平面向量的综合应用检测题与详解答案

1、平面向量的综合应用检测题与详解答案.一一 一 -I 兀 .兀 i1.已知向重 a= cos, sin jA保大分专练b b= cos5, sin 56-；,贝U |a b| =()A. 1C. 3B.16D.V解析：选 C 因为 a b= 1 cos cos, sin sin 尸(3, 0),所以 |a b| = 6666娟,故选C.2.若向量 O1 = (1,1) , Ot =(3, 2)分别表示两个力 F1, F2,则尸1+52|为()A.丑B , 2季C. 5D.15解析：选 C 由于 Fi+F2=(1,1) +( 3 , 2) = ( 2 , 1), 所以 |F1 + F2| = 22

2、+ 12=5.，一、 ， 、， ，、，一， _ 一 ,，-，_ ，一， 一3. (2019 牡丹江第一局级中学月考 )已知圆O是ABC勺外接圆，其半径为 1,且ABI r+ AC=2AO, AB= 1,则 CA - CB = ()3A.2B . 3C./3D . 2镜-> > 一解析：选B因为AB+AC=2AO,所以点O是BC的中点，即BC是圆O的直径，又AB= 1,圆的半径为1,所以/ ACB=30 ,且AC=<,则CA-CB=|CA|- |CB|cosZACB= 3.4.已知向量mi= Jsin A, 2后向量n=(3, sin A+ 43cos A)共线，其中 A是AB

3、C的 内角，则角A的大小为()B.D.7t2A 兀A.?兀C.y3 _ 解析：选 C 因为 m/ n,所以 sin A(sin A+ 43cos A)2 = 0,8所以 2sin 2A+ 23sin Acos A= 3.可化为 1 cos 2 A+ 3sin 2 A= 3,所以一一兀所以2A,C兀 11 Tt 一，兀 兀兀因此2A-石=2,斛佝A= y.5 . (2017 全国卷n )已知 ABC是边长为2的等边三角形，P为平面 ABC内一点，则"PA ("PB + "PC)的最小值是()A. - 2C.解析：选B如图，以等边三角形 ABC勺底边BC所在直线为x轴

4、, 以BC的垂直平分线为 y轴建立平面直角坐标系，则 A(0 ,，3) , R 1,0) , C(1,0)，设 Rx, y),则国=(x,小一y), lB = ( - 1 -x, v), PC= (1 -x, y),所以 PA ( PB+ PC) =(-x, J3-y) (> >PA - ( PB+ PC)取得最小值，为一32.6 .已知向量a =(4,0) , b=(2,2，3),非零向量c满足(a c) (b c) = 0, |c|的最大 值与最小值分别为m n,则m- n的值为()A. 1B . 3C. 2D . 4解析：选 D 设 c= (x, y),因为(a c) (b

5、c) = 0,所以(4 -x, -y) - (2 -x, 2- y) = x2+y26x2，3y+8=0,所以(x3)2+(y，3) 2= 4,所以满足条件的向量 c的终点 落在以(3,43)为圆心，2为半径的圆上，所以|c|的最大值与最小值分别为 m= 2+2/3, n = 2-2,所以 m- n= 4.7 ,已知AB/, D 为边 BC上的点，且 BD= 2DC AD = x AB+y AC,贝 U xy=解析：由向量的加法法则知AD =盛+"BD =漏+ |-BC =漏+2(冗一漏)=331 漏 十 |血,所以 x = ", y=|,所以 x- y= - 1. 333

6、3318.设 e, e2, e3为单位向重，且 e3= 2e1 + ke2(k>0),右以向重 e1，e2为邻边的二角形1 的面积为2,则k =11斛析：设e" e2的夹角为9 ,则由以向星e" e2为邻边的一角形的面积为 -,得万* 1x1xsin 9 =2,得 sin 9=1,所以 9 = 90 ,所以 e1 , e2=0)从而对 e3=/e+ke2两边同时平方得1 = 4+k2,解得k=坐或事舍去)，所以k = gL答案：239 .如图，在4ABC中，O为BC的中点，若AB= 1, AC= 3, AB与AC的夹角为60° ,则 "OA1 =解

7、析：AB - AC = | AB| AC|cos 60° =1X3X2=2,又 AO= 2( AB+ AC),所以馅2 = 4(然 +笈)2=4(n2+2笳.冗 +冗2),即黄2=；(1 +3+9)=143,所以13I OA| =号.10 .在平面直角坐标系中， A(2,0) , R1,3) , O为坐标原点，且"OM = a_OA + 3"cob(a + B = 1) , N1Q)，则I 1加1的最小值为解析： Tomi = aTOa + § -Ob ( a+B=1),，A, B, M 三点共线，7 2,0) , B(1,3),，直线 AB的方程为x-

