专题32第6章四边形之正方形与45度的基本图备战2022中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版）

1、32第6章四边形之正方形与45度的基本图一、单选题1如图，已知正方形abcd的边长为12，be=ec，将正方形边cd沿de折叠到df，延长ef交ab于g，连接dg，现在有如下4个结论：ag+ec=ge；的周长是一个定值；连结fc，的面积等于在以上4个结论中，正确的是（ ）a1b2c3d4【答案】d【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得ad=df，a=gfd=90°，于是根据“hl”判定，再由，从而判断，由对折可得： 由，可得：从而可判断， 设 则利用三角形的周长公式可判断，如图，连接 证明是直角三角形，从而可判断，从而可得本题的结论【详解】解：由正方形与折叠可知，df=dc=da，

2、dfe=c=90°， dfg=a=90°， ， 故正确；由对折可得： ， 故正确；设 则 所以：的周长是一个定值，故正确，如图，连接 由对折可得： 故正确综上：都正确故选【点评】本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，轴对称的性质，直角三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键2如图，在正方形oabc中，点b的坐标是(6，6)，点e、f分别在边bc、ba上，oe=3若eof=45°，则f点的纵坐标是 ( ) a2bcd1【答案】a【分析】如图，连接ef，延长ba使得am=ce，则oceoam先证明ofefom，推出ef=fm=af+am=af+ce，设af=

3、x，在rtefb中利用勾股定理列出方程即可解决问题【详解】如图，连接ef，延长ba，使得am=ce，oa=oc，oce=aom，oceoam（sas）oe=om，coe=moa，eof=45°，coe+aof=45°，moa+aof=45°，eof=mof，在ofe和ofm中，ofefom（sas），ef=fm=af+am=af+ce，设af=，ce=，ef=，eb=3，()2=32+()2，点f的纵坐标为，故选：a【点评】本题考查了正方形的性质、坐标与图形、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型3

4、如图，在正方形有中，是上的动点，（不与、重合），连结，点关于的对称点为，连结并延长交于点，连接，过点作交的延长线于点，连接，那么些的值为（ ）a1bcd2【答案】b【分析】作辅助线，构建全等三角形，证明daeenh，得ae=hn，ad=en，再说明bnh是等腰直角三角形，可得结论【详解】如图，在线段ad上截取am，使am=ae，ad=ab，dm=be，点a关于直线de的对称点为f，adefde，da=df=dc，dfe=a=90°，1=2，dfg=90°，在rtdfg和rtdcg中，rtdfgrtdcg（hl），3=4，adc=90°，1+2+3+4=90

5、6;，22+23=90°，2+3=45°，即edg=45°，ehde，deh=90°，deh是等腰直角三角形，aed+beh=aed+1=90°，de=eh，1=beh，在dme和ebh中，dmeebh（sas），em=bh，rtaem中，a=90°，am=ae， ，即.故选：b.【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，等知识，解决本题的关键是作出辅助线，利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等4如图，在正方形内作，交于点，交于点，连接，过点作，垂足为点，将绕点顺时针旋转得到，若，则以下结论：，正

6、确的个数有（ ）a1个b2个c3个d4个【答案】c【分析】利用正方形的性质与旋转的性质证明再证明判断，利用全等三角形的性质与勾股定理先求解正方形的边长，再分别求解，判断，再利用勾股定理计算，判断，通过计算，判断【详解】解：由旋转的性质可知：af=ag，daf=bag 四边形abcd为正方形， bad=90° 又eaf=45°， bae+daf=45° bag+bae=45° gae=fae 在gae和fae中， 故正确， 设正方形的边长为，则 由勾股定理得： 解得：（舍去） 故错误， 故正确， 故正确综上：正确，故选c【点评】本题考查的是旋转的性质，正方

7、形的性质，三角形的全等的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键5在正方形abcd中，e、f分别为bc、cd边上的两个动点，eaf45°，下列几个结论中：efbedf；mn2bm2dn2；fa平分dfe；连接mf，则amf为等腰直角三角形；amnafe 其中一定成立的结论有（ ）a2个b3个c4个d5个【答案】d【分析】通过图形的旋转，得到，证明，可得正确；将绕点a逆时针旋转得到，连接ng，证得，可得正确；根据可得正确；由bdc=man=45°，可得点a，m，f，d四点共圆，进而可得到正确；通过证明三角形相似可得正确；【详解】四边形abcd正方形，ab=ad，将

