初中数学竞赛辅导讲义1

1、初中数学竞赛辅导讲义（初三）第一讲分式的运算 知识点击 1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。 例题选讲 例 1化简1+1123x 22+x 27x 12xx5x 6解：原式 =1+1+11)( x( x 2)( x3)3)( x4)( x2)( x=1-1+1111x 2-+x 3-x 1x 2x 3x 4=3(x1)( x4)例2 已知x y z =x y z =x yz ，且 xyz0，求分式 (xy)( y z)( z x

2、) 的值。zyxxyz1解：易知： x y =x zy z = xykz(1)=则 xzky( 2)（1）+（ 2）+（ 3）得：( -2)(x+y+z)=0 =2 或 x+y+z=0zyxyzkx(3)若 =2 则原式 = k 3= 8若 + + =0，则原式 = k 3 =-1例 3设x，求x 2的值。2=1x4m2 x2xmx 11解：显然 X0 ，由已知 x2mx1 =1 ，则 x +1= + 1 x4m2 x 21 = 2 +1- 2 = (x +1 ) 2 -2 2xxx2x2x=( +1) 2 -2- 2 = 2 -1原式 =12m1例 4已知多项式3x 3 +ax 2 +3x

3、+1能被 x 2 +1 整除，求的值。解：23xa232X1 3xax3x13 x3O3 xax 21ax 2a1a1- =0 =1例 5：设为正整数，求证1+1+ +1 11 31 5(2n 1)(2n 1)2证：左边 = 1（ 1 -1 +1-1+ +1-1）23352n12n13=1 （1-1）22n1 n 为正整数，1 12n1 1-1 1故左边12n12 小结归纳 1、部分分式的通用公式：1= 1（ 1-1）x( xk)kxxk2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法，其优点在于设连比值为K，将连等式化为若干个等式，把各字母用4同一字母的解析式表示，从而给解题带来方便。

4、3、整体代换及倒数法是分式的的求值中常用的方法，应熟练掌握。 巩固练习 1、若分式 2m2 的值是正整数，则整数 m=。m 21a2a3a4=a1 a3a4=a1a2a4=a1 a2a3= 2、若a1a2a3a4则 k=。3、已知 a 2 -3b 2 = 2ab .(aa2b. 0， b 0), 则=ab54、已知 a、 b、c 是有理数，且ab= 1 ，bc=1 ， ca = 1 ，则abc=。ab3bc4ca5abbcca5、若 1-1 = 2006 ，则x xy y=。xy2x 6019xy2 y6、实数 a、 b 满足 ab=1，设 A =1+1， B=a+b+1 ，则 A、 B 的关

5、系1a1b1a1b为。7、当、为何值时，多项式x43x3 3x2 ax b 能被除数 x 2 3x 2 整除？8 、计算2007 152007212007=。520077 20079、已知x 2x 3=ABC3x 2)( x 3)+(x 2X 1X2X3， 求 A、 B、 C的值。610、若对于3 以外的一切实数X，等式mn8x均成立，则 mn =-=x 2x3x 3911、已知 a=b=c，则 abc=。bcaabc第二讲分式方程及应用 知识点击 1、 解分式方程的基本思路是去分母化分式方程为整式方程；2、 解分式的方程的常用方法有：换元法、整体法、通分法等；3、 分式方程广泛应用于生活实际

6、中，要注意未知数的值既要是原方程的根，又要与实际意义相符。7 例题选讲 2518xyxy例 1解方程组91066xyyx分析：令112m5n18x y=m,=n , 则10n66x y9m1m6x2可得：6易求：1n5y3例 2解方程 4x67x5x84x30x2x1x6x7解：原方程可化为1111x 2x1x7x68两边分别通分：11，易求： = 4( x 2)( x 1)( x 7)( x 6)例 3当为何值时，关于x 的方程2mxx1 的解为正数？xx 2x 1x2x 0解：解方程可得： x= 1m ，需x1可得 1 且 m -3 。2x2例 4设库池中有待处理的污水a 吨，从城区流入库

