2017年北京市高考数学试卷理科真题详细解析

1、. .jz*2017年北京市高考数学试卷理科一、选择题 .每题 5 分15 分 假设集合 a=x| 2x1， b=x|x 1 或 x3， 那么 ab= ax| 2x1 bx| 2x3 cx| 1x1 d x|1 x32 5 分假设复数 1i a+i在复平面内对应的点在第二象限，那么实数a的取值范围是a ， 1 b ， 1c 1，+d 1，+3 5 分执行如下图的程序框图，输出的s值为a2 bcd4 5 分假设 x，y 满足，那么 x+2y 的最大值为a1 b3 c5 d95 5 分函数 fx=3xx，那么 fx a是奇函数，且在r 上是增函数b是偶函数，且在r上是增函数c是奇函数，且在r上是减

2、函数d是偶函数，且在r 上是减函数6 5 分设 ， 为非零向量，那么“存在负数，使得 = 是“? 0的. .jz*a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件7 5 分某四棱锥的三视图如下图，那么该四棱锥的最长棱的长度为a3b2 c2 d28 5 分根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限m 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数n 约为 1080，那么以下各数中与最接近的是参考数据： lg30.48 a1033 b1053c1073d1093二、填空题每题5 分9 5 分假设双曲线 x2=1 的离心率为，那么实数 m=10 5 分 假设等差数列 an和等比

3、数列 bn 满足 a1=b1=1， a4=b4=8， 那么=11 5 分在极坐标系中，点a 在圆 2 2 cos 4 sin +4=0 上，点 p 的坐标为1，0 ，那么 |ap| 的最小值为. .jz*12 5 分在平面直角坐标系xoy 中，角 与角 均以 ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称，假设 sin =，那么 cos =13 5 分能够说明“设a，b，c 是任意实数假设abc，那么 a+bc是假命题的一组整数a，b，c 的值依次为14 5 分三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如下图，其中ai的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点bi的横、纵坐标

4、分别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，31记 qi为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，那么q1，q2，q3中最大的是2记 pi为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，那么p1，p2，p3中最大的是三、解答题15 13 分在 abc 中， a=60， c=a1求 sinc的值；2假设 a=7，求 abc 的面积16 14分如图，在四棱锥pabcd 中，底面 abcd 为正方形，平面 pad. .jz*平面 abcd，点 m 在线段 pb 上，pd平面 mac，pa=pd=，ab=41求证： m 为 pb的中点；2求二面角 bpda 的大小；3求直线 mc

5、与平面 bdp 所成角的正弦值17 13分为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和 y的数据，并制成如图，其中“* 表示服药者，“+表示未服药者1从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于 60 的概率；2从图中 a，b，c，d 四人中随机选出两人，记 为选出的两人中指标x 的值大于 1.7的人数，求 的分布列和数学期望e；3试判断这 100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小只需写出结论18 14 分抛物线 c：y2=2px 过点 p1，1 过点 0，作直

6、线 l 与抛物线c 交于不同的两点 m，n，过点 m 作 x 轴的垂线分别与直线op、on 交于点 a，. .jz*b，其中 o 为原点1求抛物线 c 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；2求证： a 为线段 bm 的中点19 13 分函数 fx=excosx x1求曲线 y=fx在点 0，f0 处的切线方程；2求函数 fx在区间 0，上的最大值和最小值20 13 分设 an和bn是两个等差数列，记cn=maxb1a1n，b2a2n， bnannn=1，2，3， ，其中 maxx1，x2， xs表示 x1，x2， xs这 s 个数中最大的数1假设 an=n，bn=2n1，求 c1，c2，c3的值

7、，并证明 cn 是等差数列；2证明：或者对任意正数m，存在正整数 m，当 nm 时，m；或者存在正整数 m，使得 cm，cm+1，cm+2，是等差数列2017年北京市高考数学试卷理科参考答案与试题解析一、选择题 .每题 5 分15 分 假设集合 a=x| 2x1， b=x|x 1 或 x3， 那么 ab= ax| 2x1 bx| 2x3 cx| 1x1 d x|1 x3【分析】 根据中集合 a 和 b，结合集合交集的定义，可得答案【解答】 解：集合 a=x| 2x1，b=x|x 1或 x3，ab=x| 2x1. .jz*应选： a【点评】 此题考察的知识点集合的交集运算，难度不大，属于根底题2