8、绕点a逆时针旋转得到，如图所示，则ah=ae，af=af，ef=fh=df+dh=df+be，故正确；如图所示，将绕点a逆时针旋转得到，连接ng，易证，是直角三角形，mn=gn，,故正确；由可得，fa平分dfe，故正确；bd是正方形abcd的对角线，bdc=45°，man=45°，bdc=man，点a，m，f，d四点共圆，adf=90°，amf=90°，则amf为等腰直角三角形，故正确；由manfdn=45°，可得到，,又，amnafe，故正确；故答案选d【点评】本题主要考查了正方形的性质应用，旋转的性质，三角形全等和三角形相似的判定和性质，添

9、加和是的辅助线，构造全等三角形，相似三角形和四边形的外接圆，是解题的关键6如图，正方形abcd中，e是bc延长线上一点，在ab上取一点f，使点b关于直线ef的对称点g落在ad上，连接eg交cd于点h，连接bh交ef于点m，连接cm则下列结论，其中正确的是（）12；34；gdcm；若ag1，gd2，则bmabcd【答案】a【分析】正确如图1中，过点b作bkgh于k想办法证明rtbhkrtbhc（hl）可得结论正确分别证明gbh=45°，4=45°即可解决问题正确如图2中，过点m作mwad于w，交bc于t首先证明mg=md，再证明btmmwg（aas），推出mt=wg可得结论正

10、确求出bt=2，tm=1，利用勾股定理即可判断【详解】解：如图1中，过点b作bkgh于kb，g关于ef对称，ebeg，ebgegb，四边形abcd是正方形，abbc，aabcbcd90°，adbc，agbebg，agbbgk，abkg90°，bgbg，bagbkg（aas），bkbabc，abgkbg，bkhbch90°，bhbh，rtbhkrtbhc（hl），12，hbkhbc，故正确，gbhgbk+hbkabc45°，过点m作mqgh于q，mpcd于p，mrbc于r12，mqmp，meqmer，mqmr，mpmr，4mcpbcd45°，gb

11、h4，故正确，如图2中，过点m作mwad于w，交bc于tb，g关于ef对称，bmmg，cbcd，4mcd，cmcm，mcbmcd（sas），bmdm，mgmd，mwdg，wgwd，btmmwgbmg90°，bmt+gmw90°，gmw+mgw90°，bmtmgw，mbmg，btmmwg（aas），mtwg，mctm，dg2wg，dgcm，故正确，ag1，dg2，adabtm3，emwdtm1，btaw2，bm，故正确，故选：a【点评】本题考查正方形的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面

12、构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题二、填空题7如图，已知e、f是边长为1的正方形abcd内部两点，且满足eafecf45°，若aef的面积为，则bec与dfc的面积之和为_【答案】【分析】将绕点c逆时针旋转90°至cd与cb重合，得，且，将绕点a顺时针旋转90°至ad与ab重合，得，且，再证明，根据求解即可【详解】解：将绕点c逆时针旋转90°至cd与cb重合，得，且，将绕点a顺时针旋转90°至ad与ab重合，得，且，连接即：同理可得：故答案是：【点评】本题考查了运用旋转的性质求解，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握相关

13、性质是解答本题的关键8如图，在正方形abcd中，点m、n为边bc和cd上的动点（不含端点），下列三个结论：当mnmc时，则；2；mnc的周长不变；amnamb60°其中正确结论的序号是_【答案】【分析】先用勾股定理求得mcnc，则易得abmadn（sas），再结合man45°，可得答案；将abm绕点a顺时针旋转90°得ade，证明eanman（sas），再利用四边形内角和及邻补角关系，可证得结论；由eanman，可得mnbmdn，从而将mnc的三边相加即可得答案；将adn绕点a顺时针旋转90°得abf，证明mafman（sas），再全等三角形的性质，可证

14、得结论【详解】正方形abcd中，c90°mn2mc2nc2当mnmc时，mn22mc2mc2nc2mcncbmdn易证abmadn（sas）bamdanman45°bam22.5°，故正确；如图，将abm绕点a顺时针旋转90°得ade，则eaneamman90°45°45°则在ean和man中，aeam，eanman，anan，eanman（sas）amnaedaedeamenmamn360°2amn90°（180°mnc）360°2amnmnc90°故正确；eanmanmn

