通信原理必修课程之其数学基础课程

1、通信原理通信原理第2章 数学基础主要内容及要求（以复习方式学习）：主要内容及要求（以复习方式学习）：1、掌握随机过程及数学特征的定义；、掌握随机过程及数学特征的定义；2、熟练掌握平稳随机过程定义、特点；、熟练掌握平稳随机过程定义、特点；3、掌握高斯过程的定义、性质；、掌握高斯过程的定义、性质；4、熟悉窄带随机过程的表达式及统计特性、熟悉窄带随机过程的表达式及统计特性5、熟悉白噪声和带限白噪声的特点；、熟悉白噪声和带限白噪声的特点；6、掌握平稳随机过程通过线性系统后特点。、掌握平稳随机过程通过线性系统后特点。机械工业出版社通信原理2几种常见的概率密度函数几种常见的概率密度函数（1）均匀分布）均匀

2、分布x)(xF00ababx)(xf1ab1(a)(b)概率密度函数概概率率分分布布函函数数bxaabxf 1)(概率密度函数为概率密度函数为axbxaabaxxxF 1 0 0)(概率分布函数为概率分布函数为机械工业出版社通信原理（2）高斯分布（高斯分布（Gauss）分布）分布 高斯分布（也称为正态分布）的概率密度函数为高斯分布（也称为正态分布）的概率密度函数为 2)(exp21)(22axxf其中为高斯随机变量的均值（数学期望），为高斯随机变量的方差。其中为高斯随机变量的均值（数学期望），为高斯随机变量的方差。 a2x)(xf0a21正正态态分分布布随随机机变变量量的的概概率率密密度度函函

3、数数x)(xf001xaax)(xf21( (a a) ) 不不变变( (b b) ) 不不变变图图3 3. .2 21x1xa 1x1221a机械工业出版社)2(21)exp(2.21 2)(exp21)(2222aberfcdzzdxaxbXPabb通信原理dyyxerfcx)exp(2)(2其中其中为误差补函数为误差补函数机械工业出版社通信原理（3）瑞利分布瑞利分布 窄带高斯噪声的包络是服从瑞利分布的，瑞利分布随机变量的概率密度函窄带高斯噪声的包络是服从瑞利分布的，瑞利分布随机变量的概率密度函数为数为 00 2exp)(222xxxxfx)(xf0e1瑞瑞利利分分布布随随机机变变量量的的

4、概概率率密密度度函函数数机械工业出版社通信原理（4）莱斯分布莱斯分布 正弦（或余弦）信号加上窄带高斯噪声的包络瞬时值服从莱斯分布。莱斯正弦（或余弦）信号加上窄带高斯噪声的包络瞬时值服从莱斯分布。莱斯分布随机变量的概率密度函数为分布随机变量的概率密度函数为 xxAxIxAxxf0 00 2)(exp)(202222式中为零阶贝塞尔函数，为正弦波的振幅。当时，莱斯分布式中为零阶贝塞尔函数，为正弦波的振幅。当时，莱斯分布退化为瑞利分布。退化为瑞利分布。 )(0 xIA0A机械工业出版社2.3 随机过程的基本概念随机过程的基本概念主要内容：主要内容：一、随机过程的定义一、随机过程的定义二、随机过程的概

5、率密度函数二、随机过程的概率密度函数三、随机过程的数字特征三、随机过程的数字特征通信原理机械工业出版社一、随机过程的定义一、随机过程的定义)2cos()(ftAtX.)2cos()()2cos()()2cos()(332211ftAtXftAtXftAtX当相位为随机变量时：当相位为随机变量时：随机过随机过程程随机过程定义为全体样本函数的集合。随机过程定义为全体样本函数的集合。通信原理机械工业出版社)2cos()(11tfAtX随机过程的一个重要特点：随机过程的一个重要特点：任一时刻的取值是一个随机变量。任一时刻的取值是一个随机变量。通信原理机械工业出版社二、随机过程概率密度函数二、随机过程概

