根的分布（精编版）

1、【学习目标】:根的分布1. 理解在函数的零点两侧函数值乘积小于0 这一结论的实质， 并运用其解决有关一元二次方程根的分布问题；2. 加强学生对数形结合、分类讨论等数学思想的进一步认识【教学过程 】： 一、复习引入：1. 函数f (x)2(m1)x24mx2m1 , m 为何值时，函数的图象与x 轴有两个零点2. 二次函数图象的零点两边的函数值之间有关系：二次函数yf ( x) 的两个零点为x1 , x2 ( x1x2 ) ，则f ( m) f (n)0思考：当关于x 的方程 x22ax40 的根是下列条件时，求实数a 的取值范围（ 1）两根都大于0；（ 2）两根都大于1；（ 2）两根在 (4,

2、1) ；（ 3）一根大于1，一根小于1。结论：一元二次方程ax 2bxc0(a0) 根的分布表根的分布yax 2bxc(a0) 的图象等价条件x1 , x2( m, n)x1, x2mx1, x2mx1kx2x1m, x2n(mn)x1(m1 , n1 ), x2(m1n1(m2 , n 2 )m2n 2 )x1(m, n), x2 m, nf ( m)f (n)0x1 , x2；设： f (x)=ax 2+bx+c（ a 0）， =b2 4ac定理 1方程 f( x) =0 的两实根都大于（或小于）给定的实数m 的条件是y0f (m)0bbm2a2aom0或 f（m） oxbm2 ayxo

3、bm2a定理 2方程 f(x)=0的两实根在区间（m， n）的条件是0mbn 2af ( m)0f (n)0yx b 2aomn定理 3方程 f(x)=0的两实根分别在区间（p， q）与（ q， r ）内的条件是f ( p)0f ( q)0pqrf (r )0f ( p)0f ( q)0f (r )0qrsf (s)0定理 4方程 f(x)=0的两实根分别在区间（p， q）与（ r ， s ）（ r q）的条件是pf (m)0f ( n)0定理 5方程 f(x)=0的两实根中一根小于m，另一根大于n（ m n）的条件是ymnx o定理 6方程 f(x)=0的两实根x1、x 2 满足 x1 m

4、x2 的条件是mx1x 2提问：方程小结：若两实根分布在同一开区间（ m， n ），则必须考虑三点：判别式0；对称轴在所给区间内，即mb n；2a在区间端点处函数值的符号，即f ( m) 0 且 f ( n) 0.若两实根分布在两个不同的开区间内，则只要考虑在区间端点处函数值的符号.练习（ 1）若方程x 2 11x+m=0 的两根都大于5，求 m 的取值范围 .（ 2）若方程（ k 2+1） x 2 2（ k+1 ） x+1=0 的两根在区间（0， 1）内，求k 的取值范围 .（ 3）方程 x 2+（ a2 1） x+a 2=0 有一根大于1，另一根小于1，求 a 的取值范围 .（ 4）求实数

5、m，使方程7x2（ m+13 ） x+m2m 2=0 有两实根，且它们分别在区间（ 0， 1）与（ 1， 2）中 .例 1、若方程x2 lga 2x+1=0 的一根大于1，另一根小于1，求实数a 的取值范围 .例 2、若关于x 的方程2ax 2x10 在（ 0， 1）内恰有一解，求a 的取值范围2例 3、已知函数f （ x） =mx+(m-3)x+1的图象与 x 轴有两个不同的交点。（ 1）若两个交点中有且只有一个在原点的左侧，求实数m的取值范围；（ 2）若两个交点中至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围2例 4、关于 x 的方程 x +x=m+1 在 0 x 1 内有解，求实数m的范围。

6、变题：已知方程x 2 mx+4=0 在1 x 1 上有解，求实数m 的取值范围。巩固练习1、若关于x 的方程7x 2(k13) xk 2k20 的两根分别在（0， 1）和（ 1， 2）内，则实数k 的取值范围是 .2、已知函数f ( x)mx 2(m3)x1 的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是 .3、已知函数 .f ( x)( xa)( xb)2 ，并且,是方程的两根，则实数a,b,的大小关系可能是2 ax40 的两根均大于1，则实数a 的取值范围是4、关于 x 的方程： 3x2 5x a=0 的一根在 ( 2，0) 内，另一根在 (1， 3)内，则实数k 的取值范围为.25、方程 x6、当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围：2（ 1）方程 x2axa70 的两个根一个大于2，另一个小于2；（ 2）方程ax23x4a0 的两根都小于1；（ 3）方程 x2(a4) x2a 25a30 的两根都在区间1,3 上；2（ 4）方程7 x2(a13) xa 2a20 的一个根在区间(0,1) 上，另一根在区间(1,2) 上；（ 5）方程xax20 至少有一个实根小于17. 关于 x 的方程22