2020年高考数学圆锥曲线单元测试卷

1、锥曲线单元测试卷（满分：150分 时间：120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.双曲线fl一看=1的焦点坐标为（）A.（一或,0）、 （6 0）B. （0, 一木）、（0,小）C. （ 5,0）、 （5,0）D. （0， -5）、 （0,5）答案：C解析：/=2+2= 16+9=25, c=5,故选 C.2.椭圆嘉+以=1上的点P到它的左准线的距离是10,那么点P到它的右焦点的距离 是（）A. 15B. 12C. 0D. 8答案：B4解析：椭圆的离心率为=不 又产到它的左准线的距离是10,所以P到它的左焦点的4距离是5乂 10=8,故P到它的右焦点的距离是208=1

2、2.故选B.3. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为全则双曲线的离心率为（）A皇B巡C.小D. 2答案：A解析：如右图所示9双曲线的渐近 线方程为：y = 士交工.a若NAOB -告，则6 小， 36tan。=尊.a =更 > 氏 a 3又 Vc= & + 疗=,6 + 2 = 2泛，：e =工=岑=零.故选A.。7634. （2020陕西高三质检）抛物线）=-4炉上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐 标是（）答案：C解析：本题考查抛物线定义的应用；由抛物线方程得其准线方程为 y=表，据抛物线定 义可得白一州户1 =>y.w= 一白注本题易错求抛物线准线方程）.故选c.5.

3、 （2020嘉兴质检）若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1,则椭圆长轴的最小值为（）A. 1B.也C. 2D. 272答案：D解析：设椭圆长半轴长为4,短半轴长为脑 序一=/,由题意，；,2c=l, ：.bc=9 +标=/22庆=2.”2艰长轴最小值为2建.故选D.6. （2020北京海淀模拟）已知A（0, b）, 8为椭圆点+%=13>/>0）的左准线与x轴的交点, 若线段A3的中点。在椭圆上，则该椭圆的离心率为（）A.?73B.，斗D至答案：C,解析：由已知得3（一（，0）,又月（0, b）,.*.AB的中点为C红C点在椭圆上，.基+；=1,展3, U 6=科

4、尊.故选C.7.设八、B分别是椭圆捻+苣=1（心历>0）的左、右焦点，尸是其右准线上纵坐标为小 为半焦距）的点，且IRFJ=I乃“，则椭圆的离心率是（）A.写B.|C.亭D.孝答案：D,解析：尸点的坐标为（，木（）,昨1 = d （卜 c> +（4）2=y+3c2 = V4IRF20C, AZ?4 + 3c4=4c4, h4=c49 b=c, c c_1_近 噜”布十审=2故选口.8. （2020北京市东城区）已知P为抛物线r=2丫（>0）上的动点，尸为抛物线的焦点，过 F作抛物线在P点处的切线的垂线，垂足为G,则点G的轨迹方程为（）A. x2+y=p2B. y=2C.1+（

5、厂乡2=qD. y=Q答案：D,解析：如下图所示,由尸检可得< =%y2设切点p的坐标为2则过点P的切线方程为3，一:=（j:- &）, 2P P其与1轴的交点坐标为M（手，0）,由k' =一"由此可 得点M即为垂足G,即点G的轨迹为a轴上的点，其轨迹方程为y-0,本题考查了抛物线为背景下的直线与圆锥曲线的位 置关系.曲线的轨迹方程的求解问题，此题中的轨迹可以直接找出一些特殊的点，或按选择支代入判断即可.故选D.9. （2020东北三省四市联考）已知双曲线三一b2=1（00, />0）的一条渐近线的倾斜角呢哀，则离心率e的取值范围是（）A.半 2B.巾,2

6、C.竿，y2D.挚,+8答案：C ,解析：由双曲线5一 2=1的一条渐近线倾斜角板向 多可知/录，1,因为焦点在x 轴上，则由/=依+,可得/£6，2,-£竽，啦,故选C.10. （2009 江西联考）如右图，已知抛物线 / =2"">0）的焦点恰好是双曲线22与一以一1的右焦点，且两条曲线交a6点的连线过F.则该双曲线的离心率（ ）A,也B. 2C.回+1D.历一1答案：C解析：如下图所示，点尸、。分别为双曲线与抛物线的两个交点，直线P。经过焦点F,由抛物线方程y2=2x可得点尸的坐标为g, p）,由双曲线上此点坐标为p（c, 9）,可得?=2c