7、池的污水按每小时b 吨的固定流量增加， 若同时开动 2 台机组需 30 小时处理完污水，同时启动 4 台机组需 10 小时处理完污水，若要求在5 小时内将污水处理完毕，那么至少要同时开动多少台机组？解：设 1 台机组每小时处理污水y 吨，要在5 小时内处理完污水，至少同时开动x 台机组，则：9a30b230 ya30y a 5ba10b410 y7可得Xa5b5xyby5y例 5111求证对任意自然数n，有 1232n2 22证明：当n=1 时， 1 2 显然成立。当 1 时，（ -1 ） 2所以1111n2n(n 1)n 1n故：1111 1111112232n2(1 )()()223n 1

8、 n21 2n10 点评归纳 1、 当某个代数式在一个问题中多次反复出现时，我们可以把这个代数式当作一个整体去替换，使问题简化；2、 假分式构成的分式方程一般先分离整数，然后等式两边分别通分可解。3、 解分式方程要注意验根，在求分式方程中待定字母的值时往入容易忽略这一点。 巩固练习 1、某同学用一架不等臂天平称药品，第一次将左盘放入50g 砝码，右盘放药品使天平平衡，第二次将右盘放入50g 砝码，左盘放药品使天平平衡，则两次称得药品总质量（）A、等于 100gB、大于 100gC、小于 100gD、都有可能2、用大小两部抽水机给麦田浇水，先用两部抽水机一起抽水2 小时，再用小抽水机单独抽水1

9、小时即可浇完，已知单独用小抽1水机所用时间是大抽水机单独抽水所需时间的1倍，求两部抽水机单独浇完这块麦田各需多少小时？2113、解方程 x37x 2x 30 = 2x311x 236x 45x 2x132x27x204、解方程11112x 10( x 1)( x 2)( x 2）（ x 3)(x 9)( x 10)55、某工厂将总价2000 元的甲种原料与总价4800 元的乙种原料混合后，其平均价格比原甲种原煤料每斤少3 元，比原乙种原料每斤多 1 元，问混合后的单价。6、自然数 m、 n 是两个不同质数，且m+n+mn的最小值为 P，则 m2n2=p 27、已知 f(xx37x 2m有因式

10、2x3 ，则 =) 218、求yx2 x 1 的最大值。12第三讲一元二次方程的解法 知识点击 1、 一元二次方程的常规解法有：直接开平方、配方法、因式分解及求根公式法。2、 对于复杂的一元二次方程往往要借助换元法、和差构造法等。3、 含有字母系数的一元二次方程一般要分类型讨论。4、 设而不求是研究一元二次方程公共解的基本方法。 例题选讲 例 1解方程 x 2x 1x 2113x21x 2x 116解：令 x 22x1y ，则 y1=13, 解得 y12， y23x1y163213即 x2x 12或 x2x 13 ，解得 x1 1, x2 ,33 15x213x2122例 2解方程325 8

11、-2=1xx3x 5x 1解：（ 3x25x 8 +3x 25x 1 ）（ 3x25x 8 -3x25x 1 ） =73x 25x8 +3x25x1 =7 又3258 -2x3x 5x 1=1 x +：3258 =4xx易知： X2 =1X82 =3例 3：已知 m是方程 X 2 -2007X+1=0的一个不为 O的根14求 2 -2006m+2007 的值m 21解：为方程的非零根，2 -2007 +1=0可得2 =2007 -1， + 1 =2007， 2 +1=2007m原式 =2007 -1-200620071 += + -1=2007-1=20062007 mm例 4、设、为实数，那

12、么a 2 +ab+b 2 - - 2b的最小值为多少？解：原式： =a 2 +（ b-1 ） a+（ b 2 -2b ）=(a+b1）2 +3(b-1 ） 2 -124当 a=o b=1 时，最小值为 -1例 5：解方程2 （ x 2 -x+1 ） - （ x 2 -1 ） =（ 2 -1 ）15解：原方程整理为：（-1 ） 2 - （ 2 2 -1 ） +（ +1） =0 - （ m + 1 ） （ -1 ） - =0 x= +1 或（ -1） =1） 当 0， 1时， x1= m1 ， x2=mmm 12） =0， = 03） =1 时 =2例 6：方程（ 2007） 2 -2006 &#