6、率密度函数通信原理设设)(t表示一个随机过程，表示一个随机过程，)(1t是任一时刻的取值是任一时刻的取值它是一个随机变量，此随机变量的概率密度函数定义它是一个随机变量，此随机变量的概率密度函数定义为随机过程的一维概率密度函数，记为。为随机过程的一维概率密度函数，记为。)(t);(111txf随机过程任意两个不同时刻、的取值、是两个不同的随机随机过程任意两个不同时刻、的取值、是两个不同的随机变量，这两个随机变量之间的联合概率密度函数相应地定义为随机过程变量，这两个随机变量之间的联合概率密度函数相应地定义为随机过程的二维概率密度函数，二维概率密度函数记为。随机过程的的二维概率密度函数，二维概率密度

7、函数记为。随机过程的维概率密度函数的定义与此类似，记为维概率密度函数的定义与此类似，记为 )(tX1t2t)(1tX)(2tX)(tX),;,(21212ttxxfn),.,;,.,(2121nnntttxxxf三、随机过程的数字特征三、随机过程的数字特征1、均值、均值（数学期望或统计平均）（数学期望或统计平均）)();()(tadxtxxftE通信原理例有随机过程定义为例有随机过程定义为其中是个离散随机变量，等概地取两个值和。其中是个离散随机变量，等概地取两个值和。求：求：（1）随机过程在及时刻的数学期望和）随机过程在及时刻的数学期望和；（2）随机过程的数学期望。）随机过程的数学期望。)2c

8、os(2)(YttXY0Y2Y5 . 0t0 . 1t)5 . 0(a)0 . 1 (a)(ta机械工业出版社2、方差、方差)()();()()()(2222ttadxtxfxtatEtD补充作业：同上题，设随机变量补充作业：同上题，设随机变量Y在在02区间均匀分布。区间均匀分布。机械工业出版社3、协方差函数（自协方差函数）、协方差函数（自协方差函数）21212122211221121).;,()()()()()()(),(dxdxttxxftaxtaxtattatEttB4、相关函数、相关函数（自相关函数）（自相关函数）2121212212121).;,()()(),(dxdxttxxfxx

9、ttEttR协方差函数与自相关函数有关。协方差函数与自相关函数有关。通信原理机械工业出版社一、定义一、定义1、狭义平稳、狭义平稳通信原理2.4平稳随机过程平稳随机过程 如果随机过程的统计特性与时间的起点无关，即随机过程如果随机过程的统计特性与时间的起点无关，即随机过程 与与 有相同的统计特性，有相同的统计特性， 是任意的时移，这样的随机过是任意的时移，这样的随机过程称为狭义平稳随机过程。程称为狭义平稳随机过程。 )(tX)(tX有用结论：有用结论：（1）即平稳随机过程的数学期望不随时间变化，是一个常数。即平稳随机过程的数学期望不随时间变化，是一个常数。 atatatXEtXE)()()()(机

10、械工业出版社通信原理（2）即平稳随机过程的方差与时间无关，也是一个常数。即平稳随机过程的方差与时间无关，也是一个常数。 222)()()()(tttXDtXD（3）即平稳随机过程任意两个时刻所对应的随机变量之间的相关函即平稳随机过程任意两个时刻所对应的随机变量之间的相关函数只与时间间隔有关，与时间起点无关，只要时间间隔相同，数只与时间间隔有关，与时间起点无关，只要时间间隔相同，它们之间的相关程度是相等的。它们之间的相关程度是相等的。例：例：当时，。当时，。),()()()()(),(21212121ttRtXtXEtXtXEttR)()(21RttR4321tttt)()()()(4321tX

11、tXEtXtXE机械工业出版社2、广义平稳、广义平稳数学期望数学期望及方差与时间无关，及方差与时间无关，自相关函数自相关函数只与时间间只与时间间隔有关。即：隔有关。即：)(),()()(1122RttRtata结论：结论：狭义平稳的随机过程一定是广义平稳的狭义平稳的随机过程一定是广义平稳的通信原理机械工业出版社例例1：考察随相信号：考察随相信号 的平稳性。的平稳性。其中：其中：A、 是常数，相位是常数，相位 是在是在 区间上均匀区间上均匀分布的随机变量。分布的随机变量。)cos()(0tAts0),(例例2：设随机过程：设随机过程 可表示成可表示成 ，式中：式中： 是一个离散随机变量且是一个离

