线性代数与线性规划网上教学

1、.艿蒀蚆羃膅葿螈膈肁薈袀羁莀薇薀膇芆薇蚂羀膂薆袅膅膈薅羇肈蒇薄蚇袁莂薃蝿肆芈薂袁衿膄蚁薁肄肀蚁蚃袇荿蚀螅肃芅虿羈袆芁蚈蚇膁膇蚇螀羄蒆蚆袂腿莂蚅羄羂芈螅蚄膈膄莁螆羀肀莀衿膆蒈荿蚈罿莄荿螁芄芀莈袃肇膆莇羅袀蒅莆蚅肅莁莅螇袈芇蒄衿肄膃蒃蕿袆聿蒃螁肂蒇蒂袄羅莃蒁羆膀艿蒀蚆羃膅葿螈膈肁薈袀羁莀薇薀膇芆薇蚂羀膂薆袅膅膈薅羇肈蒇薄蚇袁莂薃蝿肆芈薂袁衿膄蚁薁肄肀蚁蚃袇荿蚀螅肃芅虿羈袆芁蚈蚇膁膇蚇螀羄蒆蚆袂腿莂蚅羄羂芈螅蚄膈膄莁螆羀肀莀衿膆蒈荿蚈罿莄荿螁芄芀莈袃肇膆莇羅袀蒅莆蚅肅莁莅螇袈芇蒄衿肄膃蒃蕿袆聿蒃螁肂蒇蒂袄羅莃蒁羆膀艿蒀蚆羃膅葿螈膈肁薈袀羁莀薇薀膇芆薇蚂羀膂薆袅膅膈薅羇肈蒇薄蚇袁莂薃蝿肆芈薂袁衿膄蚁薁

2、肄肀蚁蚃袇荿蚀螅肃芅虿羈袆芁蚈蚇膁膇蚇螀羄蒆蚆袂腿莂蚅羄羂芈螅蚄膈膄莁螆羀肀莀衿膆蒈荿蚈罿莄荿螁芄芀莈袃肇膆莇羅袀蒅莆蚅肅莁莅螇袈芇蒄衿肄膃蒃蕿袆聿蒃螁肂蒇蒂袄羅莃蒁羆膀艿蒀蚆羃膅葿螈膈肁薈袀羁莀薇薀膇芆薇蚂羀膂薆袅膅膈薅羇肈蒇薄蚇袁莂薃蝿 线性代数与线性规划网上教学学习班级：工商08、会计08学习时间：2008年9月29日课时：3课时学习要求：1通过学习，对行列式、矩阵、线性方程组等内容进行归纳、概括和总结，巩固学过的知识，使知识系统化、条理化。2熟练掌握行列式、矩阵的性质和计算方法。3掌握解线性方程组的高斯消元法。4完成网上学习检测题，10月6日将检测题的解答交给老师。学习重点：1 掌握行

3、列式的性质和计算方法。2掌握矩阵的加、减、乘、乘方、转置运算。3掌握矩阵的初等行变换，会求矩阵的秩，会求可逆矩阵的逆矩阵。4掌握线性方程组的高斯消元法。学习内容：第一章 行列式学习要求：1理解行列式的性质。 2会计算二阶、三阶及阶行列式的值。3了解克莱姆法则。学习指导：一、行列式的性质性质1交换行列式的任意两行（列），行列式变号。性质2行列式的任意一行（列）的公因子可以提到行列式外面。性质3用常数乘行列式某一行（列）的各元素，然后再加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变。推论：若行列式满足以下两个条件之一，则该行列式的值为零。（1）行列式有两行（列）对应元素相同。（2）行列式有两行（列）

4、对应元素成比例。行列式性质的应用：利用行列式的性质可以将任意行列式化为上三角形行列式。而上三角形行列式的值，等于其主对角线上元素的乘积。这就为计算行列式的值提供了可行的方法。另外，如果一个行列式有一行（或一列）的元素全为零，则此行列式的值比为零。二、行列式的计算1二阶行列式的计算 2三阶行列式的计算 3阶行列式的计算对于阶行列式，可以通过行列式的性质将其化为上三角形行列式，再将上三角形行列式主对角线上的元素相乘，即为行列式的值。注意：利用性质1时，要注意交换行列式的任意两行（列），行列式的值要变号。例1 计算二阶行列式的值。解：=例2 计算三阶行列式的值解：= =20例3 计算四阶行列式 的值