13、215; 2008X-1=0 的较大根为，方程 2006x 2 -2007X+1=0 的较小根为 , 求 - 的值解 : 方程可化为 (2007 2 X+1)(X-1)=0X=-1X 2=1 X 2 X m=12007 21方程可化为(2006X-1)(X-1)=0161X=1 X1 X21X1 =-2 =20062006n - m =1-1=- 200520062006 点评归纳 1、 有的方程某部分重复出现，或经过变形后产生重复出现的式子，可通过换元使方程简化而便于求解。2、 含有两个无理根式且可化为一元二次方程的方程，若两个无理式的有理化因式与它的乘积等于一个常数，这时通常可用平方差公式

14、构造两个无理式的和与它们的差，从而加减消去一个根式，可使方程简化并求解。3、 一元一次方程的根是满足方程的未知数的值，由此得到的等式是许多代数式求值的依据，要灵活运用。 巩固练习 1、 解方程： 2x 2 + 2 -3X- 3 =x2x2、解方程：X7X5+=X3 2X4 1173、解方程： x 2 -|2X-1|-4=4、三个二次方程a x 2 +bx+c=0， b x 2 + +=0， c x 2 + + =0有公共根，求证+ +=05、 已知 a、 b、 c 均为实数，且满足a22a1 +| +1|+( +2)2 =0试求方程a x 2 + - =0 的解6、 求证方程（- ） x 2

15、+（ - ） x + - =0（ a b）有一个根为1。7、设方程 x2+px+q=的两根为 X 、 X ，且 I1=x1+ X2I=x2+x212122I n = x 1n + x n2 则当 n 3 时，求 I n +PIn-1 +qI n-2 +的值。8、证明：不论X 为何实数，多项式2x4 - 4 x2 - 1 的值总大于x4-2x 2-4 的值。189、已知 a 2 -4a+b 2 - b + 65 =0，则 a 2 -4b =21610、已知 m、 n 为有理数，方程25 -2 ，求 m+n的值。x +mx+n=0有一个根为11、已知 2 = +5， 2 = +5，求5+ 5 的值

16、 .12、二次方程a（ x+1）（ x+2） +b（ x+2）（x+3） +c（ x+3）（x+1） =13、解关于x 的方程（ -1 ） x2 + 2 x+ +3=0第四讲根的判别式及根与系数的关系 知识点击 、设一元二次方程ax 2 +bx+c=0 （a 0）的两根为X1、 X 2，则 ax 2 +bx+c = a （ X- X 1）（ X- X 2） = ax 2 - （ X1+ X 2） X+X1X219 X 1+ X 2= -bX1 X 2= c这两个式子即为一元二次方程aa根与系数的关系。要注意，方程有两个实数根是两根关系式存在的前提，即通常要考虑0 、 0 这两个前提条件。2、

17、一元二次方程根的判别式源自求根公式，常记作=b 2 -4ac ，使用的前提是方程为一元二次方程，即二次项系数a 0，它是解决一元二次方程整数解的工具。3、 使用根的判别式及根与系数的关系时，常常涉及到完全平方数、整数性质、因式分解、因数分解等重要知识与方法。 例题选讲 例 1：已知一直角三角形三边分别为a、 b、c， B=90°，那么关于X 的方程 a（X2 -1 ） -2CX+b（ X2 +1） =0 的根的情况如何？解：方程整理为： （ a+b）X 2 -2CX+b-a=0 =4（ C2 + a 2 -b 2 ） B=90° C2 + a 2 = b 220 =0 ，原

18、方程有两个相等实根例 2：求所有正实数a，使得方程X 2 -aX+4a=0 仅有正整数根。xya解：设方程的两个正整数根为X，y（ X y）则xy4aX -4 （ +） =0（ -4 ）（ -4 ） =16x44 + =16y4这时 x=y=8 a=4x42y48x41y416这时这时x 6y 12x 5y20a= + =18a=+ =25例 3：已知 12 60，且一元二次方程X2 -2 （ +1） + 2 =0，两个整数根，求整数，并求这两个整数根。21 X=+1±2m1 为整数 2+1 必为完全平方数 12 60， 25 2 +1 121 2 +1 为奇数 2 +1=49 或