7、, 即得/-2e-1=0,解之得e=l一也（舍去）或=近+1,故应选C.=1（心0, b0）,以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的B. bD.yfa2-b2A - x=pC.B.D.x=3p311 .已知双曲线c点 圆的半径是（）A. aC.yfah答案：B解析：圆的半径即为双曲线C的右焦点到渐近线的距离，渐近线方程为即历一 ay=0f 所以r= */二。故选B.yjcr+lr12 .已知A、8是抛物线正=2加0）上的两个点，0为坐标原点，若1。41 = 108,且A08 的垂心恰是抛物线的焦点，则直线A8的方程是（）答案：C解析：令A（r,8），根据图形的对称性可知85, - y）焦点F（

8、90）,由于F是ZXAOB的重心，则一Alvi -y.=-1XVyi=2pxi 一 2p iri_£人 2.xi=|/?故选 C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知正方形A8CD则以A、8为焦点，且过C、。两点的椭圆的离心率为 答案：/21解析：设正方形边长为1,则A8=2c=l, Ac=5.乙AC+BC=l+V2 = 2t/, ：.a=Y-=2-1.14.已知双曲线，一巨b2=1（0,历0）的左、右焦点分别为Q, F?,若在双曲线的右支上存在一点P,使得IPai = 3IPBL则双曲线的离心率e的取值范围为 答案：lveW2解析：据双曲线的定义可得：PF2

9、=a9由于点尸是双曲线右支上一点，则必有IPBI'c a9 即a=2a2c=e=5W2,又 ol,故 l<eW2.15 . (2020湖南理)已知椭圆三十%=13>岳>0)的右焦点为F,右准线为/,离心率e=坐, 过顶点A(0,切作AMJJ,垂足为M,则直线FM的斜率等于.答案：J解析：:AA/JJ于M, 且 A(0, b), /: x=：,；.岭7，“e='=坐得 a-5c. byja2-c2 = 2c.M(5cf2c)9 F(c,0),16 .已知两点A(1O), B(b,0),若抛物线丁=4x上存在点C使ABC为等边三角形，则 b=.答案：5或一(解析：

10、解决本题的关键是如何把ABC为等边三角形这一条件转化为与点。坐标相关的 关系式.由题意，A、8都在;v轴上，若使ABC为等边三角形，则公c=±V5,且点。在x 轴上的射影为线段A3的中点.由于点。在抛物线W=4x上，可设点竽，yo),则kAc= 4-1= 电 化简可得3对-40.相+48=0,解之得H=12或又由于%=空.则有中=JI乙乙w 1+1，乙13或一厂=,所以h=5或一彳三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(本小题满分10分)从椭圆，+1=1(“>>0)上的一点尸向x轴引垂线.垂足为椭圆的左焦点Q, A是椭圆的右顶点，8是椭圆的上顶点，且有油=源)乜&g

11、t;0).(1)求椭圆的离心率.(2)若椭圆的准线方程为x=±2于，求椭圆方程.解：(1)一拔=疝3>0),工点尸在第二象限内，：.yp>0.点F(c,0)代入椭圆方程得：>即IDF|I=?,再有矗=7而得:OABsF。尸， SI 1。8 a_b_ . _99Foi=PFi9 即2=京，b=c7由/=/+。2,得：4 = 2/, 6 =1=竽.(2)由椭圆的准线方程是x=±2木可得：=2小，又有户乎，所以c=y59o 2因此椭圆方程为：仔片=1.18.(本小题满分12分)设直线4=八-2与抛物线)2=2交于相异两点A、B,以线段 A8为直径作圆为圆心)，试

12、证明抛物线的顶点在圆”的圆周上；并求a的值，使圆H 的面积最小.证明：设A(r, yi), 5(X2, ”)，则其坐标满足 ay=x-29, .消去x得)2丫-4=0.3-=2*yi+yi=2a9 4 )例=-4,x +%2=4+a(y i +”)=4+；_()U2)2XX2 - - - 4, OA-OB=xxi+yy2=44=09即OA_LOB,故。必在圆H的圆周上.又圆心H(xo,州)为A8的中点，则Xi 4-X2 -, yi+yzxo=2+,兆=2=",.e OH=tj(2A-a2)2a2.而OH是圆H的半径，从而当4=0时圆H的半径最小，即圆H的面积最小.19.(本小题满分1

