矩阵第4章答案（精编版）

1、矩阵第4 章答案第四章习题解答1. 证明：实对称矩阵a 的所有特征值在区间a,b 上的充要条件是对任何0a , a0 e 是正定矩阵；而对任何0a , a0 e 是负定矩阵 .证：因为 a 为实对称矩阵， 所以存在正交矩阵q ，使得其中特征值a = q diagtia, b .1,2 ,nq ，0a-e = qt diag10 ,20 ,n0q ,所 以 对 于0a,i00 知 a为 正 定 矩 阵 ；0b,i00 知a 为负定矩阵 .2. 设a, b 都是实对称矩阵 ,a 的一切特征值在区间 a, b 上,b 的一切特征值在区间c, d 上.证明:a+ b的特征值必在区间ac, bd.证：设

2、 a , b 的特征值分别为b1a2anaa ，d1b2bnbc ，又因为 a , b 为实对称矩阵， 所以 a , b 为 hermite矩阵，由定理 18 知，a+ b的特征值kab，k有1,2, n .kanb即kabka1b.ackackanbkabka1bkadbd3 设p 是酉矩阵， 满足不等式adiaga1, an，证明 pa 的特征值mm ，其中， mminaim，imaxai.i证：因为 p 是酉矩阵，所以ph pe ，又因为pa hpaah ph paah a，所以由browne 定理知， pa的特征值满足不等式minah aminhpapamaxhpapamaxah ai

3、iii而hhminaamin aim ， maxaamax am ，iiiii所以mm .4用圆盘定理证明实特征值 .91210811a =1040至少有两个1001证:a 的 4 个盖尔圆为g1z | zg3z| z94 , g241 ,g4z | zz | z82,11 ,它 们 构 成 的 两 个 连 通 区 域 部 分 为s1g1g2g3 ,s2g4 ,易知s1 与s2 都关于实轴对称,证：（ 1）因为 a 为严格对角占优矩阵， 由定理4 知， a 可逆。（2）设diaiiaijj i0，作a11 d1 a21bd 2a12 d1 a22d 2a1n d1 a2nd 2an1 dnan

4、 2dnann dn则有 det bdet a.所以 b 盖儿圆盘 siaii , jnaij1, j i，d1d2dndidiaii又aijj idi1.又aii di1 并且si 与单位圆相外切，故矩阵 b 的特征值的模均大于1，所以 det b1 ，即det a1. 所以det anaiiaij成立.d1 d2dni 1j i12 若acn,n 奇异，则存在某个i，使 aa.0i0i0j i0i0 j证：反证法若对任意的i ，均有aiiaijj i，则a1为严格对角占优，即a 非奇异，这与矛盾.acn, n 奇异13 设acn,n 可逆，为特征值，则a 1a 2 .2证：设 a 的特征值

5、为，对应的特征向量为x0 ，2则ax =x .因为x 2x 2 ,ax 2a 2x2 ，所以a 2 .又因为 a -1 x =立x ，同理可得 a 11.所以a 1a 2 成215.设实对称阵 a 和b 的特征值分别是12n 和u1若对 单位 向量 x , 恒 有u2un ,x tbax0,则ukkk1, n .证:设 a 的属于 1 ,2 ,n 的标准正交向量系为x1 , x2 , xn, b 的属于u1 ,u2 , un的标准正交向量系为y1 , y2 , yn .设v 0x0lx , x, vyly , y, 可得kkmin maxvk1kk1kx t ax xv , x1k2min m

6、axx t ax xv 0y , x1vy,x1vkk2min maxvkx t bx +x0k2min maxx t bx xv 0y , x1 +uk1,2, n .vkk同理可得2ukkkk1,2, n，因此ukkk1, n .16.（weyl 定理）设实对称矩阵 a ， a+ q 和q 的特征值分别是12n ， u1u 2则un ， 12n ，1k1ukknk1,2,n .证: 设 a 的属于1,2 ,n 的标准正交向量系为x1 , x2 , xn, a+ q 的属于u1 ,u2 , un的标准正交向量系为ky1 , y2 , yn ,k设v 0x01kklx , x, vy1ly , y, 可得kumin maxx t vka+ qx xvk , x 21min maxvx,x1k2vkx t axxvk , x 21maxx tqx xvk , x 21maxx t axx0nknk1,2,nkmin maxvkx t ax xvk , x 21min maxx ta+ qx + xt-qx xv ,