19、2 +1=81则 1=24 时， X1=32， X2=18 2=40 时， X1=50， X2=32例 4：设 a、 b、c 是互不相等的非零实数，求证三个方程，aX2 +2bx+c=0bX2 +2cx+a=0C X 2 +2ax+b=0 不可能都有两个相等的实数根。证明（一）：假设三个方程都有两个相等的实数根。14b 24ac0(1)24c24ab0( 2)34a24bc0(3)22（ 1） +（ 2） +（3）： 2a 2 +2b 2 +2c 2 -2ab-2bc-2ca=0( - ) 2 +( - ) 2 +( - ) 2 =0有 = = , 这与已知条件矛盾所以三个方程不可能都有两个相

20、等的实数根.证明（二） : 1+ 2+ 3=2( + ) 2+( - ) 2+( - ) 2 a、 b、 c 为全相等 1+ 2+ 3 0123中至少有一个大于0 + +即至少有一个方程有两个不相等的实数根。例 5：已知、 是方程 X2-7X+8=0 的两根，且不解方程，利用根与系数的关系求2 + 32 的值。23分析：由+B=72=8 直接求2 +3B2 的值无法下手 , 这时 , 我们常用对偶式 2 +3 2 来构造和差求解 : + =7 2=82+2=（+） 2-2=72-2 8=33（-） 2=（+） 2-4=72 -4 8=17又-=17令 M=2 +32, 构造 M的对偶式 N=

21、2 +32 M+N=( 2 +2 ) +3(2+ B 2)=100 34M-N=(2 - 2)+3(2-2)=-8517 424(+ )÷2得M= 点评归纳 40385 1781 运用一元二次方程根的判别式时，常与配方法结合使用，这时应考虑非负数的性质。4、 运用根与系数的关系求整数解时，因式分解法及分离整数法是求不定方程整数解的常用方法。5、 利用对偶式构造和差法是代数式求值时重要的变形技巧，应灵活运用。 巩固练习 1、 方程 X2 +PX+q=0的两个根都是正整数，且P+q=1996，试问方程较大根与较小根之比为多少？2、已知一元二次方程a X 2 +bx+c=0（ ac 0）有

22、两个异号实根和，且| | ，那么二次方程C X 2 +（ - ） ax-a=0 的根的情况是（）A、没有实根B、两根同正C、两根同负D、两根异号3、关于 X 的二次方程2 X 2 -5X-a=0 的两根之比，X1 ： X 2 =2:325则 X1-X2=4、 若方程 X 2 -4 （ -1 ） X+3 2 - 4K 0，对于任意有理数都有有理根，求实数K的值。5、求方程X 2 2 +的实数解。6、若对于任何实数 a，关于 X 的方程， X2-2ax-a+2b=0 都有实根则实数 b 的取值范围是（）7、若是不为0 的整数，当二次方程 X2- （ -1 ）X+1=0 有有理根时，则 =（）、方程

23、 |X 2-5X|= 有且只有相异二实根，求a 的取值范围9、关于 X 的方程 X 2 +2（ -3 ） +（ -2 ）至少有一个整数解且a 是整数，求 a 的值。10、已知 X1、 X2 是关于 X 的方程 4 X 2 - （3 -5） -6 2 0 的两个实根，且 | x1 |=3 试求的值 .x2211、设方程 4X 2 -2X-3=0 的两个根为、，求4 2 的值 .12、若、都是实数，且0， abc=1 则、中必有一个大于3 .22613、设 a2+2a-1=0 b4221 则（ab2b21）2007=-2b -1=0且 aba14、已知、为整数，且，方程3 X2 +3（ +） X+

24、4 =0 的两根、满足关系式（+1）+（+1）=（+1）（ +1），试求所有的整数对（ a、 b）15、关于 X 的方程， X2 +（ a-6 ） X+ =0 的两根均为整数，求a.16、已知 X1、 X 2 是方程 4aX2 -4ax+ +4=0 的两个实根（ 1）是否能适当选取 a 的值，使是（ X1-2X 2）（X2-2X 1）的值为5 ？（ 2）求使 x22+ x124=的值为整数的整数 a 的值x1x217、求证：对于任意一矩形A，总存在矩形 B，使得矩形 A 和矩形 B 的周长之比和面积之比都等于常数K（其中 K 1）第五讲：一元二次方程的应用27 知识点击 1、 一元二次方程的应