15、endednbmdnmnc的周长为：mcncmn（mcbm）（ncdn）dcbcdc和bc均为正方形abcd的边长，故mnc的周长不变；将adn绕点a顺时针旋转90°得abf，则famfanman90°45°45°则在fam和man中，afan，famman，amam，mafman（sas），ambamn，故错误；综上都正确，故答案为：【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定、勾股定理等知识点，本题具有一定的综合性9如图，在正方形abcd中，e是bc边上的一点，将正方形边ab沿ae折叠到af，延长ef交dc于g，连接ag，则eag_度【答案】45

16、【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可以证明adgafg，再根据全等三角形的性质可得dag=fag，由折叠可得bae=fae，进而可得eag的度数【详解】解：四边形abcd是正方形，abad，abebadadg90°，由翻折可知：abaf，abeafeafg90°，baeeaf，afgadg90°，agag，adaf，rtagdrtagf（hl），gafgad，eageaf+gaf（baf+daf）45°故答案为：45【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、折叠，解决本题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质10如图，正方形中，

17、点是边的中点，连接，与交于点，点在上，点在上，且.若，则_【答案】【分析】如图，首先求出dm、df、pd的长，证明defdpc，可得，求出de即可解决问题【详解】解：四边形abcd是正方形，ab=bc=cd=da=2，dab=90°，dcp=45°，点m是ab边的中点，am=bm=1，在rtadm中，dm=，amcd，dp=，pf=，df=dp-pf=，edf=pdc，dfe=dcp=45°，defdpc，de=，ce=cd-de=2-=故答案为：【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考

18、常考题型11如图，已知正方形abcd的边长为3，e、f分别是ab、bc边上的点，且，将绕点d逆时针旋转90°，得到 若，则ef的长为_【答案】【分析】先根据sas证明defdmf，得efmf，再设efmfx，分别表示出be和bf，然后在rtbef中根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即得结果.【详解】解：dae逆时针旋转90°得到dcm，fcmfcddcm180°，f，c，m三点共线，dedm，edm90°，edffdm90°，edf45°，fdmedf45°，df=dfdefdmf(sas)，efmf，设efmfx，aec

19、m1，且bc3，ebabae312，bmbccm314，bfbmmf4x，在rtebf中，由勾股定理得：eb2bf2ef2，即22(4x)2x2，解得x，即ef故答案为：【点评】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，解题时注意旋转前后的对应关系和方程思想的应用.12如图，正方形abcd中，点e、f分别在边bc、cd上，连接ae、ef、af，且eaf45°，下列结论：abeadf；aebaef；正方形abcd的周长2cef的周长；sabe+sadfscef，其中正确的是_（只填写序号）【答案】【分析】当e、f不是bc和cd的中点时，bedf，则a

20、be和adf的边对应不相等，由此判断；延长cd至g，使得dgbe，证明abeadg和aefagf，即可判断；通过周长公式计算，再由be+dfef，即可判断；证明sabe+sadfsagf，再由三角形的底与高的数量关系得sagfscef，进而判断【详解】解：当e、f不是bc和cd的中点时，bedf，则abeadf不成立，故错误；延长cd至g，使得dgbe，连接ag，如图1，四边形abcd为正方形abad，abeadg90°，abeadg（sas），baedag，aebg，aeag，bad90°，eaf45°，bae+daf45°，gafdag+daf45&

21、#176;，eafgaf，afaf，aefagf（sas），aefg，aebaef，故正确；aefagf，efgfdg+dfbe+df，cef的周长ce+cf+efce+cf+be+dfbc+cd2bc，正方形abcd的周长4bc，正方形abcd的周长2cef的周长，故正确；abeadg，sabesadg，sabe+sadfsagf，gfefcf，adce，即sagfscef，sabe+sadfscef，故错误；故答案为：【点评】此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定及性质和三角形的面积关系，掌握正方形的性质、全等三角形的判定及性质和三角形的面积公式是解决此题的关键三、解答题13已知：四边

22、形为正方形，是等腰，（1）如图：当绕点旋转时，若边、分别与、相交于点、，连接，试证明：（2）如图，当绕点旋转时，若边、分别与、的延长线相交于点、，连接试写出此时三线段、的数量关系并加以证明若，求：正方形的边长以及中边上的高【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析；【分析】（1）延长cb到g，使bg=df，连接ag，根据正方形性质得出ad=ab，d=abg，根据全等三角形的判定推出即可；（2）ef=be-df，理由是：在bc上取bg=df，连接ag，证abgadf，faeeag即可；过f作fhae于h，设正方形abcd的边长是x，则bc=cd=x，ef=ge=bc-bg+ce=x+4，在rt

