初一数学.秋.直升班.教师版.第14讲角度的动态问题

1、第十四讲角度的动态问题模块一：钟表问题基础数据做法整个钟面为 360 度，上面有 12 个大格，每个大格为30 度； 60个小格，每个小格为6 度；整个分针速度： 每分钟走一小格， 每分钟走 6度，1小时转 360法一：画图法时针速度：每分钟走小格，每分钟走 0.5度， 1小时转 30法二：方程法注意：相邻两次重合之间，一次平角，两次直角模块二：角度的旋转解题三大步骤1设未知数，表示所有小角.2固定图形，寻找角度关系，建立关系式.3求解 .模块一钟表问题例 1（1）9 点20 分，钟表上时针与分针所成的钝角是_度（ 2）某时刻， 钟表上的时针和分针所成的夹角是A8点 30 分 B9 点 30分

2、，那么这一时刻可能是（C10点 30分D1 点 30分）（ 1） 160；（ 2） B【教师备课提示】通过这道题给大家讲解下画图的方法，对应到某时刻时钟表时针和分针之间的夹角的度数或者倒过来，已知时针和分针之间的夹角度数，求对应的某时刻例 2（ 1）小明出门吃饭时时间为10 点多，时针刚好和分针重合，回来时2 点多，时针与分针又刚好重合，出门时间和回家时间分别为几点几分？（ 2）4 点到 5 点之间，时针和分针成直角的时间为_（ 1）设出门的时间为10 点x 分，回家的时间是2 点y 分.则由题意得，x. x，解得xy. y，解得y出门时间为10 点分，回家时间为（ 2）设时间为4 点 x 分

3、，时针在分针前面时，由题意得，2 点 x. x分.，解得x时针在分针后面时，由题意得，x. x，解得x在 4 点分或者 4 点分时，时针与分针成直角故答案为4点分或 4点分【教师备课提示】通过这道题给同学们讲解下方程的方法，而在相邻两次重合之间的话，有一次平角，两次直角模块二角度的旋转例 3如图， AOB为直角，AOC 为锐角，且 OM 平分BOC ， ON 平分AOC （ 1）如果AOC，求MON 的度数（ 2）如果AOC 为任意一个锐角，你能求出MON 的度数吗？若能，请求出来，若不能，请说明理由BM（ 1）；OAN（ 2）能，设 AOMx ，则BOMx，COMBOMx ，C AONCON

4、AOCx ，MONAOMAON.【教师备课提示】 通过这道题给同学们讲解下设小角，进行求解，设小角是可以解决问题的，而且同时遇到这种问题的时候，设小角给我们提供了解题的思路例 4已知： O 为直线 AB 上的一点，射线OA 表示正北方向，射线OC 在北偏东 m 的方向，射线 OE 在南偏东 n 的方向，射线OF 平分AOE ，且mn（ 1）如图 4-1，COE_，COF 和BOE 之间的数量关系为_ （ 2）若将COE 绕点 O 旋转至图 4-2 的位置，射线OF 仍然平分AOE 时，试问（ 1）中 COF 和 BOE 之间的数量关系是否发生变化？若不发生变化，请你加以证明，若发生变化，请你说

5、明理由（ 3）若将COE 绕点 O 旋转至图 4-3的位置，射线OF 仍然平分AOE 时，则COFBOE_ F北AAACFECFE西东OOOECBBB南图 4-1图 4-2图 4-3（ 1），BOECOF（ 2）不发生变化证明如下：设AOCx ，则AOEx ， BOEx ，AOFAOEx ，COFAOCAOFx ， BOECOF .（ 3）（一样的设小角，同样可以得到结论）.例 5（石室联中） 已知AOB，COE，OF 平分 AOE ，（ 1）如图 5-1，若COF，则BOE_；若 COF n ，则 BOE 与 BOE的数量关系为 _ （ 2）当射线 OE 绕点 O 逆时针旋转到如图5-2 的

6、位置是，（ 1）中BOE 与COF 的数量关系是否仍然成立？请说明理由（ 3）在（ 2）的条件下， 如图 5-3，在BOE的内部是否存在一条射线OD ，使得BOD为直角， 且 DOFDOE .若存在， 请求出 COF 的度数；若不存在， 请说明理由CFFEEDFAEAAOB COB COB图 5-1图 5-2图 5-3（ 1） 28，BOECOF（ 2）仍然成立，设AOF 为 x，则EOFAOFx ,COFx ， BOEx ， BOECOF（ 3）设DOE x ，则由题DOFDOEx ，EOFx ， AOFx ，AODx ，COFx由题意得，x，解得 x，COF例 6如图 6-1，射线 OC、

7、OD 在AOB的内部，且AOB150 ， COD 30，射线 OM、ON 分别平分AOD 、BOC ，（ 1）设NOD 为 x，COM 为 y，完成下表，并求MON 的大小，并说明理由角NOCDOMBONAOMMON度数（ 2）如图6-2，若AOC15 ，将 COD 绕点 O 以每秒 m 的速度逆时针旋转10 秒钟，此时AOM :BON7:11 ，如图 6-3 所示，求 m 的值NDCNDNDCMBMBMBCAOAOAO图 6-1图 6-2图 6-3（ 1） x， y， x， y， x y由题意得，xy，解得 xy，MON x y（ 2）由题意得，AOMAOD(m)(m)BONBOC(m)(m