12、散随机变量且 ， 。试求此随机过程的均值和自相关。试求此随机过程的均值和自相关函数。函数。)(t)2cos(2)(tt2/1)0(P2/1)2/(P通信原理机械工业出版社0 21.sin.2sin21.cos.2Acos sin.2sincos.2Acos sin.2sincos.2cos)2cos()()(dtfAdtfEtfAEtftftfAEtfAEtXEtaccccccc)(2cos.2A)(2cos.2A )(2cos.2A21).222cos(.2A )(2cos)222cos(2A )2cos().2cos()()(),(221221221221212212121Rfttfttf

13、dtftfttftftfEtfAtfAEtXtXEttRcccccccccc机械工业出版社二、自相关函数的性质二、自相关函数的性质结论结论：用相关函数可求出平稳随机过程的主要数：用相关函数可求出平稳随机过程的主要数字特征。字特征。(2)()( RR偶函数偶函数222)()0(aStER随机过程的平均功率随机过程的平均功率(1)0()(RR(3)22)()(atER直流功率直流功率(4)2)()0( RR交流功率交流功率(5)通信原理机械工业出版社三、平稳随机过程的频谱特性三、平稳随机过程的频谱特性可以证明：平稳随机过程的功率谱密度函数与自相关可以证明：平稳随机过程的功率谱密度函数与自相关函数是

14、一对付氏变换。即：函数是一对付氏变换。即：deRfPj)()(defPRj)(21)(通信原理机械工业出版社通信原理例例4：求随机过程：求随机过程 的自相关函数的自相关函数和功率谱密度。其中：和功率谱密度。其中：A、 为常数，相位在为常数，相位在 均匀分布。均匀分布。)2cos()(0tfAts0),()2cos()()(tftAXtXcc)(tX例例5有如下所示的随机过程有如下所示的随机过程其中是一个零均值的平稳随机过程，自相关函数为，功率谱密度其中是一个零均值的平稳随机过程，自相关函数为，功率谱密度函数为。、是常数，相位是在区间上均匀分布的随函数为。、是常数，相位是在区间上均匀分布的随机变

15、量。与相互统计独立。机变量。与相互统计独立。 )(XR)( fPXAcf),()(tX（1）证明是广义平稳随机过程；证明是广义平稳随机过程； （2）求的功率谱密度函数。求的功率谱密度函数。 )(tXc)(tXc机械工业出版社)2cos()()(tftAXEtXEcc)2cos().(tfEtAXEc0)()(),(tXtXEttRccXC)224cos(2cos).()(2)22cos()().2cos()(2ccccccftffEtXtXEAftftAXtftAXE)(2cos)(22CXcXRfRA)()(4 )()(21)(2 2cos)(2)()(222cXcXccXcXXXffPff

16、PAfffffPAfRFARFfPcc解：解：机械工业出版社2.5 高斯随机过程高斯随机过程一、定义一、定义任意任意n维分布都服从正态分布的随机过程称为高斯过程。即：维分布都服从正态分布的随机过程称为高斯过程。即：njnkkkkjjjjknnnnnaxaxBBBtttxxxf112/ 1212/2121)(21exp.)2(1),.,;,.,(其中：其中：1.1.121221112nnnnbbbbbbB 归一化协方差归一化协方差矩阵行列式矩阵行列式通信原理机械工业出版社kjkkjjjkatatEb)()(归一化协方差函数归一化协方差函数（相关系数）（相关系数）jkB为为 的代数余因子。的代数余

17、因子。B三个重要概念：三个重要概念：1、若归一化协方差函数为、若归一化协方差函数为0，则称两随机变量不相关，则称两随机变量不相关2、若相关函数为、若相关函数为0，则称两随机变量正交，则称两随机变量正交3、若联合概率密度函数等于各随机变量概率密度函数之积，、若联合概率密度函数等于各随机变量概率密度函数之积，称两随机变量是独立的。称两随机变量是独立的。通信原理机械工业出版社二、高斯随机过程的重要性质二、高斯随机过程的重要性质1、n维分布由各随机变量的均值、方差和两两之间的维分布由各随机变量的均值、方差和两两之间的 归一化协方差函数决定。归一化协方差函数决定。2、若高斯过程是广义平稳的，则也是狭义平