8、 5 分假设复数 1i a+i在复平面内对应的点在第二象限，那么实数a的取值范围是a ， 1 b ， 1c 1，+d 1，+【分析】 复数 1i a+i=a+1+1ai 在复平面内对应的点在第二象限，可得，解得 a范围【解答】 解：复数 1i a+i=a+1+ 1ai 在复平面内对应的点在第二象限，解得 a1那么实数 a的取值范围是， 1 应选： b【点评】此题考察了复数的运算法那么、几何意义、不等式的解法，考察了推理能力与计算能力，属于根底题3 5 分执行如下图的程序框图，输出的s值为. .jz*a2 bcd【分析】由中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量s的值，模拟程序

9、的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】 解：当 k=0 时，满足进展循环的条件，执行完循环体后，k=1，s=2，当 k=1 时，满足进展循环的条件，执行完循环体后，k=2，s=，当 k=2 时，满足进展循环的条件，执行完循环体后，k=3，s=，当 k=3 时，不满足进展循环的条件，故输出结果为：，应选： c【点评】此题考察的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答4 5 分假设 x，y 满足，那么 x+2y 的最大值为a1 b3 c5 d9【分析】画出约束条件的可行域， 利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可. .jz*【解答】 解：x，

10、y 满足的可行域如图：由可行域可知目标函数z=x+2y 经过可行域的 a 时，取得最大值， 由，可得a3，3 ，目标函数的最大值为： 3+23=9应选： d【点评】此题考察线性规划的简单应用， 画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键5 5 分函数 fx=3xx，那么 fx a是奇函数，且在r 上是增函数b是偶函数，且在r上是增函数c是奇函数，且在r上是减函数d是偶函数，且在r 上是减函数【分析】 由得 fx=fx ，即函数 fx为奇函数，由函数y=3x为增函数，y=x为减函数，结合“增“减=“增可得答案【解答】 解：fx=3xx=3x3 x，fx=3 x3x=fx ，即函数 fx为奇函数，

11、. .jz*又由函数 y=3x为增函数， y=x为减函数，故函数 fx=3xx为增函数，应选： a【点评】此题考察的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性， 是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于根底题6 5 分设 ， 为非零向量，那么“存在负数，使得 = 是“? 0的a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件【分析】， 为非零向量，存在负数，使得 = ，那么向量， 共线且方向相反，可得? 0反之不成立，非零向量， 的夹角为钝角，满足? 0，而 = 不成立即可判断出结论【解答】 解： ， 为非零向量，存在负数，使得 = ，那么向量， 共线且方向相反，可得? 0反之

12、不成立，非零向量， 的夹角为钝角，满足? 0，而= 不成立 ， 为非零向量，那么“存在负数，使得 = 是 ? 0的充分不必要条件应选： a【点评】此题考察了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考察了推理能力与计算能力，属于根底题7 5 分某四棱锥的三视图如下图，那么该四棱锥的最长棱的长度为. .jz*a3b2 c2 d2【分析】 根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为pa，根据勾股定理求出即可【解答】 解：由三视图可得直观图，再四棱锥 pabcd 中，最长的棱为 pa，即 pa=2，应选： b【点评】 此题考察了三视图的问题，关键画出物体的直观图，属于根底题. .jz*

13、8 5 分根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限m 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数n 约为 1080，那么以下各数中与最接近的是参考数据： lg30.48 a1033 b1053c1073d1093【分析】 根据对数的性质： t=，可得： 3=10lg3100.48，代入 m 将 m 也化为 10为底的指数形式，进而可得结果【解答】 解：由题意： m3361，n1080，根据对数性质有： 3=10lg3100.48，m3361100.4836110173，=1093，应选： d【点评】 此题解题关键是将一个给定正数t 写成指数形式： t=，考察指数形式与对数形式的互化，属于简