25、用问题，诸如：数字问题、面积问题、增长率问题、方案设计问题等，综合运用一元二次方程的有关知识，是各类考试与竞赛的重要考点，须认真领会。2、 形如 AX2 +Bxy+cy 2 +DX+Ey+F的各项式叫做关于X、 y 的二元二次多项式，常见的分解方法有双十字相乘法、待定前数法、公式法等。公式法是先将原式整理成关于X（或 y）的二次三项式，再运用求根公式。3、 非一次不定方程主要掌握两种情况：二次三项式左边分解成两个因式的乘积，右边分解因数求整数解；分式不定方程，采用整数离析法求整数解。4、 可化为一元二次方程的分式方程要注意方程的特点进行有效的变形，像X+ 1 = + 1 这类特殊类型的方程，显

26、然1 时， X1=xa与 X2= 1 就是它的两个根。无理方程通过配方、换元、分解转化为有理方程来解。a 例题选讲 例 1：m为何值时，二次三项式x2+2x-2+m(x 2-2x+1) 是完全平方式？28解：原式 =（） X2 （）（）令 =0，即 4(1- ) 2 -4( ) （）解得 =3例 2：分解因式 X 2 xy-2y 2 - y-6解： X2 xy-2y 2 =（）（ 2y）设原式 =（） （ 2y）X 2 xy-2y 2 =（）（）mm1m2比较对应项系数2mn7m3mn629原式（）（）例 3：在矩形地 ABCD中央修建一矩形 EFGH花圃，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四

27、周的道路宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度？解：设道路宽X， AB=， AD=，（），则（ -2X ）（ -2X ） = 1 ， 8x2 -4（） ab=02解得 1 （）±a2b 24若 1 （）a 2b2，则1 （2 ） b442这不可能，舍去这个根。则 1 （）a 2b24量法是：用绳量出 AB+BC（即之长） ，从中减法 BD（即a2b2 ）；将剩下的绳长对折两次即得到道路宽度X。30例 4：为何值时，关于X 的分式方程x1 + x m +2=0 只有一个根？x1xm2解：原方程整理为2x - （ 1- ）（）当 =(1- ) 2=0 时

28、, =1, 方程有两个等根经验符合题意（）当 1 时,X 1=0X2= m1 有一个为增根2代入公分母 (X+1)(X- ) 中可得 =0式 =-1所以 =-1 或 =0 或 =1 时，原方程只有一个实根。例 5：解方程 4 x =1274 x解：令 = 4 x则 =127y· y 2 -7 +12=0 y 1= 3 y 2=4代入 y= 4 x 得：x1= 81 x2=25631例 6： xy 表示一个十位数字为X，个位数字为y 的两位整数，且x1 y 满足条件X 2 - y 2 =5X，则此两位整数是多少？解：由 X2 - y 2 =5X 得 y 2 =x（ -5 ）、均为整数，

29、x9经验证，只有当=时， =0，两位数为50 =9 时， =6，两位数为96例 7：方程 X 2 +PX+ =0 的两根均为正整数，且+ =28，求方程的两根。解：设 X2 +PX+ =0 的两根为 x1,x 2 . 则 1 + 2 =-P 1 + 2 =q代入 =28 中（ 1 -1 ）（ 2 -1 ） =29x11 1x12x11 29x1302、 30由得由得所以原方程两根为x21 29x230x21 2x2232例 8：求方程 2xy 2x2 3x-5y+11=0 的整数解。解：原方程可化为2x 23x 112x56（）为整数6必为整数2x52x5x1,2,3,4又 2x-5 为奇数