18、稳的；、若高斯过程是广义平稳的，则也是狭义平稳的；3、若高斯随机过程中的随机变量之间互不相关，则、若高斯随机过程中的随机变量之间互不相关，则 它们也是统计独立的。（不相关，则独立）它们也是统计独立的。（不相关，则独立）4、若干高斯过程之和仍为高斯过程；、若干高斯过程之和仍为高斯过程；5、高斯过程通过线性系统之后仍为高斯过程。、高斯过程通过线性系统之后仍为高斯过程。通信原理机械工业出版社2.6 通信系统中几种特殊的噪声通信系统中几种特殊的噪声 1、窄带高斯噪声、窄带高斯噪声2、白噪声、白噪声3、带限白噪声、带限白噪声通信原理机械工业出版社fcfcfB)( fPin0图图3 3. .9 9窄窄带带

19、高高斯斯噪噪声声的的功功率率谱谱和和时时间间波波形形t)(tni（a a) ) 窄窄带带高高斯斯噪噪声声的的功功率率谱谱（b b) ) 窄窄带带高高斯斯噪噪声声的的时时间间波波形形一、窄带高斯噪声（窄带高斯随机过程）一、窄带高斯噪声（窄带高斯随机过程）表达式：表达式：)(cos)()(tttRtncittnttntncsccisin)(cos)()( 和和 是随机过程是随机过程 的随机包络和随机相位，的随机包络和随机相位， 和和 称为称为 的同相分量和正交分量，它们都是低通型过程。的同相分量和正交分量，它们都是低通型过程。)(tR)(t)(tni)(tnc)(tns)(tni如果如果 是一个零

20、均值、方差为是一个零均值、方差为 的平稳高斯窄带过程，的平稳高斯窄带过程， 、 、 、 的统计特性如何？的统计特性如何？问问题题)(tni2)(tR)(t)(tnc)(tns通信原理结论：结论：1、同相分量、同相分量 和正交分量和正交分量 均值为均值为0，方差为，方差为 的平稳的平稳高斯过程。且任一时刻上得到的同相分量和正交分量互不相关高斯过程。且任一时刻上得到的同相分量和正交分量互不相关或统计独立。即：或统计独立。即：)(tnc)(tns20)()()(tnEtnEtnEsci222scinnn0)0()0(csscnnnnRR通信原理机械工业出版社2、包络、包络 的一维分布是瑞利的，相位的

21、一维分布是瑞利的，相位 的一维的一维分布是均匀的，且包络分布是均匀的，且包络 和相位和相位 统计独立。即：统计独立。即：)(tR)(t)(t)(tR2exp)(222iinnRRRf21)(f)()(),(fRfRf通信原理二、白噪声（理想的宽带随机过程）二、白噪声（理想的宽带随机过程）1、定义、定义功率谱密度在整个频域内都均匀分布的噪声，称为白噪声。功率谱密度在整个频域内都均匀分布的噪声，称为白噪声。fnfPn 2)(0通信原理)(22)(020ndfenRfjn机械工业出版社ff20n0n)( fPn)( fPn(a)双边功率谱表示双边功率谱表示(b b)单单边功率谱表示边功率谱表示)(n

22、R)(20n(c c)白噪声的自相关函数白噪声的自相关函数图3.5白噪声的功率谱密度及自相关函数图3.5白噪声的功率谱密度及自相关函数有用的结论有用的结论：白噪声在任何两个不同时刻上取值均白噪声在任何两个不同时刻上取值均不相关。如果白噪声是高斯的，则任何两个不同时不相关。如果白噪声是高斯的，则任何两个不同时刻上的取值统计独立刻上的取值统计独立。通信原理2、理想低通白噪声、理想低通白噪声具有如下功率谱密度函数的噪声，称为低通白噪声。具有如下功率谱密度函数的噪声，称为低通白噪声。BfBnfPn2)(0自相关函数：自相关函数：)2(2)(020BBSndfenRafjBB通信原理通信原理f20n)(