5、解：=例4 若四阶行列式 ，求的值。解： =所以，三、克莱姆法则克莱姆法则：(教材第17页定理1.7)用克莱姆法则解线性方程组有两个前提：一是方程个数与未知数个数相等；二是稀疏行列式不等于零。用克莱姆法则解线性方程组的优点在于，它不仅指出了解得存在性，而且具体给出了表示解得公式，描述了解语系数的关系。用克莱姆法则解线性方程组的优点在于，若方程组中未知数的个数较多时，计算量较大；若方程的个数与未知数的个数不相同时，不能用克莱姆法则解方程。这些问题都将在第四章中给出更好的解法。 第二章 矩阵学习要求：1正确理解矩阵的概念，掌握几种特殊的矩阵：行矩阵、列矩阵、零矩阵、方阵、单位矩阵。 2掌握矩阵的加

6、法、减法、数乘、乘法、方阵的幂的运算方法。理解转置矩阵的概念及矩阵的转置运算的性质。3掌握矩阵的初等行变换的方法，会用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵。4掌握矩阵的秩的概念，掌握求矩阵的秩的方法。5掌握逆矩阵的概念和性质；掌握逆矩阵的求法。学习指导：一、矩阵的概念1、矩阵概念：（教材第26页定义2.1）2、几种特殊的矩阵：行矩阵、列矩阵、零矩阵、方阵、单位矩阵。 （教材27页）思考题：1 零矩阵都相等吗？零矩阵都是方阵吗？2 单位矩阵都相等吗？单位矩阵都是方阵吗？二、矩阵的运算1、矩阵与矩阵的加、减法：（教材第28页定义2.3）注意：只有当两个矩阵有相同的行数、形同的列数时才能进行加减运算

7、。 矩阵的加、减法满足以下运算律：（1） 矩阵加法的交换律：（2） 矩阵加法的结合律：（3）（4）（5）2、数与矩阵的乘法：（教材第28页定义2.4）注意：数与矩阵相乘，就是将数与矩阵中的每一个元素相乘。矩阵的数乘满足以下运算律：（1） 数对矩阵满足分配律：（2） 矩阵对数满足分配律：（3）（4） 13、矩阵与矩阵的乘法（教材第30页定义2.5）注意：矩阵与矩阵的乘法是一个难点内容，要认真看书，并动手做练习。思考题：是否任何两个矩阵都能相乘？什么样的两个矩阵才能相乘？ 只有当矩阵的列数等于矩阵的行数时，乘积才有意义。 矩阵乘法中要注意的几个问题： 矩阵乘法不满足交换律，一般。 通常我们将称为左

8、乘，将称为右乘，以示区别。 若，不一定能推出。 即两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。 这一点易与实数乘法混淆，要注意区别。 矩阵乘法不满足消去律，即当时，一般不能推出。 只要矩阵乘法有意义，则单位矩阵在矩阵乘法中的作用相当与普通数乘法中数1的作用。 矩阵乘法的运算律： （B+C）A=BA+CA注意：A原来在左边（右边），展开后仍在左边（右边）。 4、方阵的幂（只有方阵才能求幂）（教材第34页定义2.7）5、矩阵的转置（教材第32页定义2.6）说明：矩阵的行是其转置矩阵的列，的列是其转置矩阵的行。 是阶矩阵，其转置矩阵是阶矩阵。 思考题：总有意义吗？有意义时，是什么矩阵？ （答案：方阵）矩阵转置的

9、性质： (为常数) （性质4的推广）思考：若矩阵可运算，可运算吗？可运算吗？练习：设，求三、矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换在矩阵的理论和求解线性方程组中起着重要的作用。1、定义：对矩阵施以下列3种变换，成为矩阵的初等行变换：（1）交换矩阵的任意两行；（2）矩阵的任意一行乘以非零常数；（3）矩阵的任意一行的倍加到另外一行上去。当矩阵经过初等行变换化为矩阵时，通常把它记作说明：利用矩阵的初等行变换可将矩阵化为阶梯形矩阵和简化的阶梯形矩阵。2、阶梯形矩阵应满足：（1）全零行在最下面。（2）非零行第一个非零元素下方及左侧的元素全是零。简化的阶梯形矩阵应满足：（1）是阶梯形矩阵；（2）每一非零行首非零

10、元素所在列的其余元素全为零；（3）每一非零行的首非零元素都是1。 3、利用初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵和简化的阶梯形矩阵。利用初等行变化把矩阵化成阶梯形矩阵与简化的阶梯形矩阵，是矩阵变换中最基本的变换，其应用十分广泛。求逆矩阵，求矩阵的秩，解线性方程组等都要用到把矩阵化成阶梯形矩阵或简化的阶梯形矩阵。注意：化阶梯形矩阵应从左上角开始。 最好先将左上角第一个元素化为1，可通过矩阵的初等行变换的三种方法来实现。练习：将矩阵D= 化为阶梯形矩阵。小结：将矩阵化为简化的阶梯形矩阵的具体步骤：第一步：将矩阵首先化为阶梯形矩阵。方法是：首先使第一行第一个元素为1；然后将其下方元素化为0；再将第二行从左至