23、fce中，由勾股定理得出方程（x+4）2=（x+2）2+62，求出x后再求出fh即可【详解】（1）证明：如图1，延长cb到g，使bg=df，连接ag，四边形abcd是正方形，d=abc=dab=abg=90°，ad=ab，在adf和abg中，adfabg（sas），ag=af，daf=bag，eaf=45°，eag=eab+bag=eab+daf=45°，eaf=eag，ae=ae，eafeag，ef=eg=eb+bg=eb+df（2）三线段、的数量关系是：，理由如下:如图2，在上取一点，使连接，同(1)可证，ag=af，daf=bag，是等腰直角三角形，在和中，

24、如图2，过f作fhae于h，设正方形abcd的边长是x，则bc=cd=x，ce=6，df=bg=2，ef=ge=cg+ce=bc-bg+ce=x-2+6=x+4，在rtfce中，由勾股定理得：ef2=fc2+ce2，（x+4）2=（x+2）2+62，解得：x=6，ag=af=，fam=45°，fh=af=，即aef中ae边上的高为【点评】本题考查旋转综合题、正方形的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题14如图，正方形abcd中，边长为4，m、n在ab、ad上(1) 若mcn4

25、5°，则bmdn_mn（填“”“”或“”）；(2) 如图1，若nmcmcd，求amn的周长；(3) 如图2，若m、n在ab、ad反向延长线上，在(2)的条件下，直接写出dn、mn、bm的数量关系 【答案】（1）=；（2）8；（3）【分析】（1）如图1中，延长到，使得，连接证明，推出，再证明，推出，可得结论（2）如图中，作于利用全等三角形的性质证明，利用（1）中结论即可解决问题（3）结论：如图2中，在上取一点使得证明方法类似（1）【详解】解：（1）如图1中，延长到，使得，连接四边形是正方形，故答案为：；（2）如图中，作于，的周长（3）结论：理由：如图2中，在上取一点使得四边形是正方形，

26、【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型15如图，点、分别在边、上，过点作，且点在的延长线上（1）与全等吗？为什么？（2）若，求的长【答案】（1）gabfad，理由见解析；（2）ef=5【分析】（1）由题意可得abg=d=90°，进一步即可根据asa证得gabfad；（2）由（1）的结论可得ag=af，gb=df，易得bae+daf=45°，进而可推出gae=eaf，然后利用sas即可证明gaefae，可得ge=ef，进一步即可求出结果【详解】解：（1），点在的延长线上，abg=

27、d=90°，在gab和fad中，ab=ad，abg=d，gabfad（asa）；（2）gabfad，ag=af，gb=df，bae+daf=45°，bae+gab=45°，即gae=45°，gae=eaf，在gae和fae中，ag=af，gae=eaf，ae=ae，gaefae（sas），ge=ef，ge=gb+be=df+be=2+3=5，ef=5【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键16如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点（1）求证：四边形是正方形；（2）若，求证：；（3

28、）在（2）的条件下，已知，求的长【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）首先证明是矩形，然后找到一组邻边相等即可证明四边形是正方形；（2）主要证明，从而得出，由（1）知，四边形是正方形，等量代换即可证明；（3）已知，可知，又因为，求出ad的长度，df=ad-af，根据等式关系求出df的长，最后证明为等腰直角三角形，od=df即可求解【详解】（1）在矩形中，四边形是矩形，又ae平分，为等腰直角三角形，=，四边形是正方形（邻边相等的矩形为正方形）；（2），又，ad=ae，（aas），由（1）知，四边形是正方形，；（3）在正方形中，由（2）知：， ad=ae=，df=ad-af=-1

29、，又，为等腰直角三角形，od=df=2-【点评】本题主要考查了矩形与正方形的判定与性质、证明三角形全等等知识点，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键17分层探究（1）问题提出：如图1，点e、f别在正方形abcd的边bc、cd上，eaf45°，连接ef求证：efbe+df，解题思路：把abe绕点a逆时针旋转 度至adg，可使ab与ad重合由fdgadg+adc180°，则知f、d、g三点共线，从而可证afg （ ），从而得efbe+df，阅读以上内容并填空（2）类比引申：如图2，四边形abcd中，abad，bad90°，点e、f分别在边bc、cd上，eaf45

