高中数学(人教A版,必修4)课件+课后习题2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1

1、1 2.3.1平面向量基本定理课后篇巩固探究a 组基础巩固1.在正方形abcd 中,?与? 的夹角等于 () a.45 b.90c.120d.135解析 如图 ,将? 平移到 ?,则?与?的夹角即为 ?与 ? 的夹角 ,且夹角为135 .答案 d 2.设向量 e1与 e2不共线 ,若 3xe1+(10-y)e2= (4y-7)e1+2xe2,则实数 x,y 的值分别为 () a.0,0 b.1,1 c.3,0 d.3,4 解析 因为向量 e1与 e2不共线 , 所以3?= 4? -7,10 -?= 2? ,解得?= 3,?= 4.答案 d 3.如图 ,e1,e2为互相垂直的单位向量,向量 a+

2、 b+c可表示为 () a.3e1-2e2b.-3e1-3e2c.3e1+ 2e2d.2e1+3e2答案 c 4.若点 d 在abc 的边 bc 上 ,且? =4? =r ? +s? ,则 3r+s 的值为 () a.165b.125c.85d.452 解析?=4? =r ? +s? , ?=45? =45( ? - ? )=r ? +s? , r=45,s=-45,3r+s= 345-45=85.答案 c 5.如图 ,平面内的两条相交直线op1和 op2将该平面分割成四个部分,(不包含边界 ).设? =m?1+n ?2,且点 p落在第部分 ,则实数 m,n 满足 () a.m0,n0 b.m

3、 0,n0 c.m0 d.m0,n 0; ?与?2方向相反 ,则 n0.答案 b 6.已知 a=xe1+2e2与 b= 3e1+ye2共线 ,且 e1,e2不共线 ,则 xy 的值为.解析 由已知得 ,存在 r,使得 a= b, 即 xe1+ 2e2=3 e1+ ye2, 所以?= 3? ,2 = ?,故 xy=3 2?= 6.答案 6 3 7.如图 ,c,d 是 aob 中边 ab 的三等分点 ,设?= e1,? = e2,以 e1,e2为基底来表示? =,? =.解析 ? = ? + ? = ? +13?=e1+13(e2-e1)=23e1+13e2, ? = ? + ? = ? +13?

4、=23?1+13?2+13(e2-e1)=13e1+23e2.答案23e1+13e213e1+23e28.已知非零向量a,b,c 满足 a+ b+ c= 0,向量 a,b 的夹角为120,且|b|= 2|a|,则向量 a 与 c的夹角为.解析 由题意可画出图形, 在 oab 中,oab= 60, 又|b|= 2|a|,abo= 30 .boa= 90,a 与 c 的夹角为 180-boa= 90.答案 909.设 e1,e2是两个不共线的非零向量,且 a=e1-2e2,b=e1+ 3e2.(1)证明 :a,b 可以作为一组基底; (2)以 a,b 为基底 ,求向量 c= 3e1-e2的分解式

5、.(1)证明 假设 a,b 共线 ,则 a= b( r), 则 e1-2e2= (e1+ 3e2).4 由 e1,e2不共线 ,得?= 1,3?= -2,即?= 1,?= -23.所以 不存在 ,故 a,b 不共线 , 即 a,b 可以作为一组基底.(2)解设 c=ma+nb(m,nr), 则 3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2) =(m+n)e1+ (-2m+3n)e2.所以3 = ?+ ? ,-1 = -2?+ 3? ,解得?= 2,?= 1.故 c=2a+ b.10.导学号 68254073如图 ,在 abc 中,d,f 分别是 bc,ac 的中点 ,? =23? ,?

6、= a,?= b.(1)用 a,b 表示 ?,? ,? ,?,?; (2)求证 :b,e,f 三点共线 .(1)解如图 ,延长 ad 到点 g,使? = 2? ,连接 bg,cg,得到平行四边形abgc,则? =a+b,? =12? =12(a+b),?=23? =13(a+b), ? =12? =12b, ? = ? - ? =13(a+b)-a=13(b-2a), ? = ? - ? =12b-a=12(b-2a).(2)证明 由(1)知,? =23? ,?,?共线 .5 又? ,?有公共点b, b,e,f 三点共线 .b 组能力提升1.若 o 是平面内一定点,a,b,c 是平面内不共线的

7、三点,若点 p满足 ? =? + ?2+ ? ( (0,+),则点p的轨迹一定通过 abc 的() a.外心b.内心c.重心d.垂心解析 设线段 bc 的中点为d,则有 ?=12(? + ? ),因此由已知得? = ? + ?,即? - ? = ? ,于是 ?= ? ,则? ? ,因此 p 点在直线ad 上,又 ad 是abc 的 bc 边上的中线 ,因此点 p 的轨迹一定经过三角形abc 的重心 .答案 c 2.设 d,e 分别是 abc 的边 ab,bc 上的点 ,ad=12ab,be=23bc,若? =1? + 2? (1,2为实数 ),则 1+2的值为.解析 如图 ,由题意知 ,d 为

8、 ab的中点 ,?=23? , ? = ? + ? =12? +23?=12? +23(? - ? )=-16? +23? .1=-16,2=23.1+ 2=-16+23=12.答案123.如图 ,平面内有三个向量?,? ,? ,其中 ?与? 的夹角为120,? 与? 的夹角为 30,且|? |=| ? |= 1,|? |= 2 3,若? = ? + ? ( , r),则 + 的值等于.6 解析 如图 ,以 oa,ob 所在射线为邻边,oc 为对角线作平行四边形odce,则? = ? + ? .在 rt ocd 中,因为 |?|= 2 3,cod= 30,ocd= 90,所以 |? |= 4,

9、|?|= 2, 故?=4? ,? = 2? , 即 =4, = 2,所以 + = 6.答案 6 4.如图 ,在 abc 中,点 m 是 bc 的中点 ,点 n 在边 ac 上,且 an= 2nc,am 与 bn 交于点 p,求 appm的值 .解设 ?= e1,? = e2, 则?= ? + ? =- 3e2-e1,? = ? + ? =2e1+e2.a,p,m 和 b,p,n 分别共线 , 存在实数 , ,使?= ? =- e1-3 e2, ? = ? = 2 e1+ e2, ? = ? - ?= ( + 2 )e1+ (3 + )e2.又?= ? + ?=2e1+ 3e2, ? + 2?= 2,3? + ?= 3,解得?=45,?=35.?=45? ,即 appm= 41.5.导学号 68254074如图 ,已知 oab,若正实数x,y 满足 x+y 1,且有 ? =x? +y? .证明 :点 p 必在 oab 内部 .7 证明 由题意可设x+y=t ,t(0,1),则?+?= 1.设 p为平面内一点,且?