第08讲 三角形的存在性-备考2022年中考数学《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》(全国通用)解析版

1、硬核：狙击2020中考数学重点/难点/热点1、 两点间距离公式2、 等腰三角形“三线合一”3、 勾股定理4、 锐角三角函数5、 全等三角形的判定6、 相似三角形的性质与判定一、等腰三角形与直角三角形的存在性（1）“两圆一中垂”满足等腰三角形的点的存在性的作图方法探究1: 如图，在坐标轴上找出所有的点c，使abc 为等腰三角形。方法：分类讨论：当a为顶点时，即ab=ac时，以a为圆心，ab为半径画圆，得目标点c1，c2，c3，c4当b为顶点时，即ba=bc时，以b为圆心，ba为半径画圆，得目标点c5，c6，c7，c8当c为顶点时，即ca=cb时，作线段ab的垂直平分线，得目标点c9，c10故，满

2、足条件的点c共有10个.（2）“一圆两垂直”满足直角三角形的点的存在性的作图方法探究2: 如图，在坐标轴上找出所有的点c，使abc 为直角三角形。方法：分类讨论：当a=90°时，过点a作线段ab的垂线，得目标点c1，c2当b=90°时，过点b作线段ab的垂线，得目标点c3，c4当c=90°时，以ab为直径作圆，得目标点c5，c6，c7，c8故，满足条件的点c共有8个.（3）“代数求值解法”满足等腰/直角三角形的点的坐标计算方法写出或设出三角形三个顶点的坐标；利用两点间距离公式，计算三角形三条边长的平方；若是等腰三角形，则由等腰三角形的三边长（的平方）可以两两相等，

3、需分三类，列方程求解；若是直角三角形，则表示出三边的平方，利用勾股定理列出方程即可求解.检验求出的点是否符合题意，即能否构成三角形。二、相似三角形的存在性（1）导边法，（“sas”法）先找到一组关键的等角，有时明显，有时隐蔽；以这两个相等角的两邻边分两种情形对应成比例列方程如图，在abc和def中，若已确定a=d, 则要使abc与def相似，需要分两种情形讨论：或，再列方程求解即可.（1）导角法，（aa”法）先找到一组关键的等角；另两个内角分两类对应相如图，在abc和def中，若已确定a=d, 则要使abc与def相似，需要分两种情形讨论：b=e或b=f，再进行分析处理即可.【例题1】在平面直

4、角坐标系中，点a坐标为（2，1），点b坐标为（2，3），点c为x轴上的一个动点，记作（a，0）（1）求ac+bc的最小值，并求ac+bc的最小值时点c的坐标（2）若abc为等腰三角形，求点c坐标（3）若abc为直角三角形，求点c坐标（4）若点d坐标为（a+1，0），求四边形acdb的周长的最小值，并求出c点坐标【解析】（1）点a坐标为（2，1）点a坐标关于x轴的对称点为a'（2，1）根据两点之间，线段最短可得：当点c，点a'，点b三点共线时，ac+bc值最小ac+bc最小值为为a'b的长度，即a'b4设直线a'b解析式ykx+b，解得：k1，b1解析式y

5、x+1当y0时，a1点c（1，0）（2）abc为等腰三角形，abac或acbc或abbc若abac时，点a坐标为（2，1），点b坐标为（2，3），点c（a，0）（2+2）2+（31）2（a+2）2+（10）2a±2点c坐标为（，2），（，2）若abbc时，（2+2）2+（31）2（a2）2+（30）2a2±点c坐标为（2+，0），（2，0）若bcac时，（a2）2+（30）2（a+2）2+（10）2a1点c（1，0）（3）若abc为直角三角形，abc90°或acb90°或bac90°，若abc90°，则abbc点a坐标为（2，1），点

6、b坐标为（2，3），直线ab的解析式yx+2设直线bc解析式y2x+b过点b34+bb7解析式y2x+7当y0时，x点c（，0）若bac90°，则acab设直线ac解析式y2x+m过点a14+mm3解析式y2x3当y0时，x，点c（，0）当acb90°时，ab2ac2+bc220（a+2）2+1+（a2）2+9a±1点c（1，0），（1，0）（4）点d坐标为（a+1，0），点c（a，0）cd1，cd1，ab2，四边形acdb的周长ab+ac+cd+db1+2+ac+db要使四边形acdb的周长最小即ac+db的值最小将点b向左平移1个单位得b'（1，3），

