高中数学 第1章导数的运算素材 苏教版选修22

1、导数及其运算精析一、知识网络二、知识点精析1平均变化率一般地，函数在区间上的平均变化率为2平均速度在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度3瞬时速度一般地，我们计算运动物体位移的平均变化率，如果当无限趋近于0时，无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在时的瞬时速度说明：（1）趋近于是指间隔越来越短，能越过任意小的时间间隔，但始终不为零（2）这里研究的是两个变量比值变化的性质与状态，尽管在变化中趋近于，但它们的比值却趋近一个确定的常数（3）求运动物体的瞬时速度的步骤：设物体做非匀速直线运动的规律为求时间改变量，位置改变量；求平均速度；求瞬时速度：当无限趋近于时，趋近的值4瞬时加速度

2、一般地，我们计算运动物体速度的平均变化率，如果当无限趋近于时，无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在时的瞬时加速度5导数设函数在区间上有定义，若无限趋近于时，比值无限趋近于一个常数（也就是说平均变化率与某个常数的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），则称函数在处可导，并称该常数a为函数在点处的导数，记作导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率说明：（1）函数在处可导，是指当无限趋近于0时，无限趋近于某一个常数如果不趋近于某一个常数，就说函数在点处不可导，或说无导数（备注：“无限趋近于”可用符号“”表示，即“当无限趋近于时，无限趋近于一个常数a”与“”是等价的，所以教材中的定义形式可等

3、同于上面的形式）（2）是自变量x在处的改变量，可正、可负，但（3）由导数的定义知，求函数在点处的导数的步骤：求函数值的增量；求平均变化率；取趋近值，得导数为当趋近于时，趋近的数值可简记为：一差、二比、三趋近（4）由导数的几何意义可得求曲线切线斜率的步骤：求函数值的增量；求割线的斜率；取趋近值，得导数；若趋近值存在，则切线的斜率6导函数若对于区间内任一点都可导，则在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为函数的导函数，记作，也简称为的导数说明：函数在一点处的导数是一个具体的数，而导函数是一个函数7求导公式（1）（为常数），（2）（为常数），（3）（为常数），（4）

4、（，且），（5）（，且），（6），（7），（8），（9）说明：要注意以下几组记忆时很容易混淆的公式的区别与联系：与，与，（，且）与对于以上这几组函数的导数的记忆，应从公式的结构特征等几个方面找出差异，以便加深对它们的理解和记忆8导数的四则运算求导法则（1）函数和（差）的求导法则设是可导的，则说明：该法则可推广到任意有限个可导函数的和（或差）的求导，即说明：要注意公式的结构形式：说明：注意公式的形式，特别是等式右边的结构顺序（2）简单复合函数的求导法则 一般地，我们有：若，则，即即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积三、学习中应注意的几点1“函数在点处的导数”、“导函数”、“导数”三

5、者之间的区别与联系：导函数（导数）是一个特殊的函数，首先定义在点处可导，且在处有唯一的导数，然后再定义函数在开区间内每一个值都可导，所以说函数的导函数是对某一个区间内任意一点而言的函数的导函数与在点处的导数不是同一个概念，函数在点处的导数是导函数在点处的导函数值，一般是先求出函数的导函数，再计算在这点处的导函数值导函数也简称为导数2要熟记基本初等函数导数公式表，为今后的应用打下坚实的基础，特别对幂函数求导时，要注意将根式、分式转化为指数式，能更方便地应用公式高考资源网小心别忽视导数的引进无疑为中学数学注入了新的活力，但同时由于概念不清而致误的情形也时常发生 本文对几类常见错误进行剖析

6、，以期引起大家的注意 1 忽视导数定义中与的对应关系例1已知函数，求 错解一：， 错解二：， 正解：， 评注：在导数定义中增量形式是多种多样的，但不论选择哪一种形式，相应地也必须选择对应的形式，即深刻理解定义，牢固掌握概念形式： 2 忽视导数的几何意义例2已知曲线，过点作曲线的切线，求切线的方程 错解：由导数的几何意义知，所以曲线的切线方程为 正解：设切点坐标为，则切线斜率为，切线的方程为，又点在切线上，所以有，解得 所以，所求切线的方程为 评注：导数的几何意义是曲线上在该点处的切线的斜率，因此，要注意此点是不是在曲线上 3 忽视求的顺序例3求函数在的导数 错解：， 正解：，函数在x的导数为 评注：求函数在点处的导数，应先求函数的导函数，再将代入导函数，求出导数值，顺序不能颠倒 4 忽视切点在曲线上的隐含条件例4已知抛物线在点处的切线为，则a=_，b=_ 错解：，则有，方程与重合，即，化简，得 到此，少一条件，问题不可解 正解：，则有