14、单题二、填空题每题5 分9 5 分假设双曲线 x2=1 的离心率为，那么实数 m= 2 【分析】 利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可【解答】 解：双曲线 x2=1m0的离心率为，可得：，解得 m=2故答案为： 2. .jz*【点评】 此题考察双曲线的简单性质，考察计算能力10 5 分假设等差数列 an和等比数列 bn满足 a1=b1=1，a4=b4=8，那么= 1 【分析】利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得到结果【解答】 解：等差数列 an 和等比数列 bn满足 a1=b1=1，a4=b4=8，设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q可得： 8=1+3d，

15、d=3，a2=2；8=q3，解得 q=2，b2=2可得=1故答案为： 1【点评】 此题考察等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考察计算能力11 5 分在极坐标系中，点a 在圆 2 2 cos 4 sin +4=0 上，点 p 的坐标为1，0 ，那么 |ap| 的最小值为1 【分析】先将圆的极坐标方程化为标准方程，再运用数形结合的方法求出圆上的点到点 p 的距离的最小值【解答】 解：设圆 2 2 cos 4 sin +4=0 为圆 c，将圆 c 的极坐标方程化为：x2+y22x4y+4=0，再化为标准方程：x12+y22=1；. .jz*如图，当 a 在 cp与c 的交点 q 处时， |ap|

16、 最小为：|ap|min=|cp| rc=21=1，故答案为： 1【点评】 此题主要考察曲线的极坐标方程和圆外一点到圆上一点的距离的最值，难度不大12 5 分在平面直角坐标系xoy 中，角 与角 均以 ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称，假设 sin =，那么 cos = 【分析】 方法一：根据教的对称得到sin =sin =， cos = cos ，以及两角差的余弦公式即可求出方法二：分 在第一象限，或第二象限， 根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出【解答】解：方法一：角 与角 均以 ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称， sin =sin =， cos = cos

17、 ，cos =cos cos +sin sin =cos2 +sin2 =2sin2 1=1=方法二：sin = ，. .jz*当 在第一象限时，cos = ， 角的终边关于 y 轴对称，在第二象限时，sin =sin =， cos = cos =，cos =cos cos +sin sin = +=： sin = ，当 在第二象限时，cos =， 角的终边关于 y 轴对称，在第一象限时，sin =sin =， cos = cos = ，cos =cos cos +sin sin = +=综上所述 cos =，故答案为：【点评】此题考察了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系， 需要分类讨

18、论，属于根底题13 5 分能够说明“设a，b，c 是任意实数假设abc，那么 a+bc是假命题的一组整数a，b，c 的值依次为1，2，3 【分析】 设 a，b，c 是任意实数假设abc，那么 a+bc是假命题，那么假设 abc，那么 a+bc是真命题，举例即可，此题答案不唯一【解答】 解：设 a，b，c 是任意实数假设 abc，那么 a+bc是假命题，那么假设 abc，那么 a+bc是真命题，可设 a，b，c 的值依次 1，2，3， 答案不唯一，故答案为： 1，2，3. .jz*【点评】 此题考察了命题的真假，举例说明即可，属于根底题14 5 分三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如

19、下图，其中ai的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点bi的横、纵坐标分别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，31记 qi为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，那么q1，q2，q3中最大的是q12记 pi为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，那么p1，p2，p3中最大的是p2【分析】 1假设 qi为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，那么qi=ai的综坐标+bi的纵坐标；进而得到答案2假设 pi为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，那么pi为 aibi中点与原点连线的斜率；进而得到答案【解答】 解： 1假设 qi为第

20、i 名工人在这一天中加工的零件总数，q1=a1的纵坐标 +b1的纵坐标；q2=a2的纵坐标 +b2的纵坐标，q3=a3的纵坐标 +b3的纵坐标，. .jz*由中图象可得： q1，q2，q3中最大的是 q1，2假设 pi为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，那么 pi为 aibi中点与原点连线的斜率，故 p1，p2，p3中最大的是 p2故答案为： q1，p2【点评】 此题考察的知识点是函数的图象，分析出qi和 pi的几何意义，是解答的关键三、解答题15 13 分在 abc 中， a=60， c=a1求 sinc的值；2假设 a=7，求 abc 的面积【分析】 1根据正弦定理即可求出答