7、点a关于x轴的对称点为a'（2，1）连接a'b'交x轴为点c此时ac+db的最小值为a'b'的长度a'（2，1），b'（1，3）a'b'5四边形acdb的周长最小值1+2+56+2a'（2，1），b'（1，3）直线a'b'解析式yx+，当y0时，x点c（，0）【例题2】如图，在菱形abcd中，abc60°，ab2，点p是这个菱形内部或边上的一点，若以点p、b、c为顶点的三角形是等腰三角形，则p、d（p、d两点不重合）两点间的最短距离为【解析】若以边bc为底，则bc垂直平分线上（在菱

8、形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点p与点a重合时，pd值最小，为2；若以边pc为底，pbc为顶角时，以点b为圆心，bc长为半径作圆，与bd相交于一点，则弧ac（除点c外）上的所有点都满足pbc是等腰三角形，当点p在bd上时，pd最小，最小值为232；若以边pb为底，pcb为顶角，以点c为圆心，bc为半径作圆，则弧bd上的点a与点d均满足pbc为等腰三角形，当点p与点d重合时，pd最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；综上所述，pd的最小值为22【例题3】已知：在矩形abcd中，ab6，点e为边ab上一点，满足ae2，连接de

9、，在矩形内部作def45°，交边bc于点f（不与端点重合），交边dc的延长线于点g（1）如果dfeg，求deg的面积；（2）设adx，bfy，请用含有x，y的式子表示线段dg的长；求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果def是等腰三角形，试求此时ad的长【解析】（1）如图1，dfef，def45°，def是等腰直角三角形，efdf，四边形abcd是矩形，bfcd90°，bef+bfebfe+dfc90°，befdfc，ebffcd（aas），cfbe624，bfcd6，由勾股定理得：efdf2，becg，ebfgcf，fg，egef+fg

10、2+，sdeg；（2）bfy，adbcx，cfxy，becg，ebfgcf，cg4，dgdc+cg6+42+；如图2，过d作dmde，交eg的延长线于m，过e作eheg，交ad于h，heg90°，aeh+bef90°，bef+bfe90°，aehbfe，ab90°，haeebf，ah，dhx，def45°，hegedm90°，hed45°，edm是等腰直角三角形，dedm，m45°，mhed45°，ade+edcedc+gdm，adegdm，dhedgm（asa），dhdg，x2+，y4+，yx，4+x，

11、4（x2）+16x（x2），x26x80，设mx26x8，当m0时，x26x80，x13，x23+，如图3所示，当m0时，x3+，则y关于x的函数关系式为：y4+，定义域是x3+；（3）def是等腰三角形时，存在三种情况，当efdf时，由勾股定理得：be2+bf2cf2+dc2，42+y262+（xy）2，1636+x22xy，把y4+代入得：020+x22x（4+），x310x2+4x400，x2（x10）+4（x10）0，（x10）（x2+4）0，x10，ad10；当eddf时，defdfe45°edf90°不符合题意；当deef时，由勾股定理得：be2+bf2ae2+

12、ad2，42+y2x2+22，把y4+代入得：16+（4+）2x2+4，x44x324x216x1120，x424x21124x（x2+4）0，（x2+4）（x228）4x（x2+4）0，（x2+4）（x24x28）0，x24x280，x124（舍），x22+4，即ad2+4，综上，此时ad的长为10或2+4【例题4】（2020沈阳一模）如图，抛物线yax2+bx+2交x轴于点a（3，0）和点b（1，0），交y轴于点c已知点d的坐标为（1，0），点p为第二象限内抛物线上的一个动点，连接ap、pc、cd（1）求这个抛物线的表达式（2）当四边形adcp面积等于4时，求点p的坐标（3）点m在平面内，

13、当cdm是以cm为斜边的等腰直角三角形时，直接写出满足条件的所有点m的坐标；在的条件下，点n在抛物线对称轴上，当mnc45°时，直接写出满足条件的所有点n的坐标【解析】（1）抛物线yax2+bx+2交x轴于点a（3，0）和点b（1，0），抛物线的表达式为：ya（x+3）（x1）a（x2+2x3）ax2+2ax3a，即3a2，解得：a，故抛物线的表达式为：yx2x+2；（2）连接op，设点p（x，x2x+2），抛物线yx2x+2交y轴于点c，点c（0，2），ss四边形adcpsapo+scposodc×ao×yp+×oc×|xp|×co