11、右第一个非零元素的下方元素化为0，；直至把矩阵化为阶梯形矩阵。第二步：将阶梯形矩阵化为简化的阶梯形矩阵。 方法是：将上述阶梯形矩阵的各非零行从左向右第一个非零元素化为1。从非零行的最后一行起，将该非零行首非零元素上方的元素化为0；再将倒数第二个非零行的首非零元素上方的元素化为0；直至把矩阵化为简化阶梯形矩阵。练习：将 化为简化的阶梯形矩阵。特别注意：一个矩阵化为阶梯形矩阵后结果不是唯一的。但是，一个矩阵的阶梯形矩阵中所含非零行的行数是唯一的。（矩阵的这一性质在矩阵理论中占有重要地位）。四、矩阵的秩1、矩阵的秩的概念：矩阵A的阶梯形矩阵的非零行的行数称为矩阵A的秩。记作秩A或r(A)。2、求矩阵

12、A的秩的方法步骤：第一步：将矩阵A用初等行变换化为阶梯形矩阵。第二步：数一数该阶梯形矩阵的非零行的行数。即可得到矩阵A的秩r(A)。注意：（1）必须将矩阵化为阶梯形矩阵后，其非零行的行数才是矩阵的秩。若不是阶梯形矩阵，其非零行的行数不一定是矩阵的秩。例如：矩阵矩阵 的秩为2，而不是3。这是因为这个矩阵现在不是阶梯形矩阵，将其化为阶梯形矩阵后，它有两个非零行。（2）求矩阵的秩不需要将矩阵化为简化的阶梯形矩阵。3、几个重要结论：（1）转置矩阵的秩与矩阵的秩是相等的。即。（2）矩阵 的秩不大于行数且不大于列数。即 （3）规定：零矩阵的秩等于0。即。（4）满秩的方阵都能通过初等行变换化为单位矩阵。练习

13、：已知矩阵，若，求的值。五、逆矩阵1、逆矩阵的概念：（教材第39页定义2.13）说明：只有方阵才可能有逆矩阵,不是方阵根本不可能存在逆矩阵。例如， ， ， 虽然是22阶单位矩阵，但是阶矩阵，不可能有。(1) 在定义2.13中，矩阵与互为逆矩阵，即为的逆矩阵，也是的逆矩阵，也就是且。(2) 如果方阵是可逆矩阵，则它的逆矩阵是惟一的。(3) 要分清“可逆矩阵”与“逆矩阵”这两个概念：矩阵是可逆的，是对自身说的，说明矩阵具有存在逆矩阵的条件。矩阵的逆矩阵是指另一个矩阵，它满足。当然，矩阵本身也可逆，它的逆矩阵是。(4) 不是所有的方阵都是可逆的。例如，零矩阵显然不可逆，因为找不到任何一个方阵，使得2

14、、逆矩阵的性质 性质(1) 如果方阵可逆，则它的逆矩阵也可逆，且。 性质(2) 如果方阵可逆，则它的转置矩阵也可逆，且。 性质(3)如果为同阶可逆方阵,则它们的积也可逆，且。 （注意：性质（3）与转置的性质形式上类似。） 性质3的推广： 。3、可逆矩阵的判断定理：方阵可逆的充分必要条件是满秩。说明：此定理说明，若方阵满秩则可逆，若方阵不满秩则不可逆。用此判定定理我们可以通过求一个方阵的秩来判断其是否可逆。利用此定理可以判断方阵是否可逆。显然阶方阵如果是可逆的，则有；反之，如果阶方阵的秩，则必为可逆矩阵。推论：可逆矩阵经过一系列初等行变换后，必可化为单位矩阵。这是由于可逆矩阵一定是满秩的方阵，满

15、秩的方阵经过一系列初等行变换可以化为没有零行的阶梯形方阵，进而可以化为简化的阶梯形方阵，即单位矩阵。4、求逆矩阵的方法求逆矩阵的方法：利用矩阵的初等行变换求阶方阵的逆矩阵的方法： 在阶方阵的右侧加上与同阶的单位矩阵构成矩阵，然后对这个矩阵作初等行变换，使化为单位矩阵，这时就化成。注意：（1）这里的单位矩阵应与方阵同阶。（2）这一方法也适用于逆矩阵不存在的矩阵：当经初等行变换不能将矩阵化为单位矩阵，则不可逆。求方阵的逆矩阵举例：看P43 例3。说明：1. 求逆矩阵的通常做法如下：首先把化成阶梯形矩阵，这时从上至下作初等行变换。然后继续将左边的矩阵化成单位矩阵，这时应从下至上作初等行变换。2. 在