21、案，2根据同角的三角函数的关系求出cosc ，再根据两角和正弦公式求出sinb，根据面积公式计算即可【解答】 解： 1 a=60， c=a，由正弦定理可得 sinc=sina=，2a=7，那么 c=3，ca，由1可得 cosc=，sinb=sina+c=sinacosc+cosasinc=+=，s abc=acsinb=73=6. .jz*【点评】此题考察了正弦定理和两角和正弦公式和三角形的面积公式，属于根底题16 14分如图，在四棱锥pabcd 中，底面 abcd 为正方形，平面 pad平面 abcd，点 m 在线段 pb 上，pd平面 mac，pa=pd=，ab=41求证： m 为 pb的

22、中点；2求二面角 bpda 的大小；3求直线 mc 与平面 bdp 所成角的正弦值【分析】 1设 acbd=o ，那么 o 为 bd 的中点，连接 om，利用线面平行的性质证明 ompd，再由平行线截线段成比例可得m 为 pb的中点；2 取 ad 中点 g， 可得 pgad， 再由面面垂直的性质可得pg平面 abcd，那么 pgad，连接 og，那么 pgog，再证明 ogad 以 g 为坐标原点，分别以 gd、 go、 gp 所在直线为 x、 y、z轴距离空间直角坐标系， 求出平面 pbd与平面 pad 的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角bpda 的大小；3求出的坐标，由与平面

23、pbd 的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线 mc 与平面 bdp 所成角的正弦值【解答】 1证明：如图，设acbd=o ，abcd 为正方形， o 为 bd 的中点，连接 om，. .jz*pd平面 mac，pd? 平面 pbd，平面 pbd平面 amc=om ，pdom，那么，即 m 为 pb的中点；2解：取 ad 中点 g，pa=pd，pgad，平面 pad平面 abcd，且平面 pad平面 abcd=ad ，pg平面 abcd，那么 pgad，连接 og，那么 pgog，由 g 是 ad 的中点， o 是 ac 的中点，可得 ogdc，那么 ogad以 g 为坐标原点，分别以gd、g

24、o、gp 所在直线为 x、y、z 轴距离空间直角坐标系，由 pa=pd=，ab=4，得 d2，0，0 ，a2，0，0 ，p0，0， ，c2，4，0 ，b2，4，0 ，m1，2， ，设平面 pbd 的一个法向量为，那么由，得，取 z=，得取平面 pad 的一个法向量为cos =二面角 bpda 的大小为 60；3解：，平面 bdp 的一个法向量为 直 线mc与 平 面bdp所 成 角 的 正 弦 值 为 |cos |=|=|=. .jz*【点评】此题考察线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中档题17 13分为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药

25、，另一组不服药一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和 y的数据，并制成如图，其中“* 表示服药者，“+表示未服药者1从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于 60 的概率；2从图中 a，b，c，d 四人中随机选出两人，记 为选出的两人中指标x 的值大于 1.7的人数，求 的分布列和数学期望e；3试判断这 100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小只需写出结论【分析】 1由图求出在 50名服药患者中，有 15名患者指标 y 的值小于 60，由. .jz*此能求出从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率2由图知： a、c 两人指

26、标 x 的值大于 1.7，而 b、d 两人那么小于 1.7，可知在四人中随机选项出的2 人中指标 x 的值大于 1.7的人数 的可能取值为 0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和 e3由图知 100名患者中服药者指标y 数据的方差比未服药者指标y 数据的方差大【解答】解： 1由图知：在 50名服药患者中， 有 15名患者指标 y 的值小于 60，那么从服药的 50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率为：p=2由图知： a、c 两人指标 x 的值大于 1.7，而 b、d 两人那么小于 1.7，可知在四人中随机选项出的2 人中指标 x 的值大于 1.7的人数 的可能取值为

27、0，1，2，p =0=，p =1=，p =2=， 的分布列如下：012pe =13由图知 100名患者中服药者指标y 数据的方差比未服药者指标y 数据的方差大. .jz*【点评】此题考察概率的求法，考察离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等根底知识，考察推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考察数形结合思想、化归与转化思想，是中档题18 14 分抛物线 c：y2=2px 过点 p1，1 过点 0，作直线 l 与抛物线c 交于不同的两点 m，n，过点 m 作 x 轴的垂线分别与直线op、on 交于点 a，b，其中 o 为原点1求抛物线 c 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；2求证： a 为