14、×od4，×3×（x2x+2）+×2×（x）×1×24，x11，x22，点p（1，）或（2，2）；（3）如图2，若点m在cd左侧，连接am，mdc90°，mda+cdo90°，且cdo+dco90°，mdacdo，且adco2，mdcd，maddoc（sas）amdo，maddoc90°，点m坐标（3，1），若点m在cd右侧，同理可求点m'（1，1）；如图3，抛物线的表达式为：yx2x+2（x+1）2+；对称轴为：直线x1，点d在对称轴上，mdcdm'd，mdcm

15、9;dc90°，点d是mm'的中点，mcdm'cd45°，mcm'90°，点m，点c，点m'在以mm'为直径的圆上，当点n在以mm'为直径的圆上时，m'ncm'mc45°，符合题意，点c（0，2），点d（1，0）dc，dndn'，且点n在抛物线对称轴上，点n（1，），点n'（1，）延长m'c交对称轴与n''，点m'（1，1），点c（0，2），直线m'c解析式为：y3x+2，当x1时，y5，点n''的坐标（1，5），点n&

16、#39;'的坐标（1，5），点m'（1，1），点c（0，2），n''cm'c，且mcm'90°，mm'mn''，mm'cmn''c45°点n''（1，5）符合题意，综上所述：点n的坐标为：（1，）或（1，）或（1，5）【例题5】如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c的图象与x轴交于a（4，0），b两点，与y轴交于点c（0，2），对称轴x1，与x轴交于点h（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线ykx+1（k0）与y轴交于点e，与抛物线交于点p，q（点p在

17、y轴左侧，点q在y轴右侧），连接cp，cq，若cpq的面积为，求点p，q的坐标；（3）在（2）的条件下，连接ac交pq于g，在对称轴上是否存在一点k，连接gk，将线段gk绕点g顺时针旋转90°，使点k恰好落在抛物线上？若存在，请直接写出点k的坐标；若不存在，请说明理由【解析】（1）对称轴x1，则点b（2，0），则抛物线的表达式为：ya（x+2）（x4）a（x22x8），即8a2，解得：a故抛物线的表达式为：y；（2）设直线pq交y轴于点e（0，1），点p、q横坐标分别为m，n，cpq的面积×ce×（nm），即nm2，联立抛物线与直线pq的表达式得：kx+1，整理得

18、：，m+n24k，mn4，nm2，解得：k0（舍去）或1；将k1代入式并解得：x，故点p、q的坐标分别为：（，、（，）；（3）设点k（1，m），a（4，0），c（0，2），ac的表达式为yx+2，联立pq和ac的表达式得x+1x+2，解得：x，故点g（，），过点g作x轴的平行线交函数对称轴于点m，交过点r与y轴的平行线于点n，则kmggnr（aas），gm1nr，mk，故点r的纵坐标为：，则点r（m1，）将该坐标代入抛物线表达式解得：x，故m，故点k（1，）【例题6】如图，直线yx+3交x轴于点a，交y轴于点c，抛物线yax2+bx+c经过a、c，与x轴交于另一点b（1，0），顶点为d（1）求

19、抛物线的解析式；（2）过a点作射线ae交直线ac下方的抛物线上于点e，使dae45°，求点e的坐标；（3）若（2）中ae交y轴于点f，n是线段ac上一点，在抛物线上是否存在点m，使amn与acf相似？若存在，请直接写出点m及相应的n点的坐标；若不存在，请说明理由【解析】（1）直线yx+3交x轴于点a，交y轴于点c，点a的坐标为（3，0），点c的坐标为（0，3）将a（3，0）、b（1，0）、c（0，3）代入yax2+bx+c，得：，解得：，抛物线的解析式为yx22x+3（2）yx22x+3（x+1）2+4，点d的坐标为（1，4）a（3，0），c（0，3），oacoca45°，