30、, 2x-5 为 6 的奇数约数 , 即 2x-5= ±1、± 3 代入（ 1）：，y4,9, 2,3例 9：某商店将进货值每个10 元的商品按每个18 元售出时，每天可卖出60 个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品售价每提1 元，则日销售量就减少5 个，若将这种商品售价直降低1 元，则日销量就增加10 个，为了获得最大的利润，作为商店经理应把此商品售价定为每个多少元？解：设此商品每个售价为X 元，每日利润为y 元。(1) 当 X 18 时， 60-5 （ -18 ）（ -10 ） =-5( -20) 2+500即商品售价每个 20 元时 , 每日最大利润为

31、 500 元 .(2) 当 X 18 时， 60+10（ 18- ）（ -10） =-10( -17) 2+49033即商品售价每个17 元时 , 每日最在利润为490 元。综上所述，该商品应定价为每个20 元，使每日利润最大。 点评归纳 1、 应用一元二次方程解决实际问题时，应注意0 及判别式的取值情况。2、 利用一元二次方程建立数学模型时，配方法常用来求最值，求根公式法虽然运算量较大，但在求整数解、有理根时常用，仍不失为一种行之有效的好方法。3、 待定系数法、 换元法、 因式分解法、 整数离析法等方法渗透在一元二次方程的应用问题中，要区分它们的适用范围与条件，灵活运用。 巩固练习 1、 分

32、解因式2X 2 -5xy-3y2 + 11y-62、 在长为 a 的线段 AB上有一点C，且 AC是 AB 和 BC的比例中项，求AC的长。当K 为何值时，二次三项式X2 -25-K （ X+5）是关于 X 的完全平方式。4、甲、乙两地分别在河的上、下游，每天各有一班船准点以匀速从两地对开，通常它们总在11 时相遇。一天乙地的船因故晚发了 40 分，结果两船在11 时 15 分相遇，乙知甲地开出的船在静水中的速度为44 千米 / 时，而乙地开出的船在静水中的速度为水流速度V 千米 / 时的平方，求V.345 、若正数 X 的整数部分的平方等于X 与它小数部分的积，则X-1=x6、关 X 的方程

33、（ X+ a ） 2-5X-5a =-6有两个根相等 , 求 a. 若方程x+ x2 +2xa =0 只有一个实数根，求a 的值及原方程xxx2xx( x2)的根。（ =- 7 时， X= 1 ； =-4 时， =1=-8 时， =-1227、 关于 X 的方程 X2+KX+4-K=0 有 2 个整数根，求 K 的值 .8、 求方程 X2+xy+ y 2-3x-3y+3=0 的整数解。10、求为何整数时，二次三项式2 2 -1 的值可以分解为两个连续整数之积。11. 求方程 1 1 1 的正整数解x y 2第六讲与圆有关的位置关系35 知识点击 1、 垂径定理是圆的轴对称性的产物，在证明线段相

34、等，弧相等，角相等几方面及圆中的有关计算问题，应用极为广泛，类似于直角三角形中的勾股定理般重要，应熟练掌握。2、 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系分别由点与圆心的距离，圆心与直线的距离，圆心距与圆的半径之间的数量关系确定。3、 三角形的“四心” ：重心三条中线的交点，各条中线被重心分面2:1 两部分；外心三边中垂线的交点，外接圆的圆心，垂心三条高的交点；内心内角平分线的交点，内切圆的圆心。4、 四点共圆：若四边形ABCD的一组对角互补，则A、B、 C、 D四点共圆。5、 相交弦定理，切割线定理与相似的三角形结合使用是解决和圆有关的比例线段的重要途径。 例题选讲 例 1： ABC中， A=72

35、°， O截 ABC的三条边所得的三条弦都相等，求BOC解：过 O作三条相等弦的弦心距OD、 DE、 OF，则DODOEFOBD=OBE=XOBRt BDORt BEOOBE同理 OCE= OCF= 2X+2y+A=180° +=54° BOC 180° -( + )=126 °例 2、四边形 AB（ 1）内接于 O， AC BD，垂是为 E，BAD：BCD=3:1 DF 交 AC于点 G，且 AF·AB=AG36· AE，BE=2， ED=3（）求证 AFG DFB（）求四边形ABCD的面积。G解（ 1） AF · AB=AG· AEAGAFAFG AEBABAEAEB90BAEGAFAFG90AFDFBAD : BCD3 :1BAD45AFG901BAD902ACBD2DGE190DEBAGFDGEA