8、)AOM(m)，解得 m. BON(m)例 7如图 7-1，两个形状、大小完全相同的含有30 、 60 的三角板如图放置，PA、PB 与直线 MN 重合，且三角板PAC，三角板PBD 均可以绕点P 逆时针旋转（ 1）试说明：DPC；（ 2）若三角板PAC 的边 PA 从 PN 处开始绕点P 逆时针旋转一定角度到图7-2， PF 平分APD ， PE 平分CPD ，求EPF ；（ 3）如图 7-3，若三角板 PAC 的边 PA 从 PN 处开始绕点 P 逆时针旋转， 转速为 3 /秒，同时三角板 PBD 的边 PB 从 PM 处开始绕点 P 逆时针旋转， 转速为 2 /秒，在两个三角板旋转过程中

9、（PC 转到 PM 重合时，两三角板都停止转动），问CPD 的值是否发生BPN变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由.EFCCCDDADAPNMM BPA NM BPNB图 7-1图 7-2图 7-3（ 1）DPCCPADPB ， CPA， DPB，DPC；（ 2）设CPEDPE x ，CPFy ，则APFDPFxy ，QCPA， yx y， xy，EPFx y（ 3） CPD 的值是定值 .设运动时间为 t 秒，BPN1°当 PD 在 PM 上方时，则BPMt ，BPNt ， DPMt ， APNtCPDt ，CPDtBPNt2°当 PD 转到在 PM 下方时，则B

10、PM tBPNt ， DPMt， APNtCPDt ，CPDt，BPNt是定值复习巩固模块一钟表问题演练 1（ 1）6 点 20 分，钟表上时针与分针所成的钝角是_度（ 2）在上午10 时 30 分到 11 点 30 分之间，时针与分针成直角的时刻是_（ 1） 70；（ 2）设 10 点 30 分以后，过x 分钟，时针与分钟的夹角为，x. xxx. xx综上，时间为10点分或 11点模块二角度的旋转演练 2已知AOB 是一个直角，作射线（ 1）如图 2-1，当 BOC角 COE度数（ 2）如图 2-2，当射线OC 在若变化，请说明理由；若不变求A DCOC，再分别作 AOC 和 BOC 的平分

11、线 OD、 OE 时，请完成下表； AOC AOD DOB DOEAOB内绕点 O 旋转时，DOE 的大小是否发生变化，DOE 的度数ADCEEOBOB图 2-1图 2-2（ 1）35 ，20 ，10 ，80 ，45（ 2） DOE 的大小不变等于 45DOEDOCCOECOBAOCAOB演练 3已知， O 是直线 AB 上的一点，COD 是直角， OE 平分 BOC （ 1）在图 3-1 中，若AOC，直接写出DOE 的度数（用含的代数式表示） ；（ 2）将图 3-1 中的DOC 绕顶点 O 顺时针旋转至图3-2 的位置探究AOC 和 DOE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；在A

12、OC 的内部有一条射线OF，满足：AOCAOFBOE AOF ，试确定 AOF 与 DOE 的度数之间的关系，说明理由CEECDAOBAOBD图 3-1图 3-2（ 1）DOE（ 2）设COEEOBx 则AOCx ， DOEx ，AOCDOE设COEEOBx AOFy 则由题意可得：xyxy 即 yxQ AOFy， DOEx ，AOFDOE演练 4已知：如图， OB、 OC 分别为定角AOD 内的两条动射线D（ 1）当 OB、 OC 运动到如图的位置时，AOCBOD，CAOBCOD，求AOD 的度数；B（ 2）在（ 1）的条件下，射线OM 、 ON 分别为AOB 、 COD 的平分线，当COB

13、 绕着点 O 旋转时，下列结论： AOMDON OA的值不变；MON 的度数不变可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值（ 1）AOCAOCAODBOD BOD BOC BOCAOBCOD，AOB，BOCAOBCODBOCCOD，（ 2）正确，MON OM 、ON分别为AOB 、COD 的平分线CONBOM(AOBCOD )MONCONBOMBOC演练 5（七初期末）如图5-1，点O为直线AB上一点，过点O 作射线OC，使AOC : BOC: ，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一边 OM 在射线 OB上，另一边 ON 在直线 AB 的下方（ ）将图 5-1 中的三角板绕点O 按逆时针方向旋转至图5-2 的位置，使得ON 落在射线 OB 上，此时三角板旋转的角度为_度；（ ）继续将图5-2 中的三角板绕点O 按逆时针方向旋转至图5-3 的位置， 使得 ON 在AOC 的内部 .试探究 AOM 与NOC 之间满足什么等量关系，并说明理由；（ 3）在上述直角三角板从图5