《备考2022中考数学总复习高效课堂夺分策略精品课件》专题六 二次函数压轴题

1、专题六二次函数压轴题1.1.主要类型主要类型: :(1)(1)线段及周长最值问题线段及周长最值问题(2)(2)面积最值问题面积最值问题(3)(3)存在性问题探究存在性问题探究2.2.规律方法规律方法: :(1)(1)解决线段和的最小值或三角形周长最小问题解决线段和的最小值或三角形周长最小问题, ,主要主要依据是依据是“两点之间两点之间, ,线段最短线段最短”, ,具体方法是利用轴对具体方法是利用轴对称将两条线段之和转化为一条线段的长称将两条线段之和转化为一条线段的长, ,然后求出该条然后求出该条线段的长线段的长. .(2)(2)解决图形面积的最值问题解决图形面积的最值问题, ,通常先设出动点坐

2、标通常先设出动点坐标, ,然然后表示出图形面积后表示出图形面积, ,利用二次函数性质来求最大值或最利用二次函数性质来求最大值或最小值小值, ,表示不规则图形的面积时表示不规则图形的面积时, ,通常采用割补法把其通常采用割补法把其转化为易于表示面积的图形转化为易于表示面积的图形( (有一边在坐标轴上或平行有一边在坐标轴上或平行于坐标轴于坐标轴).).(3)(3)解决存在性问题要先假设结论成立解决存在性问题要先假设结论成立, ,然后根据所探然后根据所探究特殊图形的有关性质究特殊图形的有关性质, ,利用分类讨论的数学思想构造利用分类讨论的数学思想构造全等或相似图形全等或相似图形, ,进而求出字母的取

3、值进而求出字母的取值. .3.3.渗透的思想渗透的思想: :分类讨论、转化思想、数形结合、函数分类讨论、转化思想、数形结合、函数与方程等与方程等. .类型一线段及周长最值问题类型一线段及周长最值问题【考点解读【考点解读】1.1.考查范畴考查范畴: :线段和周长最值问题主要包括线段和的最线段和周长最值问题主要包括线段和的最小值、周长和的最小值和线段差的最大值三种情况小值、周长和的最小值和线段差的最大值三种情况. .2.2.考查角度考查角度: :利用二次函数解析式确定有关点的坐标利用二次函数解析式确定有关点的坐标, ,结合某个动点考查两条线段和或差的最值问题结合某个动点考查两条线段和或差的最值问题

4、. .【典例探究【典例探究】典例典例1(20181(2018宜宾节选宜宾节选) )在平面直角坐标系在平面直角坐标系xoyxoy中中, ,已知已知抛物线的顶点坐标为抛物线的顶点坐标为(2,0),(2,0),且经过点且经过点(4,1),(4,1),如图如图, ,直线直线y= xy= x与抛物线交于与抛物线交于a,ba,b两点两点, ,直线直线l为为y=-1.y=-1.14(1)(1)求抛物线的解析式求抛物线的解析式. .(2)(2)在在l上是否存在一点上是否存在一点p,p,使使pa+pbpa+pb取得最小值取得最小值? ?若存在若存在, ,求出点求出点p p的坐标的坐标; ;若不存在若不存在, ,

5、请说明理由请说明理由. .【思路点拨【思路点拨】(1)(1)由抛物线的顶点坐标为由抛物线的顶点坐标为(2,0),(2,0),可设抛可设抛物线的解析式为物线的解析式为y=a(x-2)y=a(x-2)2 2, ,由抛物线过点由抛物线过点(4,1),(4,1),利用利用待定系数法即可求出抛物线的解析式待定系数法即可求出抛物线的解析式. .(2)(2)联立直线联立直线abab与抛物线解析式组成方程组与抛物线解析式组成方程组, ,通过解方通过解方程组可求出点程组可求出点a,ba,b的坐标的坐标, ,作点作点b b关于直线关于直线l的对称点的对称点b,b,连接连接abab交直线交直线l于点于点p,p,此时

