等号仅对正四面体达到。问题 7 已给一个四面体，是否存在一个新的

4、四面体，它的每个二面角都比原四面体的相应的二面角小一些？这问题的答案是否定的，但不容易下手。因为四面体不象三角形，它的六个二面角之和并不等于定值。问题 8 设某个四面体的各棱长之和为e，又在该四面体内部有一小四面体其各棱长之和为e。求证：43ee这和三角形的情况明显不同。任何内部三角形的周界总不超过外围三角形的周界，但是内部四面体的总棱长可以超过外围四面体的总棱长，甚至可以充分接近后者的43倍！问题 9 将四面体的每一双对棱之间的距离（即公垂线的长度） 叫做四面体的一个 “宽度” 。一个四面体的三个宽和四个高这七个量不是完全独立的，而是被一个并不复杂的方程所联系。试找到这个方程。这是一个完全新

5、的问题。我已经知道这方程是什么以及怎样证明，但不写在这短文里。问题10 已经知道四面体的某个顶点所在三面角的三个表面角的值，试决定这个顶点所对的底面三角形的所有可能具有的形状。这是一个迄今未能解决的问题，只是对于特殊情况有些结果。例如，如果顶点三面角的三个表面角都是直角，则任何一个锐角三角形都可以作为这个顶点所对的底面。但是一般情形下的解我们还不知道。这问题在国际数学家之间流传，最近又在专业学术会议上作为未解决问题提出征解。对于这样的挑战， 专业数学家较之青年数学爱好者也未必占有多大的优势，不是这样吗？作者简介杨 路 中国科学院成都计算机应用所研究员；计算机软件与理论博士生导师；数学博士生导师

6、；广州大学计算机教育软件研究所教授；广州大学数学与人工智能国际交流中心主任兼北京大学数学科学学院信息科学系主任；国家重点基础研究发展规划（973 项目） 构造性实代数几何与不等式自动推理课题主持人。杨路在计算机自动推理领域不断推出创见,做出了系统的、创造性的成就。其主要贡献是：（一）提出并实现了降维算法，使各国科学家多年努力而进展缓慢的不等式机器证明难题获得重大突破。据此编制的软件已在微机上成功证明了一千多个不等式，其中半数以上是未解决的征解问题。权威专家评论说： “杨路给出了基于完全不同的原理的，证明和发现不等式或涉及不等式的几何定理的非常强有力的方法。”（二）在不等式自动发现的研究中引进多

7、项式完全判别系统。做到了机器自动发现新定理而无需事先提出任何猜想。其意义重大应用广泛不限于自动推理领域。权威专家评论认为“出色地解答了这一经典问题。从而实现了几何不等式高效率的机械化证明。这一成果将产生重要影响”。（三）创立机器证明的数值并行法。在世界上首次实现了仅用有限个实例来验证几何命题的设想。被誉为“一项杰出和重大创新”。（四）解决了非欧几何可读证明自动生成的关键问题，开创了用计算机推理系统地发展一门学科分支的成功先例。在这里，新定理不是个别地，而是成批地被“产生”出来。而且这些自动生成的证明是可读的，可与手工证明比美。杨路在自动推理与符号计算领域发表论著一百多篇册。1992 年获政府特

8、殊津贴。1995 年获中国科学院自然科学一等奖。1997 年获国家自然科学二等奖。兼任两个不同学科的博士导师，培养研究生40 多人。曾多次在国际性学术大会上作特邀报告，并担任多个国际学术会议的程序委员会委员。权威专家评论说： “杨路给出了基于完全不同的原理的，证明和发现不等式或涉及不等式的几何定理的非常强有力的方法。 ”（二）在不等式自动发现的研究中引进多项式完全判别系统。做到了机器自动发现新定理而无需事先提出任何猜想。其意义重大应用广泛不限于自动推理领域。权威专家评论认为“出色地解答了这一经典问题。从而实现了几何不等式高效率的机械化证明。这一成果将产生重要影响”。（三）创立机器证明的数值并行法。在世界上首次实现了仅用有限个实例来验证几何命题的设想。被誉为“一项杰出和重大创新”。（四）解决了非欧几何可读证明自动生成的关键问题，开创了用计算机推理系统地发展一门学科分支的成功先例。在这里，新定理不是个别地，而是成批地被“产生”出来。而且这些自动生成的证明是可读的，可与手工证明比美。杨路在自