16、的变换过程中，若左半边矩阵出现了零行，说明不可能化成单位矩阵，也说明A的秩小于n，从而可判断A不可逆。因此，用初等行变换不但可以求出可逆矩阵的逆矩阵，同时也可以判断矩阵是否可逆。验算方法：求出逆矩阵后可以验算求出的结果是否正确： 若求出的结果与已知矩阵相乘等于单位矩阵，则结果正确。练习：设矩阵 ，用初等行变换的方法求。第四章 线性方程组学习要求：熟练掌握用消元法解线性方程组的方法。学习指导： 解线性方程组是实际工作中常遇到的问题。虽然我们在中学时曾学过方程个数与未知数个数相等的二元一次或三元一次方程组的解法，并且知道二元一次方程组的解只能是下列三种情况之一：有唯一解，有无穷多解，无解。但在许多

17、实际问题中，经常要解未知量个数超过三个或方程个数与未知量个数不等的线性方程组。这种方程组是否有解？如果有解，是唯一解还是有无穷多解？如何求解？这些都是本章要讨论的问题。一、有关线性方程组的几个概念1. 线性方程组的矩阵形式表示： 由个线性方程式和个未知数构成的元线性方程组 （4.1）可以写成矩阵形式为其中称为系数矩阵，为未知数矩阵，为常数项矩阵，为线性方程组的增广矩阵。（具体表示看书P64）。2 齐次线性方程组和非齐次线性方程组的概念： 非齐次线性方程组：当方程组（4.1）中的常数项 不全为0时，（4.1）称为非齐次线性方程组。 齐次线性方程组：当方程组（4.1）中的常数项全为0时，（4.1）

18、称为齐次线性方程组。二、消元法解线性方程组消元法是解二元、三元线性方程组常用的方法。将消元法运用到解多元线性方程组也是有效的。它的基本思想是将方程组中的一部分方程化成未知数个数较少的方程，从而容易判断方程组解的情况或求出方程组的解。说明：用消元法解线性方程组即对其作同解变换，相当于对增广矩阵施以一系列的初等行变换。用消元法解线性方程组的具体步骤：（1） 写出线性方程组的增广矩阵，将用初等行变换化为阶梯形矩阵；（2） 将阶梯形矩阵经过初等行变换化成简化的阶梯形矩阵；（3） 将简化的阶梯形矩阵还原为线性方程组，从而求出相应的解。例题：1P65 例1 说明：在这个方程组中，系数矩阵的秩等于增广矩阵的

19、秩等于未知数的个数，即，这时方程有唯一解。 2P66 例2 说明：在这个方程组中，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，但小于未知数的个数，即 （3是未知数的个数），这时方程组有无穷多解。在此例中有一个自由未知量，自由未知量的个数等于未知量的个数减去系数矩阵（增广矩阵）的秩。3、P67 例3说明：本例中系数矩阵的秩等于2，增广矩阵的秩等于3，二者不等。这样就得到了一个矛盾的结果。说明未知量的任何一组取值都不能同时满足所有方程，于是线性方程组无解。通过以上三个例题，我们可以看到，线性方程组的解可以有三种情况，即有唯一解，有无穷多组解和无解。线性方程组解的情况及判定： 1 定理： 线性方程组有解的充分必要

20、条件是系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，即：。而且（1）当（未知量个数）时有唯一解；（2）当时有无穷多解，且有个自由未知量。说明：（1）这个定理回答了线性方程组是否有解的问题，以及有解时解是否唯一的问题。 （2）有关如何求线性方程组的解以及解的表达问题，前面例1例3给予了解决。即解线性方程组的步骤是： 将增广矩阵化为阶梯形矩阵。 判断与是否相等，由此得知线性方程组是否有解。 若，即得结论：原方程组无解。 若，则继续将化为简化阶梯形矩阵。 根据简化阶梯形矩阵，若，则方程组有唯一解，直接求出；若，则方程组有无穷多解，选取自由未知量写出一般解。 （3）关于自由未知量的个数，以及如何选择自由未知量的问题： 当线性方程组（包括齐次和非齐次）有无穷多解时，其一般解中自由未知量的个数都是个。这是因为若增广矩阵的秩是，说明有个未知量可以用其它的未知量（自由未知量）表示，而总共有个未知量，因此自由未知量的个数就是个。 选取自由未知量的方法：圈出简化阶梯形矩阵各行的首非零元（称为主元），共个。主元所在列对应的未知量称为基本未知量，共有个，其余的未知量作为自由未知量，有个。（4）在线性方程组的一般解中，自由未知量的选取不是唯一的，所以线性方程组的一般解的表达式也不是唯一的。练习：1、解线性方程组 2给定方程组 ，求其全部解。2. 定理：齐次线性方程组一定有，因此齐次线性