高考数学一轮复习函数yAsinωxφ的图象及三角函数模型的简单应用名师首选学案新人教A版

1、学案 19 函数yAsin( x)的图象及三角函数模型的简单应用导学目标： 1. 了解函数yAsin( x) 的物理意义； 能画出yAsin( x) 的图象，了解参数A， 对函数图象变化的影响 .2. 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题自主梳理1用五点法画yAsin( x) 一个周期内的简图用五点法画yAsin( x) 一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示x xyAsin( x )0A 0A 0 2. 图象变换：函数yAsin( x ) (A0，0) 的图象可由函数ysin x的图象作如下变换得到：(1) 相位变换：ysin xy sin(x

2、 ) ，把y sin x图象上所有的点向_( 0)或向 _( 0)平行移动 _个单位(2) 周期变换：ysin(x) ysin( x ) ，把ysin(x) 图象上各点的横坐标 _(0 1) 到原来的 _倍( 纵坐标不变 ) (3) 振幅变换：y sin( x) yAsin( x) ，把ysin( x) 图 象上各点的纵坐标 _(A1)或_(0A0， 0)，x( ， ) 表示一个振动量时，则_叫做振幅，T_叫做周期，f_叫做频率，_叫做相位， _叫做初相函数yAcos( x) 的最小正周期为_yAtan( x) 的最小正 周期为_自我检测1要得到函数ysin2x4的图象，可以把函数y sin

3、2x的图象向 _平移_个单位2已知函数f(x) sinx4 (xR，0) 的最小正周期为. 将yf(x)的图象向左平移 | | 个单位长度，所得图象关于y轴对称，则 | | 的最小值为 _3将函数y sin x的图象上所有的点向右平行移动10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2 倍( 纵坐标不变 ) ，所得图象的函数解析式是_4弹簧振子的振动是简谐运动，在振动过程中，位移s与时间t之间的关系式为s10sin(12t4) ，t0 ， ) ，则弹簧振子振动的周期为_，频率为 _，振幅为 _，相位是 _，初相是 _5一半径为10 的水轮，水轮的圆心到水面的距离为7，已知水轮每分钟旋转4 圈

4、，水轮上点P到水面距离y与时间x(s) 满足函数关系式yAsin( x) 7(A0， 0)，则A_，_. 探究点一三角函数的图象及变换例 1 已知函数y2sin2x3. (1) 求它的振幅、周期、初相；(2) 用“五点 法”作出它在一个周期内的图象；(3) 说明y2sin2x3的图象可由ysin x的图象经过怎样的变换而得到变式迁移 1 设f(x) 1sin(2x6) ，xR. (1) 画出f(x) 在 2，2上的图象；(2) 求函数的单调区间；(3) 如何由ysin x的图象变换得到f(x) 的图象？探究点二求yAsin( x) 的解析式例 2 已知函数f(x) Asin( x) (A0，0

5、，| |0，0，| |2) 的图象与y轴的交点为 (0,1) ，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2) 和(x02，2) 求f(x) 的解析式及x0的值；探究点三三角函数模型的简单应用例 3 已知海湾内海浪的高度y( 米) 是时间t(0t24，单位：小时) 的函数，记作yf(t) 下表是某日各时刻记录的浪高数据：t 03691215182124 y 1.51.00.51.01.51.00.50.991.5 经长期观测，yf(t) 的曲线可近似地看成是函数yAcos tb. (1) 根据以上数据，求函数yAcos tb的最小正周期T，振幅A及函数表达式；(2) 依据规定

6、， 当海浪高度高于1 米时才对冲浪爱好者开放，请依据 (1) 的结论， 判断一天内的上午800 至晚上 2000 之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？变式迁移3 交流电的电压E( 单位：伏 ) 与时间t( 单位：秒 ) 的关系可用E2203sin100t6表示，求：(1) 开始时的电压；(2) 最大电压值重复出现一次的时间间隔；(3) 电压的最大值和第一次取得最大值时的时间数形结合思想例(14 分) 设关于 的方程3cos sin a0 在区间 (0,2 ) 内有相异的两个实根 、. (1) 求实数a的取值范围；(2) 求 的值【答题模板】解(1) 原方程可化为sin( 3) a2，作出函数y

7、sin(x3)(x(0,2 ) 的图象由图知，方程在(0,2 ) 内有相异实根， 的充要条件是1a21a232.4分 即 2a3或3a2. 7 分 (2) 由图知：当3a2，即a2( 1，32) 时，直线ya2与三角函数ysin(x3) 的图象交于C、D两点，它们中点的横坐标为76， 276，73.10分 当 2a0， 0，| |0，0) 的图象如图所示，f(2) 23，则f(0)_. 5若函数yAsin( x) m(A0，0，| |0，0) 的部分图象如图所示，则f(1) f(2) f(2011) 的值为 _8若函数f(x) 2cos( x) m对任意t都有f(t4) f( t) ，且f(8