13、2分)已知双曲线51=1的右焦点是F,右顶点是A,虚轴的上端点是 8, AB AF=6-4y/3, ZBAF= 150°.(1)求双曲线的方程：(2)设。是双曲线上的点，且过点尸、。的直线/与y轴交于点M,若破+2改=0,求 直线/的斜率.解：由条件知 AQ,0), 5(0, b), F(g0)ABAF=( af b)-(cat0)=a(ac)=64yl3ABAF a(ac)cos ZBAF=AB.AF «一公=-=cosl50°=一星c2a=-c,代入 “(ac)=64小中得 c=2y2.a=y6, b2=c2-a2=29故双曲线的方程为29=1.o Z(2);

14、点尸的坐标为(26,0)./.可设直线/的方程为)，=女。一2娘)，令尤=0,得 产一2四,即M(0, -2y/2k)设。(矶)，则由旗+2改=0得(】, + 2小k)+2(2也?)=(0,0).即(4啦一机,2正上一 )=(0.0).加=4啦 e nr n2即 1厂 "a"-7=Ln=2y2k62. (g (2®s3 Z_J39 -2 - 1，付公一尸，k一±-.20.(本小题满分12分)过点(1。)的直线/与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为乎的椭圆。相交于A、B两点,直线y=%过线段A8的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点 关于直线/对称，试求直线

15、,与椭用。的方程.解：设椭圆。的方程为云+卓=13>>0),显然，直线/的斜率存在且不为0,设/的方 程为y=k(x-l)代入椭圆方程，整理得陷2+户” - 2k2a2x+eric - a2b2=0.因为直线/与C交于A、B两点、:.J=4432Ma2h2)(k2a2+b2)>0.即依“2一公+分>0,当>0时，设直线/与椭圆C的交点为A5,)、B(x19 y2), A8中点为M(xo,光)，则1, 、 k2u2xo=M+M =而旬yo=；G'i+y2)=；k(M- 1)+&(X2 - 1)kb2一屏+按丁 M(xo, yo)在直线y=5上， .

16、kh2 1 Ira2好/+及-2.标 ”2+/'2b2，2 ,11 k=r.又= 1 -e-= 1 -5=7,cr cr2 29把分=正，“2= 表=1代入式,得j>0. o.2h2/=F=t因此直线/的方程为y= -x+1.=1,其右焦点为(。)，设SQ)点关于直线y=-x9：a2=2b29，椭圆C的方程为+ 1的对称点为(丁，y'),因为点(11一)在椭圆上. 9，1+2(1 与2=22,解得乂=而.椭圆C的方程为,+若=1,直线/的方程为y=-x+L21.(本小题满分12分)(2020成都市诊测)已知双曲线A1=1的焦点为Fi(- c,0)、 F2(g0)(c>

17、;0),焦点尸2到渐近线的距离为，5,两条准线之间的距离为L(I)求此双曲线的方程：(0)过双曲线焦点F1的直线与双曲线的两支分别相交于A、5两点，过焦点尸2且与A3 平行的直线与双曲线分别相交于C、。两点，若A、B、C、。这四点依次构成平行四边形A8CO, 且；1万111历lsin <OA. OD) =3巾,求直线AB的方程.解：()焦点B(g。)到渐近线/比Zv=0的距离为,，两条准线之间的距离为1,Z=i, ="=小, u=2.双曲线的方程为小一方=1.(H)由题意，知直线A8的斜率k必存在.设直线A8的方程为y=A(x+2),点A(xi,川)、Bg 竺).>=总+

18、2),由 V2= (3一公店 - 4Rx44- 3=0,一彳=1显然3一公Ko.X+X2 =4k23 T2'4公+ 3八 x*2=_ 3_标 <0,L=16R+4(3-/)(4 依+3)>0=3依>0=一事 <k<y0.由双曲线和射BCD的对称性，可知A与。、5与。关于原点对称.而亍O4I, lOOIsin。4, ODS：a()i)S()="AB X cl.HL点0到直线y=Mx+2)的距离d= Eyi+R：.OA-dDsin <OAf 0D> =36J 116K+4(3-R)(软2+3)以=3爪。/+8 合- 9=0Qk=±L9：k=±满足一小<小.，直线AB的方程为y=x+2或y=-x-2.22.(本小题满分12分)(2020湖北五市联考)设圆Q过点P(0,2),且在x轴上截得的弦RG 的长为4.(I)求圆心。的轨迹E的方程：(0)过点R0.1),作轨迹E的两条互相垂直的弦A3、CD,设A3、CO的中点分别为M、 N,试判断直线MN是否过定点？并说明理由.解：(【)设圆心。的坐标为(x, y)9如图过圆心。作。轴于，则为 RG 的中点，在 RSHQ 中，IQR|2 = IQ|