30、°探究：若b、d都不是直角，当b、d满足什么数量关系时，仍有efbe+df？（3）联想拓展：如图3，在abc中，bac90°，abac，点d、e均在边bc上，并且dae45°猜想bd、ce、de的数量关系，并给出理由【答案】（1）90，afe，sas；（2）b+d180°；（3）ef2be2+fd2，理由见解析【分析】（1）把abe绕点a逆时针旋转90°至adg，可使ab与ad重合，再证明afgafe进而得到effg，即可得efbe+df；（2）b+d180°时，efbe+df，与（1）的证法类同；（3）把afd绕点a顺时针旋转90&

31、#176;得到abe，连接ee，根据旋转的性质，可知afdabe得到befd，aeaf，dabe，eadeab，在rtabd中的，abad，可求得ebd90°，所以eb2+be2ee2，证aeeaef，利用feee得到ef2be2+fd2【详解】解：（1）abad，把abe绕点a逆时针旋转90°至adg，可使ab与ad重合baedag，bad90°，eaf45°，bae+daf45°，eaffag，adcb90°，fdg180°，点f、d、g共线，在afe和afg中，afgafe（sas），effg，即efbe+df，故答案

32、为：90，afe，sas；（2）当b+d180°时，efbe+df，如图2abad，把abe绕点a逆时针旋转90°至adg，可使ab与ad重合，baedag，bad90°，eaf45°，bae+daf45°，eaffag，adc+b180°，fdg180°，点f、d、g共线，在afe和afg中，afeafg（sas），effg，即efbe+df，故答案为：b+d180°；（3）猜想：ef2be2+fd2，证明：把afd绕点a顺时针旋转90°得到abe，连接ee，如图3，afdabe，befd，aeaf，d

33、abe，eadeab，abad，abdadb45°，abd+abe90°，即ebd90°，eb2+be2ee2，又fae45°，bae+ead45°，eab+bae45°，即eae45°，在aee和aef中，aeeaef（sas），eefe，ef2be2+df2【点评】本题主要考查了几何变换综合，结合全等三角形的性质与判定计算是关键18正方形abcd的边长为6，e，f分别是ab，bc边上的点，且edf45°，将dae绕点d逆时针旋转90°，得到dcm（1）求证：efcf+ae；（2）当ae2时，求ef的长

34、【答案】（1）见解析；（2）5，详见解析【分析】（1）由旋转可得dedm，edm为直角，可得出edf+mdf90°，由edf45°，得到mdf为45°，可得出edfmdf，再由dfdf，利用sas可得出三角形def与三角形mdf全等，由全等三角形的对应边相等可得出efcf+ae；（2）由（1）的全等得到aecm2，正方形的边长为6，用abae求出eb的长，再由bc+cm求出bm的长，设efmfx，可得出bfbmfmbmef8x，在直角三角形bef中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为ef的长【详解】（1）证明：dae逆时针旋转90°

35、;得到dcm，fcmfcd+dcm180°，aecm，f、c、m三点共线，dedm，edm90°，edf+fdm90°，edf45°，fdmedf45°，在def和dmf中，defdmf（sas），efmf，efcf+ae；（2）解：设efmfx，aecm2，且bc6，bmbc+cm6+28，bfbmmfbmef8x，ebabae624，在rtebf中，由勾股定理得，即，解得：x5，则ef5【点评】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、三角形全等及勾股定理，关键是根据半角旋转得到三角形的全等，然后利用勾股定理求得线段的长19已知，如图1，正方形

36、abcd的边长为6，点e、f分别在边ab、ad的延长线上，且be=df，连接ef（1）求e的度数；（2）将aef绕点a顺时针方向旋转，当旋转角满足0°45°时，设ef与射线ab交于点g，与ac交于点h，如图所示，试判断线段fh、hg、ge的数量关系，并说明理由（3）若将aef绕点a旋转一周，连接df、be，并延长eb交直线df于点p，连接pc，则点p的运动路径长为；线段pc的取值范围为【答案】（1）e=45°；（2）fh2+ge2=hg2，理由见解析；（3）6，0pc6【分析】（1）先证明ae=af，由等腰直角三角形的性质可求解；（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，先证明aghagk，得gh=gk，由afhaek，得aek=afh=45°，fh=ek，利用勾股定理得：kg2=eg2+ek2，根据相等关系线段等量代换可得结论：fh2+ge2=hg2；（3）如图3，先证明fpe=fae=90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径可得：点p的运动路径是：以bd为直径的圆，如图4，可得pc的取值范围【详解】（1）四边形abcd是正方形，ad=ab，dab=90°，be=df，ad+df=a