8、) 1，则实数m的值等于 _二、解答题 ( 共 42 分) 9(14 分 )已知函数f(x) Asin( x)(A0，0，| |0，00)的最小 正周期为，(1) 求 的值；(2) 将函数yf(x) 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数yg(x) 的图象，求函数yg(x) 在区间0，16上的最小值答案自主梳理1.02 3220 232 2 2.(1)左右| | (2) 伸长缩短1(3) 伸长缩短A3.A21Tx 2| | |自我检测1右82.83.ysin12x10441410 12t445.10 215课堂活动区例 1 解题导引(1) 作三角函数图象的基本方法就是五点法

9、，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两边伸展一下，以示整个定义域上的图象；(2) 变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用 x x来确定平移单位解(1)y2sin2x3的振幅A2，周期T22 ，初相 3. (2) 令X2x3，则y2sin2x32sin X. 列表：x 612371256X 02322ysin X 01010 y2sin2x302020 描点连线，得图象如图所示：(3) 方法一把ysin x的图象上所有的点向左平移3个单位，得到ysinx3的图象，再把ysinx3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍( 纵坐标不变 ) ，得到ysin2x3

10、的图象，最后把ysin2x3上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍 (横坐标不变 ) ， 即可得到y2sin2x3的图象方法二将ysin x的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的12倍 ( 纵坐标不变 ) ，得到ysin 2x的图象；再将ysin 2x的图象向左平移6个单位，得到ysin 2x6sin2x3的图象；再将ysin2x3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2 倍，得到y 2sin2x3的图象变式迁移 1 解(1)( 五点法 ) 设X2x6，则x12X12，令X 0，2， ，32，2，于是五点分别为12，1 ，3，2 ，712，1 ，56，0 ，1312，1 ，描点连线即可得

11、图象，如图(2) 由22k2x622k，kZ，得单调增区间为6k，k3，kZ. 由22k2x6322k，kZ，得单调减区间为3k，k56，kZ. (3) 把ysin x的图象向右平移6个单位； 再把横坐标缩短到原来的12倍( 纵坐标不变 ) ；最后把所得图象向上平移1 个单位即得ysin2x61 的图象例 2 解题导引确定yAsin( x ) b的解析式的步骤：(1) 求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则AMm2，bMm2.(2) 求 . 确定函数的周期T，则 2T.(3) 求参数 是本题的关键，由特殊点求 时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点解由图象可知A 2，T8. 2T284

12、. 方法一由图象过点 (1,2) ，得 2sin41 2，sin4 1. |2， 4，f(x) 2sin4x4. 方法二点 (1,2) 对应“五点”中的第二个点41 2， 4，f(x) 2sin4x4. 变式迁移 2 解由题意可得：A2，T22 ，即24， 12，f(x) 2sin12x ，f(0) 2sin 1，由| |0，0) 中参数的确定有如下结论：Aymaxymin2；kymaxymin2； 2T； 由特殊点确定解(1) 由表中数据，知周期T12，2T2126，由t0，y1.5 ，得Ab1.5 ；由t3，y1.0 ，得b1.0 ，A0.5 ，b1，y12cos 6t1. (2) 由题知

13、，当y1 时才可对冲浪者开放，12cos 6t 11，cos 6t0，2k26t2k 2，kZ，即 12k3t12k3，kZ. 0t24，故可令中的k分别为 0,1,2 ，得 0t3，或 9t15，或 21t24.在规定时间上午800 至晚上 2000 之间，有6 个小时的时间可供冲浪者运动，即上午 900 至下午 300.变式迁移 3 解(1)t0 时，E2203sin 61103( 伏)(2)T21000.02( 秒) (3) 当 100t62，t1300秒时，第一次取得最大值，电压的最大值为2203伏课后练习区1ysin12x62.ysin(2x3) 3. 左5124.235.y2sin

14、4x62 6.2 7.2(21) 8 3 或 1 9解(1) 由图象知A2，T28， 4. (3分) 又图象经过点(1,0) ，2sin( 4) 0. | |2， 4. f(x)2sin(4x4) (6 分) (2)yf(x) f(x2) 2sin(4x4) 2sin(4x24) 22sin(4x2) 22cos4x. (10 分) x 6，23 ，324x6. 当4x6，即x23时，yf(x) f(x 2) 取得最大值6；当4x ，即x4时，yf(x)f(x2)取得最小值22. (14 分) 10解根据f(x) 是 R上的偶函数，图象过点M(0,2) ，可得f( x) f(x) 且A2，则有 2sin( x) 2sin( x ) ，即 sin xcos 0，cos 0，即 k2 (k Z) 而0 ，2. (5 分 ) 再由f(x) 2sin( x2) 2cos x