6、此时pa+pbpa+pb取得最小值取得最小值, ,根据点根据点b b的坐标可得出点的坐标可得出点bb的坐标的坐标, ,根据点根据点a,ba,b的坐标利用的坐标利用待定系数法可求出直线待定系数法可求出直线abab的解析式的解析式, ,再利用一次函数再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点图象上点的坐标特征即可求出点p p的坐标的坐标. .【自主解答【自主解答】略略【规律方法【规律方法】解决线段和最小值问题的方法解决线段和最小值问题的方法(1)(1)解题的基本依据是解题的基本依据是“两点之间两点之间, ,线段最短线段最短”, ,如图所如图所示示, ,若若a,ba,b是两个定点是两个定点, ,动点

7、动点p p在直线在直线m m上上, ,求求pa+pbpa+pb的最小的最小值的方法是值的方法是: :作点作点a a关于直线关于直线m m的对称点的对称点a,a,当当a,p,ba,p,b三点共线时三点共线时pa+pbpa+pb最小最小. .(2)(2)确定动点确定动点p p的位置后的位置后, ,再根据两条直线的解析式联立再根据两条直线的解析式联立组成方程组组成方程组, ,进而求出交点进而求出交点p p的坐标的坐标. .【题组过关【题组过关】1.(20191.(2019烟台中考烟台中考) )如图如图, ,顶点为顶点为m m的抛物线的抛物线y=axy=ax2 2+ +bx+3bx+3与与x x轴交于

8、轴交于a(-1,0),ba(-1,0),b两点两点, ,与与y y轴交于点轴交于点c,c,过点过点c c作作cdycdy轴交抛物线于另一点轴交抛物线于另一点d,d,作作dexdex轴轴, ,垂足为点垂足为点e,e,双双曲线曲线y= (x0)y= (x0)经过点经过点d,d,连接连接md,bd.md,bd.6x(1)(1)求抛物线的解析式求抛物线的解析式. .(2)(2)点点n,fn,f分别是分别是x x轴轴,y,y轴上的两点轴上的两点, ,当以当以m,d,n,fm,d,n,f为顶点为顶点的四边形周长最小时的四边形周长最小时, ,求出点求出点n,fn,f的坐标的坐标. .(3)(3)动点动点p

9、p从点从点o o出发出发, ,以每秒以每秒1 1个单位长度的速度沿个单位长度的速度沿ococ方方向运动向运动, ,运动时间为运动时间为t t秒秒, ,当当t t为何值时为何值时,bpd,bpd的度数最的度数最大大?(?(请直接写出结果请直接写出结果) )略略2.(20192.(2019贺州中考贺州中考) )如图如图, ,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,已知已知点点b b的坐标为的坐标为(-1,0),(-1,0),且且oa=oc=4ob,oa=oc=4ob,抛物线抛物线y=axy=ax2 2+ +bx+c(a0)bx+c(a0)图象经过图象经过a,b,ca,b,c三点三点. .世纪金榜

10、导学号世纪金榜导学号(1)(1)求求a,ca,c两点的坐标两点的坐标. .(2)(2)求抛物线的解析式求抛物线的解析式. .(3)(3)若点若点p p是直线是直线acac下方的抛物线上的一个动点下方的抛物线上的一个动点, ,作作pdacpdac于点于点d,d,当当pdpd的值最大时的值最大时, ,求此时点求此时点p p的坐标及的坐标及pdpd的最大值的最大值. .【解析【解析】(1)oa=oc=4ob=4,(1)oa=oc=4ob=4,故点故点a,ca,c的坐标分别为的坐标分别为(4,0),(0,-4).(4,0),(0,-4).(2)(2)抛物线的解析式为抛物线的解析式为:y=a(x+1)(

11、x-4)=a(x:y=a(x+1)(x-4)=a(x2 2-3x-4),-3x-4),即即-4a=-4,-4a=-4,解得解得:a=1,:a=1,故抛物线的解析式为故抛物线的解析式为:y=x:y=x2 2-3x-4.-3x-4.(3)(3)直线直线caca过点过点c,c,设其函数解析式为设其函数解析式为:y=kx-4,:y=kx-4,将点将点a a坐坐标代入上式并解得标代入上式并解得:k=1,:k=1,故直线故直线caca的解析式为的解析式为:y=x-4,:y=x-4,过点过点p p作作y y轴的平行线交轴的平行线交acac于点于点h,h,oa=oc=4,oac=oca=45oa=oc=4,o