8、y+2=0, - N(1,0),设点N到直线 AB的距离为d,，d=|1 -0+ 2|岂兴，. | "MNI的最小值为N到直线AB的距离2*.11 .在平面直角坐标系 xOy中，已知向量 nn=,n= (sin x, cos x) , x °，?.若nnln,求tan x的值;,一 兀 .一 (2)若m与n的夹角为可，求x的值.2 . m- n= -2-sin x x = 0,即 sinx= cos x,.tan x = S=1. cos x|n| = sin 2x+cos2x = 1,m-20s2x= sin而 m n= |m| |n|兀1 cosm, n> = c

9、os=-, 3 2.(-1 sin x-广2，("兀)兀 f 兀 兀0，万X-小卜了,彳卜W，.箸,12. (2019 河南中原名校质检)在ABC43, 扁，血，M是BC的中点. ，一 , 一, 一，-,一3一、(1)若| AB| =| AC| ,求向量 AB + 2 AC与向量2 AB + AC的夹角的余弦值；(2)若O是线段AM上任意一点，且| AB| =| AC| =R 求OA OB+ OC OA的最 小值.解：(1)设向量 血 + 2成与向量2漏 + 7AC的夹角为0,则cos三+ 2左 | 2渥十冗> > >| AB+2 AC| |2 AB+ AC|令 1

10、7AB| =| 血|=a,贝U cos 0 =_2a2+ 2a2_15a 加a2 厂(2) . | AB| =| AC| =42, . | AM| =1,设| OA| =x(0<x< 1),则 | OM| = 1-x.,.而 OB+ OC=2 OM,二 ：OA OB+OCOA=OA (OB+OC)=2OA-OM= 2|OA| | OM|cos兀= 2x2 2x= 2 % 2j-2.,i,一.一，一，一 i当x=2时，OA-OB+ OC- OA取得最小值，最小值是 -.> . >且 OAL OB,则(OC-B创高分自选1. （2019 武汉调研）设A, B, C是半径为1

11、的圆O上的三点,> >OA) ( OC- OB)的最大值是()A. 1 + #B. 1木C.姆1D . 1解析：选 a 如图，作出"OD，使得"OA +"OB ="OD，则（-OC-oA）OC"OB）= "OC2 "OA - 75C "OB - "OC + "oA - "OB = 1 （ -oA + "OB）- "OC= 1-oD- -oC,由图可知，当点 c在od勺反向延长线与圆 o的交点处时，"oD "OC取得最小值，最小值为一

12、啦，此时（"OC 'OA）（"OC-OB）取得最大值，最大 值为1 +小，故选A. , 一一，,一 、一，、 一 一，2 .在 ABC中，BC= 5, G, O分别为 ABC的重心和外心，且 OG BC = 5,则 ABC 的形状是（）A.锐角三角形B .钝角三角形C.直角三角形D .上述三种情况都有可能解析：选B 如图，在 ABC, G, O分别为 ABC勺重心和外心，取木BC的中点 D,连接 AD, OD OG 则 ODLBC GD= 1AD 结合"OG= "OD + -DG, /用。3 r'-探=2（渴 +血）,束-1BC = 5,

13、得（TOD +3G）.后=1DG .后=16（族 + 友）.后=5,即1(渥 + 波)(笈-AB )=5, .冗 2然 2 = 30.又 BC= 5,则 | 漏 |2 =|NC|2+|-BC|2>|冗|2+|-BC|2,结合余弦定理有cos C<0,-2<0<71, ABC是钝角三角形.故选B.3.已知向量 a= (cos x, 1), b= §3sin x, j,函数 f(x) = (a + b) a-2.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)在 ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b,c,已知函数f(x)的图象经过点 卜，2 b, a, c成等差数列，且 入B - AC = 9,求a的值.解：(1) .1 f (x) = (a + b) a2=|a| 2+a b2= cos2x+1+ 褒sin xcos x+ ；2=；(cos 2x+1) + 1+坐 sin 2 x-JJcos 2 x+史 sin 2 x=sinf2x + =122 2262兀，f(x)的取小正周期 T= -2=.,兀兀兀由 2卜兀2w 2x+ 2k % + ( k Z),7t7t得 k 兀<