一个重要的向量等式的应用_第1页
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文档简介

1、駆弱中国学木期刊网.q i kanwang .nel一个重要的向量等式的应用一般地,若向量 a、b、c 满足 a+b+c=O,则称 a、b、c 的和为零向量，这个等式有着特定的物理背景和几何背景，且在高中数学中 应用广泛，出现频率较高，本文结合自己的教学经验拟介绍以a+b+c=O 为背景的一类数学问题，供读者朋友参考。这个向量等式源于物理模型， 如力的合成， fl、 f2、 f3 的合成 f1+f2+f3=0(n)。(如图 1)命题 1 : abc 中，若=a,= b,= c,贝 U a+b+c=O。(如图 2)这是沙尔定理：简形式。应用 1:证明余弦定理。证明：构造三角形巧妙处理，令= a,

2、= b,= c。则 a+b=-c,故( a+b) 2= (-c ) 2,展开得:|a|2+|b|2+2|a|b|cos(n-b)=|c|2，化解得：ac2=ab2+bc2-2ab bc cosb，即证。应用 2:处理可转化为解三角形的向量问题。若向量 a、b、c 满足 a+b+c=O, |a|=1 , |b|=2 , |c|=V2,求 ab+bc+ca 的值。解：构造三角形巧妙处理，令=a,= b,= c。贝 S由余弦定理得所以命题 2：已知 o abc 的重心，若=a,= b,= c,贝卩 a+b+c=O。证明：(如图 3)延长 ao 交 bc 于点 m 由 o 为 论文发表专家一J中国学木

3、期刊网%ww .q i kanwangPnei解：设 a, b, c 三点的横坐标分别为 x1, x2, x3,由知：点 f （1,0）为厶abc 的重心，故 x1+x2+x3=3,根据抛物线 的定义知:命题 3:若 oabc 的所在平面内一点，则故等式等价于证明 sin / boc e1 + sin / aoc e2+sin /aob e3=0。（*）应用 4:求一类三角形面积比问题。（08 南通一模）若 o abc 内部一点，且贝卩 s aob : s boc=。法 1:（如图 5）作厶 a o b,重心为 o,取向量连结 ab, bc, ca。则由命题 2 得：由命题 4 得：s0=sa o b =sAb oc =sAa oc。所以 s aob : s boc=。这一解法虽道出命题的生长点，返朴归真，但并非是最快最简的 方法。法 2 也许只要几秒钟就实现问题的正确解答，如下：法 2:由命题 4 得，s aob : s boc=4 ： 1。命题 4：若 o abc 的外心，则证明：（如图 6）由命题 3 得：又 o abc 的外心，所以即应用 5:求一类三角形内角大小问题。若点 p abc 的的外心，且，则/ c=。

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