20、ad2，cd，ac3ad2cd2+ac2，acd90°，tandac在y轴上取点f（0，1），连接af交抛物线与点e，如图1所示of1，oa3，tanoaftandac，oafdaccaf+oaf45°，dafdac+caf45°设直线ae的解析式为ykx+d（k0），将a（3，0）、f（0，1）代入ykx+d，得：，解得：，直线ae的解析式为yx+1联立直线ae、抛物线的解析式成方程组，得：，解得：，点e的坐标为（，）（3）a（3，0），c（0，3），f（0，1），cf2，ac3，af分manacf、mancaf及manafc三种情况考虑当manacf时，点m与

21、点b重合，如图2所示，点b（1，0），点m的坐标为（1，0），am4或，即或，an6或an点n在直线yx+3上，点a（3，0），点n的坐标为（3，6）或（，），又点n为线段ac上的点，点n的坐标为（，）；当mancaf时，点m与点e重合，如图3所示，点e（，），点m的坐标为（，），am或，即或，an或an点n在直线yx+3上，点a（3，0），点n的坐标为（，）或（，），又点n为线段ac上的点，点n的坐标为（，）；过点c作cmx轴，交抛物线于点m，连接am，如图4所示acf45°，acm45°acf当y3时，x22x+33，解得：x12，x20，点m的坐标为（2，3），cmc

22、f2在acf和acm中，acfacm（sas），点m的坐标为（2，3），点n的坐标为（0，3）；当点m的坐标为（2，3）时，macfac，在ac上还存在一点n，使得amnacf点a的坐标为（3，0），am，即，an，点n的坐标为（，）当manafc时，如图5所示，即，ap3，点p的坐标为（0，6），直线ap的解析式为y2x6联立直线ap与抛物线的解析式成方程组，得：，解得：，点m的坐标为（3，12），am6或，即或，an6，an15点n在直线yx+3上，点a（3，0），点n的坐标为（3，6）或（9，15），又点n在线段ac上，该情况不存在综上所述：在抛物线上是否存在点m，使amn与acf相似，

23、当点m的坐标为（1，0）时，点n的坐标为（，）；当点m的坐标为（，）时，点n的坐标为（，）；当点m的坐标为（2，3）时，点n的坐标为（0，3）或（，）【例题7】如图，在平面直角坐标系xoy中，顶点为m的抛物线c1：yax2bx（a0）经过点a和x轴上的点b，aoob2，aob120°（1）求该抛物线的表达式；（2）联结am，求saom；（3）将抛物线c1向上平移得到抛物线c2，抛物线c2与x轴分别交于点e、f（点e在点f的左侧），如果mbf与aom相似，求所有符合条件的抛物线c2的表达式【解析】（1）过a作ahx轴，垂足为h，ob2，b（2，0），aob120°，aoh60

24、°，hao30°oa2，在rtaho中，oh2+ah2oa2，抛物线c1：yax2+bx经过点a、b得：，解得：，这条抛物线的表达式为（2）过m作mgx轴，垂足为g，顶点m是，得，则直线am为：直线am与x轴的交点n为：，saomonmg+onah××+×；（3）b（2，0）、，在rtbgm中，mbg30°mbf150°由抛物线的轴对称性得：momb，mbomob150°aob120°，aom150°aommbf当mbf与aom相似时，有：或，即或，bf2或f（4，0）或；设向上平移后的抛物线c

25、2为：，当f（4，0）时，抛物线c2为：当时，抛物线c2为：；综上，抛物线c2的表达式为：yx2+x+或yx2+x+1如图，ab90°，ab7，bc3，ad2，在边ab上取点p，使得pad与pbc相似，则满足条件的ap长为2.8或1或6【解析】ab90°若apdbpc则，解得ap2.8若apdbcp则，解得ap1或6则满足条件的ap长为2.8或1或6故答案为：2.8或1或62如图，在平面直角坐标系中，一次函数yx+b交x轴、y轴于b、a两点，且b点坐标为（8，0），将直线ab沿y轴翻折交x轴于点c（1）直接写出a、c两点的坐标；（2）设点p为bc上一点，作apdc，交ab于