23、 fPn(a)白白噪噪声声的的功功率率谱谱f)( fH(b b)低低通通滤滤波波器器的的传传输输特特性性0BB01f)( fPY(c c)低低通通白白噪噪声声的的功功率率谱谱BB02/0n图图3 3. .6 6 白白噪噪声声通通过过低低通通滤滤波波器器)(YRB21B22B21B220Bn0图图3 3. .7 7 低低通通型型白白噪噪声声的的自自相相关关函函数数B23B23结论结论：间隔：间隔 得到的两个随机变量是不相关得到的两个随机变量是不相关的。的。)2/( Bk3、理想带通型白噪声、理想带通型白噪声具在如下功率密度函数的噪声，称为理想带通型白噪声。具在如下功率密度函数的噪声，称为理想带通

24、型白噪声。BffBfnfPcc2)(0练习：求此噪声的自相关函数。练习：求此噪声的自相关函数。通信原理dfendfendfefPRfjBfBffjBfBffjYYcccc22/2/022/2/0222)()(fBBSna2cos)(0机械工业出版社通信原理f20n)( fPn(a)白白噪噪声声的的功功率率谱谱f)( fH(b b)带带通通滤滤波波器器的的传传输输特特性性0Bcf01f)( fPY(c c)带带通通白白噪噪声声的的功功率率谱谱02/0ncfcfBcf机械工业出版社2.6 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声)(cos)(sin)(cos)(sin)(sincos)(cos)(

25、)cos()(tttzttzttzttnAttnAtntAtrccscccsccc其中：其中：)()(arctan)()()()(22tztzttztztzcssc通信原理结论：结论：)()(21exp)(202222AzIAzzzf莱斯分布莱斯分布正弦波加窄带高斯噪声的包络与相位分布正弦波加窄带高斯噪声的包络与相位分布通信原理2.7 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统输出随机过程为：输出随机过程为：dththttii)()()()()(00结论：结论：1、若输入随机过程是平稳的，则输出随机过程也是平稳的。、若输入随机过程是平稳的，则输出随机过程也是平稳的。)0()()()()()(00

26、0HadtEhdthEtEiii均值为常数均值为常数通信原理机械工业出版社自相关函数只自相关函数只与间隔有关与间隔有关)()()()()()(),(00oioooRddRhhttEttR 2、输出随机过程的功率谱与系统传递函数和输入功率谱有关。、输出随机过程的功率谱与系统传递函数和输入功率谱有关。)()()(2fPfHfPio3、若输入随机过程是高斯的，则输出过程也是高斯的。、若输入随机过程是高斯的，则输出过程也是高斯的。通信原理机械工业出版社例例5：试求功率谱密度为：试求功率谱密度为 的白噪声通过理想低通滤波器后的的白噪声通过理想低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数及噪声功率。功率谱密度、自

27、相关函数及噪声功率。2/0n理相低通滤波器的幅频特性为：理相低通滤波器的幅频特性为：fH1fH(f)解：解：功率谱密度函数为：功率谱密度函数为：HioffnfHfPfP2)()()(02自相关函数为：自相关函数为：)2()()(02HaHfiofSfndfefPR功率：功率：HofnRdffPP0)0()(通信原理机械工业出版社补充习题补充习题1、设、设 是一个随机过程，若是一个随机过程，若 和和 是彼此独立且具有均值为是彼此独立且具有均值为0、方差为、方差为 的正态随的正态随机变量，试求机变量，试求（1） 、 （2） 的一维概率密度函数的一维概率密度函数 （3） txtxtz0201sinc

28、os)(1x2x2)(tzE)(2tzE)(tz)(zf),(21ttR机械工业出版社补充习题补充习题)()()(tytxtz2、求乘积、求乘积 的自相关函数。已知的自相关函数。已知 和和 是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关函数分是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关函数分别为别为 、 。3、若随机过程、若随机过程 ，其中，其中， 是广义是广义平稳随机过程，且自相关函数平稳随机过程，且自相关函数 为：为：)(tx)(ty)(xR)(yR)cos()()(0ttmtz)(tm)(mR其它0101011)(mR 是服从均匀分布的随机变量，它与是服从均匀分布的随机变量，它与 彼此统计独立。（彼此统计独立。（1）证明证明 是广义平稳的；（是广义平稳的；（2）绘出自相关函数）绘出自相关函数 的波形；的波形；（3）求功率谱密度）求功率谱密度 及功率及功率S。)(tz)(tm)