12、ac=oca=45, ,phyphy轴轴,phd=oca=45,phd=oca=45, ,设点设点p(x,xp(x,x2 2-3x-4),-3x-4),则点则点h(x,x-4),h(x,x-4),pd=hpsinphdpd=hpsinphd= (x-4-x= (x-4-x2 2+3x+4)= x+3x+4)= x2 2+ x,+ x, 0,pd 0,pd有最大值有最大值, ,当当x=2x=2时时, ,其最大值为其最大值为 , ,此时点此时点p(2,-6).p(2,-6).2222222 22 2类型二面积最值问题类型二面积最值问题【考点解读【考点解读】1.1.考查范畴考查范畴: :以二次函数为

13、背景以二次函数为背景, ,面积最值问题主要包面积最值问题主要包括三角形面积问题和四边形面积问题括三角形面积问题和四边形面积问题. .2.2.考查角度考查角度: :建立几何图形面积与动点的坐标的二次函建立几何图形面积与动点的坐标的二次函数关系数关系, ,然后确定最值然后确定最值. .【典例探究【典例探究】 典例典例2(20192(2019海南中考节选海南中考节选) )如图如图, ,已知抛物线已知抛物线y=axy=ax2 2+bx+5+bx+5经过经过a(-5,0),b(-4,-3)a(-5,0),b(-4,-3)两点两点, ,与与x x轴的另一轴的另一个交点为个交点为c,c,顶点为顶点为d,d,

14、连接连接cd.cd.(1)(1)求该抛物线的解析式求该抛物线的解析式. .(2)(2)点点p p为该抛物线上一动点为该抛物线上一动点( (与点与点b,cb,c不重合不重合),),设点设点p p的的横坐标为横坐标为t.t.当点当点p p在直线在直线bcbc的下方运动时的下方运动时, ,求求pbcpbc的面的面积的最大值积的最大值. .【自主解答【自主解答】(1)(1)将点将点a,ba,b坐标代入二次函数解析式得坐标代入二次函数解析式得: : 解得解得: : 故抛物线的解析式为故抛物线的解析式为:y=x:y=x2 2+6x+5+6x+5, ,25a5b5016a4b53 ，a1b6，(2)(2)令

15、令y=0,y=0,则则x=-1x=-1或或-5,-5,即点即点c(-1,0),c(-1,0),如图如图, ,过点过点p p作作y y轴的平行线交轴的平行线交bcbc于点于点g,g,将点将点b,cb,c的坐标代入一次函数解析式并解得的坐标代入一次函数解析式并解得: :直线直线bcbc的表达式为的表达式为:y=x+1:y=x+1, ,设点设点g(t,t+1),g(t,t+1),则点则点p(t,tp(t,t2 2+6t+5),+6t+5),s spbcpbc= pg(x= pg(xc c-x-xb b)= (t+1-t)= (t+1-t2 2-6t-5)= -6t-5)= 0,s 0,spbcpbc

16、有最大值有最大值, ,当当t= t= 时时, ,其最大值其最大值为为 12322315tt622 ，325227.8【规律方法【规律方法】解决面积最值问题的方法解决面积最值问题的方法(1)(1)首先设出动点的坐标为首先设出动点的坐标为(x,ax(x,ax2 2+bx+c).+bx+c).(2)(2)求有一边在坐标轴或与坐标轴平行的图形面积时求有一边在坐标轴或与坐标轴平行的图形面积时, ,用该边为底边用含用该边为底边用含x x的式子表示出来的式子表示出来, ,结合图形可用结合图形可用x x的的代数式表示出该边上的高代数式表示出该边上的高; ;求三边不在坐标轴上的三角求三边不在坐标轴上的三角形或不