26、点d，在点p移动的过程中，当apd为直角三角形时，求点p的坐标【解析】（1）将点b的坐标代入一次函数表达式得：0×8+b，解得：b6，故点a（0，6），则点c（8，0）；（2）设：apdcb，由（1）知：a（0，6），点c（8，0）；点b（8，0），则ab10，oboc8，oa6，则sin，cos，当pad90°时，pb，则oppbob，故点p（，0）；当pda90°时，apdabc，而pda90°，故点p与点o重合，故点p（0，0）；综上，点p（0，0）或（，0）3已知，a（4，0），b（8，0），c（0，4）动直线ef（efx轴）从点c出发，以每秒1

27、个单位的速度沿y轴负方向平移，且分别交y轴、线段bc于e、f两点，动点p同时从点b出发，在线段ob上以每秒2个单位的速度向原点o运动（1）请分别用t表示bf，bp；（2）是否存在t的值，使得bpf与abc相似？若存在，求出t的值【解析】（1）在rtboc中，oc4，ob8，bc4，efob，bf（4t），bp2t（0t4）（2）当fpac时，bfpbca，解得t当时，bfpbac，解得t，综上所述，满足条件的t的值为s或s4（2020历下区校级模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数yax2+bx+c交x轴于a（4，0）、b（2，0），在y轴上有一点e（0，2），连接ae（1）求二次函数的

28、表达式；（2）点d是第二象限内的抛物线上一动点若tanaed，求此时点d坐标；（3）连接ac，点p是线段ca上的动点，连接op，把线段po绕着点p顺时针旋转90°至pq，点q是点o的对应点当动点p从点c运动到点a时，判断动点q的轨迹并求动点q所经过的路径长【解析】（1）将a（4，0），b（2，0）代入yax2+bx+6（a0），可得a，b，yx2x+6；（2）过点a作ande，de与x轴交于点f，tanaed，an，ne3，rtafnrtefo，ef2of2+4，nf3ef，of2，f（2，0），ef直线解析式为yx2，x2x2x+6时，x，d（，）；（3）q点随p点运动而运动，p点

29、在线段ac上运动，q点的运动轨迹是线段，当p点在a点时，q（4，4），当p点在c点时，q（6，6），q点的轨迹长为2，故答案为25. 如图，二次函数ya（x22mx3m2）（其中a，m是常数，且a0，m0）的图象与x轴分别交于点a、b（点a位于点b的左侧），与y轴交于c（0，3），点d在二次函数的图象上，cdab，连接ad，过点a作射线ae交二次函数的图象于点e，ab平分dae（1）用含m的代数式表示a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为f，探索：在x轴的负半轴上是否存在点g，连接gf，以线段gf、ad、ae的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点

30、g即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由【解析】（1）解：将c（0，3）代入二次函数ya（x22mx3m2），则3a（003m2），解得 a（2）方法一：证明：如图1，过点d、e分别作x轴的垂线，垂足为m、n由a（x22mx3m2）0，解得 x1m，x23m，则 a（m，0），b（3m，0）cdab，d点的纵坐标为3，又d点在抛物线上，将d点纵坐标代入抛物线方程得d点的坐标为（2m，3）ab平分dae，damean，dmaena90°，admaen设e坐标为（x，），x4m，e（4m，5），amao+omm+2m3m，anao+onm+4m5m，即为定值方法二

31、：过点d、e分别作x轴的垂线，垂足为m、n，a（x22mx3m2）0，x1m，x23m，则a（m，0），b（3m，0），cdab，d点的纵坐标为3，d（2m，3），ab平分dae，kad+kae0，a（m，0），d（2m，3），kad，kae，x23mx4m20，x1m（舍），x24m，e（4m，5），damean90°admaen，dm3，en5，（3）解：如图2，记二次函数图象顶点为f，则f的坐标为（m，4），过点f作fhx轴于点h连接fc并延长，与x轴负半轴交于一点，此点即为所求的点gtancgo，tanfgh，oc3，hf4，ohm，og3mgf4， ad3，ad：gf：ae

32、3：4：5，以线段gf，ad，ae的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时g点的横坐标为3m6如图，在平面直角坐标系中，已知矩形abcd的三个顶点b（4，0）c（8，0）d（8，8）抛物线yax2+bx过a，c两点，动点p从点a出发，沿线段ab向终点b运动，同时点q从点c出发，沿线段cd向终点d运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点p作peab交ac于点e（1）直接写出点a的坐标，并求出抛物线的解析式（2）过点e作efad于点f，交抛物线于点g，当t为何值时，线段eg最长？（3）连接eq，在点p，q运动的过程中，是否存在某个时刻，使得以c，e，q为顶点的ceq为等腰三角形？如果存