28、线段 bm 的中点【分析】 1根据抛物线过点p1，1 代值求出 p，即可求出抛物线c 的方程，焦点坐标和准线方程；2设过点 0，的直线方程为 y=kx+，mx1，y1 ，nx2，y2 ，根据韦达定理得到 x1+x2=，x1x2=，根据中点的定义即可证明【解答】 解： 1y2=2px 过点 p1，1 ，1=2p，解得 p=，y2=x，焦点坐标为，0 ，准线为 x=，2证明：设过点 0，的直线方程为y=kx+，mx1，y1 ，nx2，y2 ，直线 op 为 y=x，直线 on 为：y=x，. .jz*由题意知 ax1，x1 ，bx1， ，由，可得 k2x2+k1x+=0，x1+x2=，x1x2=y

29、1+=kx1+=2kx1+=2kx1+=2kx1+ 1k?2x1=2x1，a 为线段 bm 的中点【点评】此题考察了抛物线的简单性质，以及直线和抛物线的关系， 灵活利用韦达定理和中点的定义，属于中档题19 13 分函数 fx=excosx x1求曲线 y=fx在点 0，f0 处的切线方程；2求函数 fx在区间 0，上的最大值和最小值【分析】 1求出 fx的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；2求出 fx的导数，再令 gx =f x ，求出 gx的导数，可得 g x. .jz*在区间 0，的单调性，即可得到fx的单调性，进而得到fx的最值【解答】解： 1函数 fx=exco

30、sxx 的导数为 f x=excosxsinx1，可得曲线 y=fx在点 0，f0 处的切线斜率为k=e0cos0sin01=0，切点为 0，e0cos00 ，即为 0，1 ，曲线 y=fx在点 0，f0 处的切线方程为y=1；2函数 fx=excosx x 的导数为 f x=excosxsinx1，令 gx=excosx sinx1，那么 gx的导数为 gx=excosx sinxsinxcosx=2ex?sinx ，当 x0，可得 gx=2ex?sinx 0，即有 gx在0，递减，可得 gxg0=0，那么 fx在0，递减，即有函数 fx在区间 0，上的最大值为 f0=e0cos00=1；最

31、小值为 f=ecos=【点评】此题考察导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考察化简整理的运算能力，正确求导和运用二次求导是解题的关键，属于中档题20 13 分设 an和bn是两个等差数列，记cn=maxb1a1n，b2a2n， bnannn=1，2，3， ，其中 maxx1，x2， xs表示 x1，x2， xs这 s 个数中最大的数1假设 an=n，bn=2n1，求 c1，c2，c3的值，并证明 cn 是等差数列；2证明：或者对任意正数m，存在正整数 m，当 nm 时，m；或者存在正整数 m，使得 cm，cm+1，cm+2，是等差数列. .jz*【分析】 1分别求得 a1=1，a2=2，

32、a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得 c1，c2，c3；由bknakb1na10，那么 b1na1bknak，那么 cn=b1na1=1n，cn+1cn=1 对? nn*均成立；2由 biain=b1+i1d1a1+i1d2n=b1a1n+i1 d2d1n ，分类讨论 d1=0，d10，d10 三种情况进展讨论根据等差数列的性质，即可求得使得 cm，cm+1，cm+2，是等差数列；设=an+b+对任意正整数 m，存在正整数 m，使得 nm，m，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数 m，存在正整数 m，使得当 nm 时，m【解答】 解： 1a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，当 n=1 时，c1=maxb1a1=max0=0 ，当 n=2 时，c2=maxb12a1，b22a2=max 1，1= 1，当 n=3 时，c3=maxb13a1，b23a2，b33a3=max 2，3，4= 2，下面证明：对 ? nn*，且 n2，都有 cn=b1na1，当 nn*，且 2kn 时，那么 bknak b1na1 ，=2k1nk1+n，=2k2nk1 ，=k1 2n ，由 k10，且 2n0，那么 bknak b1na10，那么 b1na