17、规则图形面积时形或不规则图形面积时, ,要先采用割补的方法转化成易要先采用割补的方法转化成易于表示出面积的图形于表示出面积的图形. .(3)(3)用含有未知数用含有未知数x x的代数式表示图形面积的代数式表示图形面积. .(4)(4)利用二次函数的性质来求最大值或最小值利用二次函数的性质来求最大值或最小值. .【题组过关【题组过关】如图如图, ,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx-5+bx-5交交y y轴于轴于点点a,a,交交x x轴于点轴于点b(-5,0)b(-5,0)和点和点c(1,0),c(1,0),过点过点a a作作adxadx轴交轴交抛

18、物线于点抛物线于点d.d.(1)(1)求此抛物线的解析式求此抛物线的解析式. .(2)(2)点点e e是抛物线上一点是抛物线上一点, ,且点且点e e关于关于x x轴的对称点在直线轴的对称点在直线adad上上, ,求求eadead的面积的面积. .(3)(3)若点若点p p是直线是直线abab下方的抛物线上一动点下方的抛物线上一动点, ,当点当点p p运动运动到某一位置时到某一位置时, ,abpabp的面积最大的面积最大, ,求出此时点求出此时点p p的坐标的坐标和和abpabp的最大面积的最大面积. .略略类型三存在性问题探究类型三存在性问题探究【考点解读【考点解读】1.1.考查范畴考查范畴

19、: :以二次函数为背景的存在性问题包括探究以二次函数为背景的存在性问题包括探究等腰三角形、直角三角形、相似三角形和特殊四边形等腰三角形、直角三角形、相似三角形和特殊四边形的形状的形状. .2.2.考查角度考查角度: :考查是否存在某点考查是否存在某点, ,使图形满足某种特殊使图形满足某种特殊形状形状, ,根据图形性质解答问题根据图形性质解答问题. .【典例探究【典例探究】典例典例3 3已知抛物线已知抛物线y= y= 的图象如图所示的图象如图所示: :213xx22(1)(1)将该抛物线向上平移将该抛物线向上平移2 2个单位个单位, ,分别交分别交x x轴于轴于a,ba,b两点两点, ,交交y

20、y轴于点轴于点c,c,则平移后的解析式为则平移后的解析式为_._.(2)(2)判断判断abcabc的形状的形状, ,并说明理由并说明理由. .(3)(3)在抛物线对称轴上是否存在一点在抛物线对称轴上是否存在一点p,p,使得以使得以a,c,pa,c,p为为顶点的三角形是等腰三角形顶点的三角形是等腰三角形? ?若存在若存在, ,求出点求出点p p的坐标的坐标; ;若不存在若不存在, ,说明理由说明理由. .【思路点拨【思路点拨】(1)(1)根据函数图象的平移规律根据函数图象的平移规律, ,可得新的可得新的函数解析式函数解析式. .(2)(2)根据自变量与函数值的对应关系根据自变量与函数值的对应关系

21、, ,可得可得a,b,ca,b,c的坐标的坐标, ,根据勾股定理及逆定理根据勾股定理及逆定理, ,可得答案可得答案. .(3)(3)根据等腰三角形的定义根据等腰三角形的定义, ,分类讨论得到关于分类讨论得到关于p p点纵坐点纵坐标的方程标的方程, ,解方程可得答案解方程可得答案. .【自主解答【自主解答】略略【规律方法【规律方法】探究等腰三角形存在性的方法探究等腰三角形存在性的方法(1)(1)假设结论成立假设结论成立. .(2)(2)分别表示三角形三条边的长度分别表示三角形三条边的长度, ,分三种情况进行讨分三种情况进行讨论论, ,根据两边相等列出方程根据两边相等列出方程, ,然后求出对应的未知数的然后求出对应的未知数的值值. .(3)(3)表示三边长度往往需要用到点的坐标表示三边长度往往需要用到点的坐标, ,要掌握抛物要掌握抛物线和直线与坐标轴的交点坐标求法线和直线与坐标轴的交点坐标求法, ,并