33、在，请直接写出相应的t值；如果不存在，请说明理由【解析】（1）因为点b的横坐标为4，点d的纵坐标为8，adx轴，aby轴，所以点a的坐标为（4，8）将a（4，8）、c（8，0）两点坐标分别代入yax2+bx，得，故抛物线的解析式为：yx2+4x；（2）pebc，apeabc，即，peapt，pb8t点e的坐标为（4+t，8t）点g的纵坐标为：（4+t）2+4（4+t）t2+8egt2+8（8t）t2+t0，当t4时，线段eg最长为2；q（8，t），e（4+t，8t），c（8，0），eq2（t4）2+（82t）2，qc2t2，ec2（4+t8）2+（8t）2当ceq为等腰三角形时，分三种情况：（

34、）当eqqc时，（t4）2+（82t）2t2，整理得13t2144t+3200，解得t或t8（此时e、c重合，不能构成三角形，舍去）；（）当eccq时，（4+t8）2+（8t）2t2，整理得t280t+3200，解得t4016，t40+168（此时q不在矩形的边上，舍去）；（）当eqec时，（t4）2+（82t）2（4+t8）2+（8t）2，解得t0（此时q、c重合，不能构成三角形，舍去）或t综上所述，存在时刻t1，t2，t34016，能够使得以c，e，q为顶点的ceq为等腰三角形7如图，已知rtabc中，c90°，ac8，bc6，点p以每秒1个单位的速度从a向c运动，同时点q以每秒

35、2个单位的速度从abc方向运动，它们到c点后都停止运动，设点p，q运动的时间为t秒（1）在运动过程中，求p，q两点间距离的最大值；（2）经过t秒的运动，求abc被直线pq扫过的面积s与时间t的函数关系式；（3）p，q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得pqc为等腰三角形？若存在，求出此时的t值；若不存在，请说明理由（2.24，结果保留一位小数）【解析】（1）如图1，过q作qeac于e，连接pq，c90°，qebc，abcaqe，aq2t，apt，c90°，ac8，bc6，ab10，pe，qe，pq2qe2+pe2，pqt，当q与b重合时，pq的值最大，当t5时，pq的最大

36、值3；（2）如图1，abc被直线pq扫过的面积saqp，当q在ab边上时，sapqet，（0t5）当q在bc边上时，abc被直线pq扫过的面积s四边形abqp，s四边形abqpsabcspqc×8×6（8t）（162t）t2+16t40，（5t8）；经过t秒的运动，abc被直线pq扫过的面积s与时间t的函数关系式是：s（3）存在当点q在ab边上时，如图2，连接cq，pq，由（1）知qe，ceacae8，pqt，cq2，当cqcp时，即：28t，解得；t，当pqcq时，即；t2，解得：t，t8（不合题意舍去），当pqpc时，即t8t，解得：t3.4；当点q在bc边上时，acb

37、90°，pqc是等腰直角三角形，cqcp，8t162t，t8，p，q，c重合，不合题意，综上所述：当t，t，t3.4时，pqc为等腰三角形8数学活动求重叠部分的面积问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，将两块全等的直角三角形纸片abc和def叠放在一起，其中acbe90°，bcde6，acfe8，顶点d与边ab的中点重合，de经过点c，df交ac于点c求重叠部分（dcg）的面积（1）独立思考：请解答老师提出的问题（2）合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将def绕点d旋转，使deab交ac于点h，df交ac于点g，如图2，求出重叠部分（dgh）的面积，请写出

38、解答过程（3）提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，将def绕点d旋转，再提出一个求重叠部分面积的问题“爱心”小组提出的问题是：如图3，将def绕点d旋转，de，df分别交ac于点m，n，使dmmn，求重叠部分（dmn）的面积任务：请解决“爱心”小组所提出的问题，直接写出dmn的面积是【解析】（1）【独立思考】acb90°，d是ab的中点，dcdadb，bdcb又abcfde，fdebfdedcb，dgbcagdacb90°，dgac又dcda，g是ac的中点，cgac×84，dgbc×63，sdgccgdg×4×36（2）【合

39、作交流】如下图所示：abcfde，b1c90°，edab，a+b90°，a+290°，b2，12，ghgda+290°，1+390°，a3，aggd，aggh，即点g为ah的中点在rtabc中，ab10，d是ab中点，adab5在adh与acb中，aa，adhacb90°，adhacb，即，解得dh，sdghsadh××dhad××5（3）【提出问题】解决“爱心”小组提出的问题如答图4，过点d作dkac于点k，则dkbc，又点d为ab中点，dkbc3dmmn，mndmdn，由（2）可知mdnb，

40、mndb，又dknc90°，dknacb，即，得kn设dmmnx，则mkx在rtdmk中，由勾股定理得：mk2+dk2md2，即：（x）2+32x2，解得x，sdmnmndk××39（2017乌鲁木齐）如图，抛物线yax2+bx+c（a0）与直线yx+1相交于a（1，0），b（4，m）两点，且抛物线经过点c（5，0）（1）求抛物线的解析式；（2）点p是抛物线上的一个动点（不与点a、点b重合），过点p作直线pdx轴于点d，交直线ab于点e当pe2ed时，求p点坐标；是否存在点p使bec为等腰三角形？若存在请直接写出点p的坐标；若不存在，请说明理由【解析】（1）点b（

41、4，m）在直线yx+1上，m4+15，b（4，5），把a、b、c三点坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为yx2+4x+5；（2）设p（x，x2+4x+5），则e（x，x+1），d（x，0），则pe|x2+4x+5（x+1）|x2+3x+4|，de|x+1|，pe2ed，|x2+3x+4|2|x+1|，当x2+3x+42（x+1）时，解得x1或x2，但当x1时，p与a重合不合题意，舍去，p（2，9）；当x2+3x+42（x+1）时，解得x1或x6，但当x1时，p与a重合不合题意，舍去，p（6，7）；综上可知p点坐标为（2，9）或（6，7）；设p（x，x2+4x+5），则e（x，x+1）

42、，且b（4，5），c（5，0），be|x4|，ce，bc，当bec为等腰三角形时，则有bece、bebc或cebc三种情况，当bece时，则|x4|，解得x，此时p点坐标为（，）；当bebc时，则|x4|，解得x4+或x4，此时p点坐标为（4+，48）或（4，48）；当cebc时，则，解得x0或x4，当x4时e点与b点重合，不合题意，舍去，此时p点坐标为（0，5）；综上可知存在满足条件的点p，其坐标为（，）或（4+，48）或（4，48）或（0，5）10（2017钦州模拟）如图，已知抛物线经过a（2，0），b（3，3）及原点o，顶点为c（1）求抛物线的函数解析式（2）设点d在抛物线上，点e在抛物

43、线的对称轴上，若四边形aode是平行四边形，求点d的坐标（3）联接bc交x轴于点fy轴上是否存在点p，使得poc与bof相似？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由【解析】（1）设抛物线的解析式为yax2+bx+c（a0），将点a（2，0），b（3，3），o（0，0），代入可得：，解得：，故抛物线函数解析式为：yx2+2x；（2）ao为平行四边形的一边，deao，deao，a（2，0），deao2，四边形aode是平行四边形，d在对称轴x1的右侧，d点横坐标为：1+21，代入抛物线解析式得y3，d的坐标为（1，3）；（3）在y轴上存在点p，使得poc与bof相似，理由如下：由yx2+2x

44、，顶点c的坐标为（1，1），tanbof1，bof45°，当点p在y轴的负半轴时，tancop1，cop45°，bofcop，设bc的解析式为ykx+b（k0），图象经过b（3，3），c（1，1），y2x3；令y0，则x1.5f（1.5，0），ob3，of1.5，oc，当pocfob时，则，即，op，p（0，）；当pocbof时，op4，p（0，4），当poc与bof相似时，点p的坐标为（0，）或（0，4）11（2019剑阁县模拟）如图，二次函数yax2+bx+2的图象与x轴相交于点a（1，0）、b（4，0），与y轴相交于点c（1）求该函数的表达式；（2）点p为该函数在第一象限内的图象上一点，过点p作pqbc，垂足为点q，连接pc求线段pq的最大值；若以点p、c、q为顶点的三角形与abc相似，求点p的坐标【解析】（1）抛物线解析式为ya